高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省濰坊市2025屆高三模擬預測數學試題一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內，復數對應的點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為.所以復數對應點的坐標為：.故選：A2.已知函數則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】將代入，得到，所以，將代入，得到.因此，.故選：B.3.已知等差數列的前項和為，若，，則（）A.12 B.14 C.42 D.84【答案】C【解析】因為數列為等差數列，所以，所以.所以.故選：C4.若雙曲線的焦距是其實軸長的2倍，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，所以，則，所以的漸近線方程為.故選：B.5.已知且，與成正比例關系，其圖象如圖所示，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因為與成正比例關系，所以可設，由.由，又，所以.故選：B6.若一組樣本數據、、、的平均數為，方差為，則數據、、、、、、、的平均數和方差分別為（）A.、 B.、 C.、 D.、【答案】A【解析】因為一組樣本數據、、、的平均數為，方差為，則，可得，方差為，可得，因此，數據、、、、、、、的平均數為，方差為.故選：A.7.某學校組織中國象棋比賽，甲、乙兩名同學進入決賽．決賽采取3局2勝制，假設每局比賽中甲獲勝的概率均為，且各局比賽的結果相互獨立．則在甲獲勝的條件下，甲第一局獲勝的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設甲獲勝為事件，甲第一局獲勝為事件，則，，所以在甲獲勝的條件下，甲第一局獲勝的概率是.故選：D.8.已知函數，則圖象的對稱軸方程為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】因，，所以為函數的一個周期，當時，，此時，作出函數的圖象如圖，由圖象可得，函數圖象的對稱軸方程為，.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知點，圓，則（）A.點在內B.點與上的點之間的最大距離為C.以點為中點的弦所在直線的方程為D.過點的直線被截得弦長的最小值為【答案】AC【解析】對于A，因為，所以點在內，故A正確；對于B，由，知點與上的點之間的最大距離為，故B錯誤；對于C，由，可知弦所在直線斜率為，故弦所在直線為，即，故C正確；對于D，由圓的性質可知，當與過的弦垂直時，所得弦長最短，此時弦長為，故D錯誤.故選：AC10.已知圓臺的高為2，其母線與底面所成的角為，下底面半徑是上底面半徑的2倍，則（）A.該圓臺的上底面半徑為2B.該圓臺的體積為C.該圓臺外接球（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）的表面積為D.用平面截該圓臺，若所截圖形為橢圓，則橢圓離心率取值范圍為【答案】BCD【解析】如圖：設圓臺上底半徑為，則下底半徑為，有題意，即圓臺的上底面半徑為，故A錯誤；圓臺的體積為：，故B正確；因為母線，，所以為等邊三角形，所以，所以該圓臺外接球的球心就是下底面圓心，所以該圓臺外接球半徑為：，所以其外接球表面積為：，故C正確；用平面截該圓臺，若所截圖形為橢圓，離心率最大時，截面可以是過，的截面，此時對橢圓：，因為圓臺中截面半徑為，所以橢圓中，所以，所以.所以橢圓離心率的取值范圍為：，故D正確.故選：BCD11.設函數，數列滿足，，則（）A. B.為定值C.數列為等比數列 D.【答案】ACD【解析】由，，則，故A正確；由，則顯然非常數，故B錯誤；由，又，則，則數列是以為首項，以為公比的等比數列，故C正確；則，即，由，則，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.12.寫出一個同時具有下列性質①②的函數________．①；②在上是增函數．【答案】（答案不唯一，形如都可以）【解析】對于函數，該函數的定義域為，且該函數在上為增函數，滿足②；對任意的、，，滿足①.故答案為：（答案不唯一，形如都可以）.13.已知集合，，若，則實數________．【答案】或2【解析】因為，所以.根據集合中元素的互異性，可知且.若，此時，，滿足.若或（舍去）.此時，，滿足.綜上或2.故答案：或214.已知同一平面內的單位向量，，，則的最小值是________；若與不共線，，，，，則________．【答案】①.②.2【解析】要使最小，需模長最大，且與夾角為，故當同向，且反向時，，可取得最小值；設，即，又，，均為單位向量，若共線，則首尾相連一條線段，則此時與共線，不符題意；所以不共線，則首尾相連形成一個菱形，即，因為，，所以，則，所以.故答案為：，四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，四棱臺中，上、下底面分別為邊長1，2的正方形，平面，，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．（1）證明：連接，交于點，連接,.由題意：，且，，為中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面.（2）解：因為平面，所以平面，又平面，所以.又，，平面，所以平面.所以為直線與平面所成的角.在中，.16.在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，．（1）求；（2）若的面積為，是上的點，且，求的長．解：（1）因為，所以，，即，因為，則，即，故，由余弦定理可得.（2）因為，則，因為，可得，因為，，故，，，是上的點，且，則，，所以在中，由正弦定理可得，故.17.已知函數，．（1）當時，求函數的單調遞增區間；（2）當時，求的解集；（3）若函數圖象上有三個點，，，并且從左到右橫坐標成等差數列，判斷曲線在點處的切線斜率與，兩點連線斜率的大小關系．解：（1）由，，令，得或，由于，則，令，解得或，所以的單調增區間為和.（2）當時，，且，又，即在上單調遞增，所以的解集為.（3）設，，，且，，曲線在點處切線斜率為，兩點連線斜率為，，令，則，令，，則，令，，即在上單調遞減，，即，所以在上單調遞減，故，，又，即，所以，即，所以曲線在點處切線斜率小于兩點連線斜率.18.已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點為，過點的直線與交于、兩點，過點作軸的垂線與直線相交于點．（1）求的方程；（2）證明：點在定直線上；（3）延長交（2）中的直線于點，求四邊形面積的最小值．（1）解：由題意，設拋物線的標準方程為，則，可得，故拋物線的標準方程為.（2）證明：若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，設點、，聯立可得，，由韋達定理可得，，由題意可知，直線的方程為，直線的方程為，聯立直線、的方程得可得，所以，.因此，點在定直線上.（3）解：如下圖所示：易知點，直線的方程為，聯立直線與直線的方程可得可得，故點，則，且，，所以，因為，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，.因此，四邊形面積的最小值為.19.維空間中點的坐標可以表示為，其中為該點的第個坐標．定義維空間中任意兩點，之間的平均離差二乘距離．設維空間點集或1，其中．（1）若，，且點，，寫出所有的點的坐標；（2）任取維空間中的不同兩點．（i）若，求的概率；（ii）記隨機變量，求的取值范圍．解：（1）由定義