1基本不等式的變式與靈活應用一、答題概要核心掌握四大變式鏈：平方均值≥算術均值≥幾何均值≥調和均值．解題需熟練配湊（拆項、系數平衡）、代數換元（簡化復雜結構）、常數代換（構造定值條件）?等技巧，強化“字母正”“和（積）定”“注意等號成立的可能性”三要素驗證．高考常融合函數最值（含參數范圍）?、恒成立問題（含參不等式轉化）?等綜合題型，需結合分類討論與數形結合思想突破．不等式a2+b2≥2ab，a+b≥是重要的不等式之一，對于它及它各種變式的掌握與熟練運用是求解很多與不等式有關問題的重要方法，這里介紹它的幾種常見的變式及應用．1．基本不等式≤（或a+b≥）成立的條件：字母正，和（積）定，注意等號可能性．2．基本不等式的變式（1）（2）（3）若b＞0，則（4）a，b∈R+，則（5）若a，b∈R+，（6）若ab≠0，則．上述不等式中等號成立的充要條件均為a=b．（7）若m，n∈R+，a，b∈R，則，（當且僅當an=bm時等號成立）．（8）（a+b+c）2≤3（a2+b2+c2）,（當且僅當a=b=c時等號成立）．二、典例解析例1設a＞b＞c＞0，則的最小值是（）A．2B．4C．D．5解：原式==≥2+2+0=4，當且僅當a2（a－b）2=1，a2b2=1且a=5c時，等號成立，解得，，，選B．說明：利用湊配的方法來考查均值不等式，但要注意等號成立的條件．例2（2022新高考Ⅱ卷，多選題）對任意x，y，x2+y2－xy=1，則（）A．x+y≤1B．x+y≥－2C．x+y≤2D．x+y≥1解：注意到ab≤≤（a、b∈R）．由x2+y2－xy=1可變形為（x+y）2－1=3xy≤，解得－2≤x+y≤2，當且僅當x=y=－1時，x+y=－2，當且僅當x=y=1時，x+y=2，所以A錯誤，B正確．由x2+y2－xy=1可變形為（x2+y2）－1=xy≤，解得x2+y2≤2，當且僅當x=y=±1時取等號，所以C正確．因為x2+y2－xy=1變形可得，設，，所以，，因此=∈[，2]，所以當，時滿足等式，但是x+y≥1不成立，所以D錯誤．選BC．例3（多選題）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則（）A．a2+b2≥B．2a－b＞ C．log2a+log2b≥－2D．≤分析：直接利用不等式的性質的應用和基本不等式的應用求出結果．解：因為a+b=1，（a+b）2≤2a2+2b2，所以a2+b2≥，故A正確．或a2+b2=a2+（1－a）2=2a2－2a+1=≥，故A正確．用分析法：要證2a－b＞，只需證明a－b＞－1即可，即a＞b－1．由于a＞0，b＞0，且a+b=1，所以b－1=－a＜0，故B正確．log2a+log2b=log2ab≤，故C錯誤．用分析法：要證≤成立，只需對關系式進行平方，整理得a+b+≤2，即≤1，故≤，當且僅當時，等號成立．故D正確．故選ABD．說明：本題考查的知識要點：不等式的性質的應用，基本不等式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力．例4若a，b，c∈R+，且a+b+c=2，求證：．證明：由變式①得，即．同理，，因此．由于三個不等式中的等號不能同時成立，故．說明：本解法應用觀察其左右兩端可以發現，對于某一字母左邊是一次式，而右邊是二次式，顯然，這個變式具有升冪與降冪功能，本解法應用的是升冪功能．另法：由變式④得．同理：，，故結論成立．說明：本解法應用“”，這個變式的功能是將“根式合并”，將“離散型”根式轉化為統一根式，顯然，對問題的求解起到了十分重要的作用．法三：由變式⑩得，故，即得結論．說明：由基本不等式a2+b2≥2ab易產生2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，兩邊同時加上a2+b2+c2即得3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，本變式的功能可以將平方進行“分拆”與“合并”．本解法是將平方進行分拆，即由整體平方轉化為個整平方，從而有效的去掉了根號．例5設a，b，c∈R+，求證：．證明：由變式⑤得，，，三式相加即得：．說明：本解法來至于“若，則”，這個變式將基本不等式轉化成更為靈活的形式，當分式的分子與分母出現平方與一次的關系時，立即可以使用，方便快捷．例6實數a，b滿足，求a+b的最大值與最小值．解：結合變式⑨得2=，因此即當且僅當3（a－4）=4（b－3）、并結合條件得及時，分別獲得最小值與最大值．說明：由a2m2+b2n2≥2mnabn（m+n）a2+m（m+n）b2≥mn（a+b）2再結合m，n∈R+即得，這可是一個很特別的公式，它溝通了兩分式和與由兩分式產生的一個特殊分式的關系，它的靈活應用不僅可以為我們解決基本不等式的最值問題，也為我們未來處理圓錐曲線問題中的最值問題開辟了新的途徑．例7已知x，y∈（－2，2），且xy=－1，求的最小值．解：由變式⑥，上述兩不等式當且僅當，再結合xy=－1得或時，取得最小值．說明：由a2+b2≥2abb（a+b）+a（a+b）≥4ab結合a，b∈R+，兩邊同除以ab（a+b）即得，本題兩次使用基本不等式，第一次應用變式，第二次應用基本不等式．值得注意的是兩次等號成立的條件必須一致，否則，最值是取不到的．例8當0＜x＜a時，不等式恒成立，求a的最大值．解：由變式⑧、⑦、②得，上述三個不等式中等號均在同一時刻x=a－x時成立．由，故a的最大值為2．說明：由（a+b）2≥4ab再結合a，b∈R+即得變式；又由a2+b2≥2ab得2（a2+b2）≥（a+b）2（a2+b2）≥（a+b）2結合ab≠0，兩邊同除a2b2即得．本題的求解，雖然“廖廖幾步”，但來之實在不易．首先這兩個變式不一定大家都熟悉，其次，三次使用變式進行轉化，必須保證等號在同一時刻取得，可謂步履維艱．可以看出：不等式a2+b2≥2ab的各種變式及其靈活運用給予我們帶來了不僅僅是一個又一個的難題被“攻克”了，而是一次又一次的體驗數學的真諦，一次又一次地充分享受數學解題的樂趣．例9如圖，已知M是正方形ABCD的邊CD所在的直線上的一動點，求的最大值．解：顯然，當M是CD中點時，．MDABC當M位于CD中點之左（包括CD延告線上）時，MA＜MB，∴MDABC當M位于CD中點之右（包括DC延長線上）時，設正方形的邊么為1，DM=x（x＞），則MC=︱x－1︱，∴MA2=1+x2，MB2=1+（x－1）2，因此（y－1）x2－2yx+2y－1=0，（y≠1）∴△x=（－2y）2－4（y－1）（2y－1）≥0y2－3y+1≤0得≤y≤，代入，當x=時，y有最大值，∴≤，有最大值．例10已知a，b，c為正實數，且abc=8，求證：≥3．證明：因為a，b，c為正實數，所以≥．同理≥b，≥c．將上述三式相加，得≥a+b+c，即≥．又abc=8，所以≥，故≥3．三、自主演練1．（2024北京卷）記水的質量為，并且d越大，水質量越好．若S不變，且d1=2.1，d2=2.2，則n1與n2的關系為（）CA．n1＜n2B．n1＞n2C．若S＜1，則n1＜n2；若S＞1，則n1＞n2D．若S＜1，則n1＞n2；若S＞1，則n1＜n2解：由題意可得，所以，代值得．若S＞1，則lnn1－lnn1＞0，可得n1＞n2；若S=1，可得n1=n2=1；若S＜1，則lnn1－lnn1＜0，可得n1＜n2；故選C．2．（多選題）已知a＞0，b＞0，，則以下正確的是（

）BCA．若a＜b，則a＜2 B．若a＜1，則b＞C．a+b的最小值為9 D．ab的最大值為3．（2022上海卷）若實數a、b滿足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．解：當a＞b＞0，有，選A．4．設實數x，y滿足5x2－4xy－y2=5，則2x2+y2的最小值為（）CA．0B．2C．D．解：設2x2+y2=m，則y2=m－2x2，∵5x2－4xy－y2=5，∴5x2－y2－5=4xy，∴16x2y2=（5x2－y2－5）2，即16x2（m－2x2）=（7x2－m－5）2，∴81x4－（30m+70）x2+（m+5）2=0．設x2=t，∴81t2－（30m+70）t+（m+5）2=0，∴△≥0，即576m2+960m－3200≥0，解得m≥或m≤（舍去）．∴2x2+y2的最小值為．5．下列不等式恒成立的是（）A．x2+≥x+B．∣x－y∣+≥2C．∣x－y∣－≥2D．∣x－y∣≥∣x－z∣+∣y－z∣解：A：作差（x2+）－（x+）=≥0，故A正確．B：當x－y＞0時，∣x－y∣+≥2恒成立；當x－y＜0時，∣x－y∣+≥2不一定成立．C：舉反例，當x=2，y=1，故不一定成立．D：∣x－y∣=∣（x－z）－（y－z）∣≤∣x－z∣+∣y－z∣，故D不一定正確．6．已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），則x2+y2的最小值是．分析：消元，由已知求得x2，代入待求式子，整理后，運用基本不等式可得所求最小值；或由已知得4=（5x2+y2）·4y2，運用基本不等式，計算可得所求最小值．解：由5x2y2+y4=1，可得．由x2≥0，可得y2∈（0，1]，則x2+y2=≥，當且僅當，，可得x2+y2的最小值為．法二由已知可得4=（5x2+y2）·4y2≤，故x2+y2≥，當且僅當5x2+y2=4y2=2，即，時取得等號，可得x2+y2的最小值為．說明：本題考查基本不等式的運用，求最值，考查轉化思想和化簡運算能力．7．已知a＞0，b＞0，且ab=1，則的最小值為．解：a＞0，b＞0，且ab=1，則待求式=≥，當且僅當，即a+b=4且ab=1，解得a=，b=或a=，b=取等號，故答案為4．另解：由已知條件消元，轉化為只含一個未知元的代數式子求最小值問題，過程略．8．若a＞0，b＞0，則的最小值為．分析：題中條件少，求最值．考察均值不等式，基本均值不等式為兩項關系，和為定值求積的最小值或者積為定值求和的最小值．當且僅當和同時成立，即a=b=時成立．說明：利用均值不等式求最值是高考的重要的考點之一，常見考法是如何靈活地創造基本不等式使用條件，如：湊系數、拆項、1的替換等，對于兩次使用基本不等式時要保證等式能同時成立．9．如圖，已知正方形OABC，其中OA=a（a＞1），函數y=3x2交BC于點P，函數交AB于點Q，當︱AQ︱+︱CP︱最小時，則a的值為．解：由題意得P點坐標為（，a），Q點坐標為（a，），所以︱AQ︱+︱CP︱=≥，當且僅當a=時，取最小值，故答案為．說明：本題考查的知識點是基本不等式，二次函數和冪函數．10．已知a＞0，b＞0，則的最大值是．變式：已知a＞0，b＞0，求證：≤．證明：設＞0，則所證不等式等價于≤≤x4－12x3+50x2－84x+49≥0（x2－6x+7）2≥0．由x2－6x+7=0，得，即時，所證不等式取等號．11．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，則的最大值為．解：因為（x2+y）－（x+y2）=（x2－y2）－（x－y）=（x－y）（x+y－1）=0，所以x2+y=x+y2，故=≤，當且僅當x=y=時取等號．12．已知a＞0，b＞0，a（1－a）+（a－b）2=a3+b3，則的最小值是．解：考慮已知條件a（1－a）+（a－b）2=a3+b3，有a（1－a）+a2－2ab+b2=（a+b）（a2－ab+b2），即a（1－a－b）+a2－ab+b2=（a+b）（a2－ab+b2）得（a+b－1）（a2－ab+b