2024～2025學年度第二學期期中學情調研高二數學試題本試卷共6頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘。注意事項:1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”。2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.A. B. C. D.2.已知，則A. B.C. D.3.從0，1，2，3，4這五個數字中選出3個不同的數字組成一個三位數，則所有滿足條件的三位數的個數為A．24B．36C．48D．60投擲一枚質地均勻骰子，當出現2點或3點時，就說這次試驗成功，每次試驗相互獨立，則在90次試驗中成功次數X的均值是A．15B．30C．45D．60設為實數，若隨機變量的分布列為，則A．B． C．D．6.展開式中的系數為A．45B．55C．120D．1657．函數存在大于1的極值點，則實數的取值范圍是A．B．C．D．8.如圖為我國數學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在用6種顏色給5個小區域（）涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有

A．480種B．720種C．1080種D．1560種二．選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，下列說法正確的是A．函數的極大值是1B．函數有三個零點C．函數的單調遞增區間為 D．函數的圖象關于點對稱10.現有4個編號為1，2，3，4的不同的球和4個編號為1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子內，則下列說法正確的是A．共有24種不同的放法B．恰有一個盒子不放球，共有144種放法C．每個盒子內只放一個球，恰有1個盒子的編號與球的編號相同，不同的放法有8種D．將4個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒的放法有12種11.已知隨機事件滿足：，則下列選項正確的是A．若，則 B．若與相互獨立，則C．若與互斥，則 D．若，則三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如果隨機變量，且，那么的值為.13.在某人工智能的語音識別系統開發中，每次測試語音識別成功的概率受環境條件（安靜或嘈雜）的影響．已知在安靜環境下，語音識別成功的概率為0.96；在嘈雜環境下，語音識別成功的概率為0.6．某天進行測試，已知當天處于安靜環境的概率為0.25，處于嘈雜環境的概率為0.75,則該天測試結果為語音識別成功的概率為_________.14.直線與曲線相切也與曲線相切，則稱直線為曲線和曲線的公切線，已知函數，，其中，若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為．四、解答題:本大題共5小題，共77分．請在答題卡指定區域內作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本題13分）已知的展開式中，第5項與第3項的系數之比為7:6.（1）求的值；（2）求展開式中二項式系數最大的項；（3）若,求的值.（本題15分）某袋中裝有大小相同質地均勻的6個球，其中4個白球和2個紅球．從袋中隨機一次取出3個球.（1）求至少有一個紅球的概率；（2）記取出白球的個數為，求的概率分布、數學期望和方差.17.（本題15分）已知函數，.（1）當時，求在上的最值；（2）討論的單調性.18.（本題17分）2024年巴黎奧運會上，網球女單決賽中，中國選手鄭欽文擊敗克羅地亞選手維基奇獲得中國在該項目上首枚金牌！展現了祖國至上，為國爭光的赤子情懷．已知網球比賽為三局兩勝制，在鄭欽文與維基奇的單局比賽中，鄭欽文獲勝的概率為，且每局比賽相互獨立．(1)在此次決賽之前，兩人交手記錄為2021年庫馬約爾站：鄭欽文0比2不敵維基奇；2023年珠海WTA超級精英賽：鄭欽文以2比1戰勝維基奇．若用這兩次交手共計5局比賽記錄來估計．（i）為多少？（ii）請利用上述數據，若鄭欽文再次遇到維基奇，求比賽局數的分布列．(2)如果比賽可以為五局三勝制，若使鄭欽文在五局三勝制中獲勝的概率大于三局兩勝制中獲勝的概率，求的取值范圍？19.（本題17分）已知函數，其中.（1）若在單調遞增，求的取值范圍；（2）求函數的零點；（3）已知，記.問是否存在實數,使得對任意恒成立？若存在,求的取值范圍；若不存在，說明理由.

2024～2025學年度第二學期期中學情調研高二數學試題答案一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分．1.C2.B3.C4.B5.A6.D7.B8.D二．選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分．9.ABD10.BCD11.AD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分．12.0.313.0.6914.四、解答題:本大題共5小題，共77分．15.解:(1)展開式的通項公式為，----2分因為第5項與第3項的系數之比為7:6,所以，-------------4分即，解之得或（舍），所以.-------------6分(2)因為所以展開式中二項式系數最大的項為----10分(3)令所以----13分16.解：(1)記至少有一個紅球為事件,則沒有紅球為所以至少有一個紅球的概率為.----4分(2)依題意的可能取值為1,2,3所以，，，----10分所以的分布列為：123所以，----12分----15分解：（1）當時，--------------2分令，則，令，則,所以在上單調遞減，在上單調遞增.又因為----------4分所以的最大值為，最小值為----------6分的定義域為---------7分①當時，令則，令，則所以在上單調遞減，在上單調遞增.---------8分②當時，令則或，令，則所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.--------10分③當時，恒成立，所以在上單調遞增.-------12分④當時，令則或，令，則所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.---------14分綜上所述;①當時，在上單調遞減，在上單調遞增;②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增;③當時，在上單調遞增;④當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上遞增.-15分18.解（1）（i）根據兩次交手記錄，鄭欽文共勝2局，負3局，因此的估計值為0.4．-2分（ii）由題知，可取值為2或3，，所以的概率分布表為------8分230.520.48三局兩勝制鄭欽文最終獲勝概率，--10分五局三勝制中鄭欽文最終獲勝的概率---------12分所以， 化簡得，---------14分因為，所以，即，所以---------16分所以使得五局三勝制獲勝的概率大于三局兩勝獲勝的概率的取值范圍是．---17分19.解：（1）因為在單調遞增，所以恒成立，--------1分即恒成立，所以.--------3分（2）函數的定義域為，且，-----4分當時，；當時，，所以函數在上為增函數，在上為減函數又因為，當時，恒成立，-------6分,故函數有且只有一個零點.--------7分（3）由（2）知，當時，，當時，恒成立，又，所以當時，恒成立，-------8分所以等價于：