課時作業(yè)15余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例基礎(chǔ)強化1.在一幢10米高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°，那么這座塔吊的高是()A．10(1＋eq\f(\r(3),3))米B．10(1＋eq\r(3))米C．5(eq\r(6)＋eq\r(2))米D．2(eq\r(6)＋eq\r(2))米2．某人遙控一機(jī)器人，讓機(jī)器人從點A出發(fā)向正北方向走了2eq\r(3)km到達(dá)點B后，向右轉(zhuǎn)105°，然后朝新方向走了xkm后到達(dá)點C，結(jié)果發(fā)現(xiàn)機(jī)器人在點A的東北方向，則x為()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(2)D．2eq\r(2)3.如圖，飛機(jī)飛行的航線AB和地面目標(biāo)C在同一鉛直平面內(nèi)，在A處測得目標(biāo)C的俯角為30°，飛行10千米到達(dá)B處，測得目標(biāo)C的俯角為75°，這時B處與地面目標(biāo)C的距離為()A．5千米B．5eq\r(2)千米C．4千米D．4eq\r(2)千米4．已知一個足球場地呈南北走向．在一次進(jìn)攻時，某運動員從A點處開始帶球沿正北方向行進(jìn)16米到達(dá)B處，再轉(zhuǎn)向北偏東60°方向行進(jìn)了24米到達(dá)C處，然后起腳射門，則A，C兩點的距離為()A．8eq\r(7)米B．8eq\r(10)米C．32米D．8eq\r(19)米5.(多選)為了測量B，C之間的距離，在河的南岸A，C處測量(測量工具：量角器、卷尺)，如圖所示．下面是四位同學(xué)所測得的數(shù)據(jù)記錄，你認(rèn)為不合理的有()A．c與αB．c與bC．b，c與βD．b，α與γ6．(多選)某人在A處向正東方向走xkm后到達(dá)B處，他沿南偏西60°方向走3km到達(dá)C處，這時他離出發(fā)點eq\r(3)km，那么x的值可以是()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(2)D．2eq\r(2)7．海上有A、B、C三個小島，其中B島在A島的正東方向10海里處，C島在A島北偏東30°方向上，且在B島北偏西60°方向上，則B、C兩島間的距離為________海里．8．一船自西向東航行，上午10時到達(dá)燈塔P的南偏西60°、距塔20海里的M處，上午11時到達(dá)這座燈塔的東偏南30°方向的N處，則該船航行的速度為________海里/時．9．已知飛機(jī)從A地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)B地，再從B地按南偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)C地，再從C地按西南方向飛行1000eq\r(2)km到達(dá)D地．求D地與A地之間的距離．10.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12千米，漁船乙以10千米/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時在C處追上，求漁船甲的航行速度和sinα的值．能力提升11.輪船甲和輪船乙在上午11時同時離開海港C，兩船航行方向的夾角為135°，兩船的航行速度分別為25海里/時、20eq\r(2)海里/時，則當(dāng)天下午1時兩船之間的距離為()A．10eq\r(95)海里B．10eq\r(97)海里C．100海里D．10eq\r(101)海里12.當(dāng)孩子“嗖”地滑下來時，能享受到成功的喜悅．滑滑梯為兒童體育活動器械的一種，若測得∠OAB＝60°，∠ABO＝45°，∠PAO＝30°，OB＝30eq\r(2)，AO⊥OP，則滑滑梯的高度OP＝()A．18B．18eq\r(2)C．20D．20eq\r(2)13．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱的水柱高度，某人在噴水柱正西方向的D處測得水柱頂端A的仰角為45°，沿D向北偏東30°方向前進(jìn)50m后到達(dá)C處，在C處測得水柱頂端A的仰角為30°，則水柱的高度是()A．25mB．50mC．60mD．75m14．(多選)某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)nmile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離8eq\r(3)nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在南偏東60°，則下列說法正確的是()A．A處與D處之間的距離是24nmileB．燈塔C與D處之間的距離是16nmileC．燈塔C在D處的西偏南60°D．D在燈塔B的北偏西30°[答題區(qū)]題號12345611121314答案15.如圖，一座垂直建于地面的信號發(fā)射塔CD的高度為20m，地面上一人在A點觀察該信號塔頂部，仰角為45°，沿直線步行1min后在B點觀察塔頂，仰角為30°，若∠ADB＝150°，此人的身高忽略不計，則他的步行速度為________m/s.16．某校學(xué)生利用解三角形有關(guān)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)實踐活動．A處有一棟大樓，某學(xué)生選B，C兩處作為測量點，測得BC的距離為50m，∠ABC＝45°，∠BCA＝105°，在C處測得大樓樓頂D的仰角α為75°.(1)求AC兩點間的距離；(2)求大樓的高度．課時作業(yè)15余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例1．解析：根據(jù)題意作圖如下：由題意知AB＝10米，仰角∠DAE＝60°，俯角∠CAE＝45°，在等腰直角三角形CAE中，AE＝EC＝AB＝10米，在直角三角形DAE中，∠DAE＝60°，所以DE＝AEtan∠DAE＝AEtan∠60°＝10eq\r(3)(米)，所以塔高CD＝10＋10eq\r(3)＝10(1＋eq\r(3))(米).故選B.答案：B2．解析：由題意可知∠ACB＝60°，∠BAC＝45°，由正弦定理可得eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(x,sin45°)，即x＝2eq\r(2).故選D.答案：D3．解析：根據(jù)題意可知AB＝10千米，C＝75°－30°＝45°.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即BC＝eq\f(10×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(2)(千米).故選B.答案：B4．解析：如圖，根據(jù)題意可知AB＝16米，BC＝24米，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝162＋242－2×16×24×(－eq\f(1,2))，解得AC＝8eq\r(19)(米).故選D.答案：D5．解析：因為A，C在河的同一側(cè)，所以可以測量b，α與γ.故選ABC.答案：ABC6．解析：如圖，由條件可知，|AB|＝xkm，∠ABC＝30°，|BC|＝3km，|AC|＝eq\r(3)km，根據(jù)余弦定理可知3＝x2＋9－2·3x·eq\f(\r(3),2)，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3).故選AB.答案：AB7．解析：由題設(shè)可得如圖所示的示意圖：則∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，∠CBA＝30°，且AB＝10海里．故BC＝10×sin∠CAB＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)(海里).答案：5eq\r(3)8．解析：如圖，在△MNP中，由正弦定理可得，MN＝eq\f(20sin120°,sin30°)＝20eq\r(3)(海里)，則這艘船的航行速度v＝eq\f(20\r(3),1)＝20eq\r(3)(海里/時).答案：20eq\r(3)9．解析：由題意得AB＝BC＝2000km，∠ABC＝60°，所以AC＝2000km，因為∠ACD＝45°，CD＝1000eq\r(2)km，所以AD＝eq\r(AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD)＝1000eq\r(2)(km)，所以AD＝CD＝1000eq\r(2)km，∠CAD＝45°，D地在A地的南偏東45°，D地距A地1000eq\r(2)km.10．解析：由已知得，AB＝12千米，AC＝20千米，∠BAC＝120°，根據(jù)余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝122＋202－2×12×20×(－eq\f(1,2))＝784，則BC＝28千米，漁船甲的速度v＝eq\f(28,2)＝14(千米/時)在△ABC中，∠BCA＝α，由正弦定理得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，∴eq\f(12,sinα)＝eq\f(28,\f(\r(3),2))，∴sinα＝eq\f(3\r(3),14).11．解析：設(shè)輪船甲、乙在下午1時所處的位置分別為A和B，由題可知CA＝50海里，CB＝40eq\r(2)海里，∠ACB＝135°，則AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos∠ACB＝502＋(40eq\r(2))2－2×50×40eq\r(2)×(－eq\f(\r(2),2))＝9700，故AB＝10eq\r(97)海里．故選B.答案：B12．解析：在△ABO中，由正弦定理得eq\f(OB,sin∠OAB)＝eq\f(OA,sin∠ABO)，即eq\f(30\r(2),sin60°)＝eq\f(OA,sin45°)，解得OA＝20eq\r(3)，因為AO⊥OP，∠PAO＝30°，所以O(shè)P＝OA·tan30°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝20.故選C.答案：C13．解析：如圖，AB為水柱，高度設(shè)為hm，D在B的正西方向，C在D的北偏東30°方向．且CD＝50m，∠ACB＝30°，∠ADB＝45°.在△ABD中，AB＝hm，∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，所以BD＝hm，在△ABC中，AB＝hm，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，所以BC＝eq\r(3)hm．在△CDB中，∠CDB＝60°，由余弦定理得cos60°＝eq\f(502＋h2－（\r(3)h）2,2×50×h)＝eq\f(1,2)，∴h＝－50(舍)或h＝25.故選A.答案：A14．解析：由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12eq\r(6)nmile，AC＝8eq\r(3)nmile，在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin∠B)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，所以AD＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)，故A正確；在△ACD中，由余弦定理得CD＝eq\r(AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD)，即CD＝eq\r(（8\r(3)）2＋242－2×8\r(3)×24×\f(\r(3),2))＝8eq\r(3)(nmile)，故B錯誤；因為CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以燈塔C在D處的西偏南60°，故C正確；由∠ADB＝60°，D在燈塔B的北偏西60°處，故D錯誤．故選AC.答案：AC15．解析：在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，CD＝20m，則AD＝20m；在Rt△BDC中，∠CBD＝30°，CD＝20m，則BD＝20eq\r(3)m；在△ABD中，由余弦定理AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝202＋(20eq\r(3))2－2×20×20eq\r(3)×(－eq\f(\r(3),2))＝2800，可得AB＝20eq\r(7)(m)，所以步行速度為eq\f(20\r(7)m,60s)＝eq\f(\r(7),3)(m/s).答案：eq\f(\r(7),3)16．解析：(1)因為∠BAC＝180°－105°－45°＝30°，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(AC,sin45°)，所以AC＝50eq\r(2)m，即AC兩點的距離為50eq\r(2)m.(2)在△DCA中，因為∠DAC