高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省齊魯名校教研共同體2025屆高三下學期第五次聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以.故選：B.2.已知為奇函數，則實數（）A. B.2 C.1 D.0【答案】D【解析】函數的定義域為，，，因為函數是奇函數，所以，所以，得.故選：D3.在等比數列中，是和的等差中項，則的公比為（）A.1 B. C.1或 D.1或【答案】C【解析】在等比數列中，是和的等差中項，設公比為，所以，所以，因為，所以，解得：1或，故選：C.4.已知向量，，若在上的投影向量的模為，則k的值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】向量，，所以，在上的投影向量的模為：，解得.故選：B.5.已知袋中裝有紅色、黃色、綠色的小球各5個，小球除了顏色外完全相同，現從中隨機取出5個小球，則不同的取法種數為（）A.15 B.19 C.21 D.23【答案】C【解析】第一種情況，5個小球只包含1種顏色，有3種情況；第二種情況，5個小球包含2種顏色，兩種顏色的球的個數組合為或，所以包含2種顏色取法種數有；第三種情況，5個小球包含3種顏色，3種顏色的球的個數組合為或，所以包含3種顏色的取法種數有.所以共有種方法.故選：C6.設甲：曲線表示焦點在x軸上的橢圓，乙：是第一或第四象限角，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】由條件可知，若甲正確，則，即可，即，且，得是第一或第四象限角，即甲是乙的充分條件；反過來，若是第一或第四象限角，則，即，此時，即所以，則甲也是乙的必要條件.所以甲是乙的充要條件.故選：C7.已知某圓柱與圓錐的高相等，它們的體積之比等于側面積之比的平方，則圓柱與圓錐的母線長之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設圓柱與圓錐的底面半徑分別為，母線長分別為，高均為，由題意可得：，即，化簡可得：，故選：A.8.已知是定義在上的增函數，且存在函數使得，若，分別是方程和的根，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】是的根，，即，①是的根，，即，存在函數使得，，②是定義在上的增函數，在上單調遞增，由①②可得，，又，即，，即.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知A，B，C，D四點均在雙曲線上，則四邊形ABCD可能為（）A.等腰梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【答案】AC【解析】等腰梯形和矩形都是軸對稱圖形，而雙曲線也是軸對稱圖形，A.取與軸對稱的兩組點，，，，，順次連結這四點，可以構成等腰梯形，故A正確；C.同樣取與軸對稱的兩組點，，，，，順次連結這四點，可以構成矩形，故C正確；而菱形和正方形不僅是軸對稱，而且是中心對稱，并且對角線互相垂直，而雙曲線是等軸雙曲線，漸近線互相垂直，所以雙曲線上連結兩組關于原點對稱的直線的夾角為銳角，不可能垂直，所以不能構成菱形和正方形，故BD錯誤.故選：AC10.某種積木的玩法是用不同形狀的積木穿過對應的孔洞，來鍛煉兒童的手眼協調能力.一塊積木的形狀如圖所示，該積木由9個棱長為1cm的正方體構成，在邊長為5cm的正方形木板上挖出下列四種形狀的孔洞（空白部分），則能使該積木從中穿過的為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】根據所給空間幾何體的形狀，可得空間幾何體利用現放置方式能通過C，現在放置方式由在向物體后方旋轉90度可通過B，由現在位置向右旋轉90度再向后方旋轉180度可通過A，以任何方式均不能通過D.故選：ABC.11.設函數，則（）A.在區間上有5個零點B.在區間上有4個極值點C.的圖象有1條對稱軸在區間上D.的圖象有3個對稱中心在區間上【答案】ABD【解析】對于A，由，可得或，又，所以或或或，或，故A正確；對于B，由，可得，令，即，因為，又，故有4個解，結合二次函數知識可得在每個解的左右兩邊導數符號不同，所以函數在區間上有4個極值點，故B正確；對于C，由B可知，由余弦函數的圖象可得函數的極值點關于對稱，又，所以函數關于原點對稱，又，所以函數關于對稱，又，所以函數關于對稱，又，可得是函數的周期，所以的圖象在區間上沒有對稱軸，的圖象有3個對稱中心在區間上，故C錯誤，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數的值域為，且，則________.【答案】【解析】由指數函數的性質可知，若，則，為常數，不合題意；若，則，不合題意；若，則，因為函數的值域為，則，又，則，解得，所以.故答案為：.13.已知點，，若圓與的中垂線相切，則_____.【答案】或【解析】因為，，所以點，的中點的坐標為，直線的斜率為，所以中垂線的斜率為，所以的中垂線的方程為，即，圓的圓心為，半徑，因為直線與圓相切，所以，所以，所以或.故答案為：或.14.已知為等比數列，且，.從，，…，這2025個數中任取兩個數，則這兩個數之和能被3整除的概率為________.【答案】【解析】由題意可知，記取到的兩個數分別為，則，其中為整數，所以當為奇數時，為3的倍數，當為偶數時，不是3的倍數，因此為奇數時滿足條件，此時與的奇偶性不相同，從1到2025包含1012個偶數和1013個奇數，所以與的組合共有種，所以所求的概率為故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某校開設農耕勞動教育課，共設置了兩類課程：農作物種植和田間管理，學校對選擇這兩類課程的學生人數進行了統計，數據記錄在如下表格.男生女生農作物種植課程16080田間管理課程40120（1）根據小概率值的獨立性檢驗，判斷男生和女生在選擇課程的偏好上是否有差異.（2）選擇農作物種植課程的學生被分為6個小組，各小組種植的農作物存活率分別為，，，，，.學校為了解存活率的偏差情況，需計算偏差系數w，其值越大，對大偏差數據的體現越明顯.現給出兩種計算偏差系數的方式：①，②，請比較哪一種方式對大偏差數據的體現更明顯.附：.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）由已知得，，依據小概率值的獨立性檢驗，可以判定男生和女生在選擇課程的偏好上有差異；（2），根據①：.根據②：.，，，，方式②對大偏差數據的體現更明顯.16.如圖，在三棱柱中，底面ABC是等腰直角三角形，且，D，E分別是，的中點，且平面ABC.（1）證明：側面為矩形；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，連接DE，由題知，E是的中點，，平面，平面，.又，平面，.D，E分別是BC，的中點，，.側面為矩形.（2）解：連接AD，以D為坐標原點，以直線DB，AD，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.易知，，，，，，則，，.設平面的法向量為，則，取.設平面的法向量為，則，取.，平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知復數，在復平面內對應的點分別為A，B，C，其中A在第一象限，且原點O是的外心.（1）求.（2）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（i）證明：是直角三角形；（ii）求的面積.解：（1）是的外心，即，.只需考慮，即，又在第一象限，，.（2）（i），，由余弦定理知，兩式相加可得，，直角三角形.（ii）設，，則，，可知，，.易知AB與復平面的實軸垂直，又，與復平面的虛軸垂直，，，又，點A在第一象限，.，，，，，的面積為.18.已知函數，其中.（1）若有兩個零點，求a的取值范圍；（2）討論的單調性；（3）若有兩個極值點，（），證明：.解：（1）令，可得，設，則，有兩個零點，等價于關于t的方程有兩個不等實根.所以，解得，或，又，所以，即a的取值范圍是.（2）.若，則恒成立，所以在上單調遞增.若，令，得，.當時，，當時，.故在區間和上單調遞增，在區間上單調遞減.（3）由（2）知，且，是方程的兩個根，所以，，又，所以，即.因為，所以待證式等價于，即要證，即證，亦即證.設，則.設，當時，，在上單調遞減，所以當時，，則，在上單調遞減，因為，所以，證畢.19.對于拋物線，給定一點，若拋物線上存在兩點，，使得，且不與軸垂直，則稱弦是拋物線的一條“伴隨弦”.已知拋物線存在“伴隨弦”.（1）求的取值范圍.（2）求伴隨弦的中點的軌跡方程.（用表示）（3）伴隨弦的弦長是否有最大值？若有，求出最大值（用表示）；若沒有，請說明理由.解：（1）設，則點，在圓上，由，得.由題意知，存在使得這個關于的方程有兩個不相等的非負根.轉化為直線與拋物線在軸上及其右側有兩個交點，只需拋物線的對稱軸在軸的右側，