高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省部分學校2025屆高三下學期4月份模擬考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當時，，即，則，又，故.故選：B.2.已知，i為虛數單位，則的虛部為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】，故，所以的虛部為，故選：D.3.已知，則的最小值是（）A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】由可得，即，故，由，可得，當且僅當時取等號，即當時，取得最小值為8.故選：D.4若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.5.在等差數列中，公差，，下列說法正確的是（）A.是與的等比中項 B.是與的等比中項C.是與的等比中項 D.是與的等比中項【答案】A【解析】因為，得到，所以對于選項A，因為，，，又，所以，則，，構成等比數列，故選項A正確，對于選項B，因，，，又，但，所以選項B錯誤，對于選項C，因為，，，所以，，不構成等比數列，故選項C錯誤，對于選項D，因為，，，又，但，所以選項D錯誤，故選：A.6.已知圓與圓有三條公切線，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，兩圓外切，由圓方程得，半徑，由圓方程得，半徑，則，解得.故選：D7.中項的系數為（）A.56 B.69 C.70 D.55【答案】B【解析】由題意得：項系數為：，故選：B.8.已知，為橢圓與雙曲線的公共左，右焦點，為它們的一個公共點，且，O為坐標原點，，分別為橢圓和雙曲線的離心率，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可設橢圓和雙曲線的方程分別為因為二者共焦點，所以，如圖，設，由橢圓和雙曲線的定義可知，由此解得，由題意知，所以，故在中，由勾股定理可知，代入的表達式可得，由離心率的定義可得，設，則，問題轉化為求的最大值，設，由可得，當且僅當兩向量同向共線時即取等號，所以最大值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.現有一組樣本量為10的樣本數據如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，則（）A.這組數據的平均數為49 B.這組數據的標準差為8C.這組數據的第20百分位數為42 D.這組數據的極差為25【答案】BC【解析】平均數為，故A錯誤；方差，則標準差，故B正確；，則第20百分位數為，故C正確；極差為，故D錯誤.故選：BC10.已知函數，將的圖象先向右平移個單位，再把橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數圖象，則（）A.B.和在上都是增函數C.和的圖象都關于直線對稱D.將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象與的圖象重合【答案】ABD【解析】由題知，對于選項A，因為，所以選項A正確，對于選項B，當時，，，由的性質知，和在上都是增函數，所以選項B正確，對于選項C，因為，，所以和的圖象均不關于直線對稱，故選項C錯誤，對于選項D，因為，向右平移個單位長度后得到，又，所以選項D正確，故選：ABD.11.是定義在上的連續可導函數，其導函數為，下列命題中正確的是（）A.若為偶函數，則為奇函數B.若的圖象關于點中心對稱，則的圖象關于直線軸對稱C.若的周期為T，則的周期也為TD.若，為奇函數，則【答案】ABD【解析】對A，因為為偶函數，所以，都有，兩邊同時求導，，即，則為奇函數，A正確；對B，因為的圖象關于點中心對稱，故，兩邊對求導可得，，即，所以的圖象關于直線軸對稱，B正確；對C，因為的周期為T，則，故，（為常數），所以當時，不是的周期，C錯誤；對D，由可得，函數的圖象關于點中心對稱，因是定義在上的連續可導函數，故，又為奇函數，則的圖象關于原點對稱，故圖象關于點中心對稱，即，故，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點為拋物線上一點，為的焦點，則________.【答案】【解析】將代入拋物線中，得到，解得，則拋物線方程為，，故.故答案為：13.已知單位向量，滿足，且，則________.【答案】【解析】，，，所以，因，則，所以，所以.故答案為：14.數列滿足，且，的前項和為，則滿足不等式的的最大值是________.【答案】4【解析】由，則，又，所以數列為首項為2，公比為2的等比數列，則，即，所以，由，則，則，又，，所以，即，則滿足不等式的的最大值是4.故答案為：4.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量，向量，與垂直，，B，C為的內角，且A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）求A；（2）若角A的平分線交BC于點D，，求AD的最大值.解：（1）因為與垂直，所以，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，且，所以.（2）因為為的角平分線，則，由可得整理得，又因為，可得，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為.16.斜四棱柱中，底面為平行四邊形，，，，.（1）求四棱柱的體積；（2）求平面與平面的夾角的正切值.解：（1）如圖，連接交于，連接，，在中，由余弦定理可得，因，故，即，，故為等邊三角形，，由題意，，則，由題意可得，整理可得，得，則為等邊三角形，故，又，故為等邊三角形，故，又，在中，由余弦定理可得,，因，故平行四邊形為菱形，故，又，，平面，故平面，作，由平面，則，由，平面，則平面，即為斜四棱柱的高，在直角三角形中，，（2）取的中點，連接，由（1）可知為等邊三角形，則，，故為平面與平面所成角的一個平面角，在中，由余弦定理可得，17.已知O為坐標原點，雙曲線的焦距為，過點的直線與C交于A，B兩點，當軸時，的面積為.（1）求C的方程；（2）證明：為鈍角三角形.（1）解：由題意可知，則，又，則，故，將點坐標代入曲線的方程中得，又，解得（負值舍去），則C的方程為（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，故設直線的方程為，聯立得，，設，則，得且，若直線與雙曲線的兩支相交，則，則，則，則為鈍角；若直線與雙曲線的一支相交，由于雙曲線的對稱性，不妨設直線與雙曲線的左支相交，且在點上方，設，因，則，則為銳角，則為鈍角，綜上可知，始終為鈍角三角形.18.某市推行垃圾分類后，環保部門對居民分類準確率進行抽樣調查.已知該市有甲，乙兩個人口數量相等的社區，甲社區開展過多次分類培訓，乙社區未開展.現從甲社區隨機抽取100人，乙社區隨機抽取150人，統計正確分類人數如下：甲社區：80人正確分類；乙社區：90人正確分類.假設各社區中每位居民的分類行為相互獨立，用頻率估計概率.（1）若從甲社區中任選3人，求恰好2人正確分類的概率；（2）依據小概率值的獨立性檢驗，分析兩個社區居民對垃圾分類的準確率是否有差異？（3）環保部門從兩社區抽取居民的樣本中，對不能正確分類的樣本，按照分層抽樣抽取8人，再從這8人中選擇3人進行深度訪談.設X為3人中來自甲社區的人數，求X的分布列及數學期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.解：（1）已知甲社區正確分類概率的估計值，則恰好人正確分類的概率.（2）提出零假設：兩個社區居民對垃圾分類的準確率沒有差異.整理列聯表：根據題目所給信息，整理得到兩個社區居民對垃圾分類的準確率的列聯表，其中甲社區正確分類80人，不正確分類20人，合計100人；乙社區正確分類90人，不正確分類60人，合計150人；總計正確分類170人，不正確分類80人，總人數250人.根據統計量的計算公式（其中是樣本容量，、、、分別是列聯表中的四個數據），在本題列聯表中，，，，，則.已知小概率值對應的臨界值，因為，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為兩個社區居民對垃圾分類的準確率有差異.（3）甲社區不能正確分類的有20人，乙社區不能正確分類的有60人，共人.按照分層抽樣抽取人，則從甲社區抽取人，從乙社區抽取人.為人中來自甲社區的人數，則的可能取值為，，.所以的分布列為：X012可得：19.已知函數.（1）若的圖象在處的切線l過點，求a的值及l的方程；（2）若有兩個不同的極值點，，且當時恒有，求a的取值范圍.解：（1）因為，所以，而，得到切點為，設切線斜率為，由導數的幾何意義得，則切線方程為，而切線l過點，得到，解得，此