高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省單縣2025屆高三下學期第一次模擬考試數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，解得，因為，所以集合是所有奇數構成的集合，則.故選：B.3.已知是兩個相互垂直的單位向量，且向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】法一：由題意得，所以，則；法二：因為是兩個相互垂直的單位向量，且向量，所以不妨設，則，故，則，故選：A．4.已知函數的圖象關于點對稱，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】函數的圖象關于點對稱，則，即，因為，所以，故選：D．5.已知球的半徑和圓錐的底面半徑相等，且圓錐的側面展開圖是半圓.若球的表面積為，則圓錐的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設球的半徑和圓錐的底面半徑為，則球的表面積為，解得.設圓錐的母線長為，高為，因為圓錐的側面展開圖是半圓，所以，故，所以故選：C6.已知雙曲線的右焦點為，點．若以坐標原點為圓心，為半徑的圓恰好與直線相切，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設為坐標原點，，圓與直線相切于點，則根據幾何關系可知，即，所以，又，則，即，所以，即或，因為雙曲線的離心率，所以，故選：D．7.已知函數在區間單調，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知得，當時，令，得，令，解得；令，解得；故在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以若在區間上單調，則需滿足或，即或，所以的取值范圍是故選：B8.已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，則當取得最小值時，的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由過點的直線可設為，與拋物線，聯立消去x得：，設交點，則，由，取等號條件是，此時.故選：A.二?多選題：本題共3個題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分.部分選對的得部分分.有選錯的得0分.9.已知函數的定義域為，且，若，則（）A. B.是奇函數C.是增函數 D.【答案】ABD【解析】對于B：令，由題設可知，故是奇函數.故B正確；對于A：又的定義域為R，所以，故A正確.對于C：不妨取，則滿足，且，故C錯誤.對于D：令，則；令，則，故，故D正確.故選:ABD10.橢圓曲線在密碼學中有重要的應用，已知橢圓曲線，則（）A.關于坐標原點對稱B關于軸對稱C.當時，與軸只有一個公共點D.當時，與軸有兩個公共點【答案】BC【解析】點關于坐標原點的對稱點為，而，所以不關于坐標原點對稱，故A錯誤.點關于軸的對稱點為，而，所以關于軸對稱，故B正確.當時，.令，則.當或時，；當時，0，所以在區間和上單調遞增，在區間上單調遞減，故的極大值為，極小值為.又，故只有一個零點，所以與軸只有一個公共點，故C正確.當時，.令，則.當或時，；當時，，所以在區間和上單調遞增，在區間，上單調遞減，故的極大值為，極小值為.又，故有三個零點，所以與軸有三個公共點，故D錯誤.故選：BC11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，，令，求導得，函數在上單調遞減，而，則，因此，C正確；對于D，，，則，令，求導得，函數在上單調遞減，，即，因此，，D正確.故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.寫出一個半徑為，且與直線相切于點的圓的方程：________．【答案】或（寫1個即可）【解析】設圓心坐標為，半徑為，且與直線相切于點，由直線，可得該直線斜率為，所以，解得或，所以所求圓的方程為或．故答案為：或（寫1個即可）.13.記是等比數列的前項和，若，，則__________.【答案】【解析】因為是等比數列，所以公比故故答案為：14.已知，，成等差數列，若直線與曲線相切，則________．【答案】【解析】由題意得，直線，故直線過定點，且曲線過點，故直線與曲線（無拐點）相切于點.∵，∴直線的斜率，∴直線的方程為，∴，∴.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若，的面積為，求.解：（1）由已知及正弦定理可得.因為，所以，即.又，所以，則.因為，所以，則，所以.（2）由（1）知，故.因為，所以.由余弦定理得，故.16.如圖，在三棱柱中，分別為的中點.（1）證明：平面；（2）若側面底面，底面是等邊三角形，側面是菱形，且，求直線與側面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，取的中點，連接.因為為的中點，所以，且.因為為的中點，所以.又，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：如圖，取的中點，連接.因為底面是等邊三角形，所以.因為側面是菱形，且，所以.又側面底面，側面底面側面，所以底面.以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，不妨設三棱柱的各棱長為2，則，，故，.設側面的法向量為，則即令，得，所以側面的一個法向量為.設直線與側面所成的角為，則，故直線與側面所成角的正弦值為.17.已知橢圓的左?右焦點分別為為第一象限內上的一點，直線與的另一個交點為，且.（1）證明：；（2）若求直線被截得的弦長.（1）證明：由橢圓的定義得①，由題意，②，將②代入①可得：，故得.（2）解：若，則，所以則.由（1），，即點為曲線的下頂點.在中，由余弦定理，，在中，由余弦定理，，則.設曲線的半焦距為，則，所以曲線的方程為.又，所以，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.聯立得0（*）.設方程（*）.的兩個實數根分別為，則，故直線被曲線截得的弦長為：18已知函數（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若不是的極值點，求；解：（1）由已知得，所以曲線在點處的切線的斜率，且，所以所求切線方程為.（2）令，則，在區間上單調遞增.(i)若，則，所以存在正數，使得當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，故是的極值點，(ii)若，則，所以存在正數，使得當時，單調遞減；當時，單調遞增；當時，單調遞減，故是的極值點.（iii）若，則當時，單調遞減；當時，單調遞增，故當時，單調遞增，故不是的極值點.綜上，.19.若數列滿足：，若存在，都有，則稱這個數列為下界數列，并把其中最小值叫做臨界值，記為.（1）記數列前項和為，證明：數列是下