8.1冪的運算2.冪的乘方與積的乘方第8章

整式乘法與因式分解學習目標1.理解并掌握冪的乘方法則和積的乘方法則；（重點）2.掌握冪的乘方和積的乘方法則的推導過程并能靈活運用.（難點）乘方的意義：a·

a·

…

·

an個

a=an.同底數冪的乘法運算法則：am

·an=am

·anam+n(m，n都是正整數).=(a·a·

…

·a)·m

個

a(a·a·

…

·a)n個

a=

a·a·

…

·a(m+n)個

a=

am+n.復習思考算式運算過程結果冪的乘方1怎樣計算(am)n

?先完成下表：思考：觀察上面的計算過程，冪的乘方有什么規律?

典例精析am

·

am

·

…·

amn

個

am=am

+

m

+

……

+

m

n

個

m=

amn.(am)n

=一般地，如果

m，n

都是正整數，那么歸納總結(am)n

=amn

(m，n

都是正整數).冪的乘方，底數＿＿，指數＿＿.不變相乘冪的運算性質2(冪的乘方法則)：知識要點例1

計算：(1)(105)3；(2)(x4)2.典例精析

解：(1)(105)3=105×3=1015(2)(x4)2=x4×2=x8例2計算：(1)(x3)2＋x2·x4；(2)(x2)3·(x4)3.解：(1)(x3)2＋x2·x4(2)(x2)3·(x4)3＝x6·x12＝2x6.

＝x6＋12＝x18.＝x6＋x6我們學過的冪的乘方的運算性質適用嗎？思考下面兩道題：(1)(2)

根據乘方的意義及乘法交換律、結合律思考一下應該如何計算.這兩個式子有什么特點？底數為兩個因式相乘，積的形式.這種形式稱為積的乘方積的乘方2同理：（乘方的意義）（乘法交換律、結合律）（同底數冪相乘的法則）(ab)n

=

(ab)·(ab)·…·(ab)n個ab=(a·a·…·a)·(b·b·…·b)n個

an個

b=anbn.證明：思考：積的乘方

(ab)n=?猜想結論：

因此可得：(ab)n=anbn

(n為正整數).

(ab)n=anbn

(n為正整數).合作探究積的乘方等于各因式乘方的積.(ab)n=anbn(n為正整數).想一想：三個或三個以上的因式的積的乘方等于什么？(abc)n=anbncn

(n為正整數).積的乘方乘方的積要點歸納冪的運算性質3：

(積的乘方法則)（1）（2）（3）（4）（5）（6）判斷對錯：（×）（×）（√）（×

）（×

）（

√）想一想冪的運算法則的逆用：an·bn=(ab)n

am+n=am·anamn=(am)n知識要點例3

計算：解：(1)

(2x)4=24·x4=16x4.小提示：注意區分冪的乘方與同底數冪的乘法．(1)(2x)4；

(2)(-3ab2c3)2；(2)

(

-3ab2c3

)2典例精析=

(

-3

)2·a2·(

b2

)2·(

c3

)2=9a2b4c6

因而,地球的體積約為1.1×1012km3

方法總結：運用積的乘方法則進行計算時，注意每個因式都要乘方，尤其是字母的系數不要漏算.(1)(a3b)3=a6b3

(2)(6xy)2=12x2y2

(3)-(3x3)2=9x6

(4)(-2ax2)2=-4a2x4

1.下面的計算是否正確?為什么?（

）（

）（

）（

）××××2.計算

(1)(2×103)3；

(2)(-3×104)2；(3)(3mn2)3；

(4)(-2a3b2c)2.解：原式=23×109

=8×109.原式=32×108

=9×108.原式=33×m3n6

=27m3n6.

原式=22×a6b4c2=4a6b4c2.冪的乘方法則(am)n=amn

(m，n都是正整數)注意冪的乘方，底數不變，指數相乘冪的乘方與同底數冪的乘法的區別：(am)n=amn，am·an=am+n冪的乘方法則的逆用：amn=(am)n=(an)m冪的運算性質性質

am·an=am+n

;

(am)n=amn

;

(ab)n=anbn(m,n都是正整數)反向運用

am+n=am·an

amn=(am)n=(an)man·bn=

(ab)n合理使用可以簡化運算注意運用積的乘方法則時要注意：公式中的

a、b代表任何代數式；每一個因式都要“乘方”；計算時需要注意結果的符號、冪指數及其逆向運用(混合運算要注意運算順序)(4)－(－ab2)2=a2b4()(3)(－2a2)2=－4a4()(2)(3xy)3=9x3y3()(1)(ab2)3=ab6()××××1.判斷：

2.下列運算正確的是（

）

A.x·

x2=x2B.(xy)2=xy2C.(x2)3=x6D.x2+x2=x4C3.(0.04)2025×[(－5)2025]2=_____.1

4.計算：(1)(103)3；(2)(x3)4·

x2；(3)[(-x)2]3；(4)x·

x4–x2·

x3.解：（1）原式=

103×3=

109.

（2）原式=

x12·

x2=

x14.（3）原式=

(–x)6=x6.（4）原式

=x5–x5

=0.(1)(ab)8；(2)(2m)3；(3)(-xy)5；

(4)(5ab2)3；

(5)(2×102)2；(6)(-3×103)3.5.計算：解：(1)原式=a8b8.(2)原式=23

·m3=8m3.(3)原式=(－x)5·y5=－x5y5.(4)原式=53

·a3

·(b2)3=125a3b6.(5)原式=22×(102)2=4×104.(6)原式=(－3)3×(103)3=－27×109=－2.7×1010.

(1)2(x3)2·x3－(3x3)3+(5x)2·

x7；

(2)(3xy2)2+(－4xy3)·(－xy)；

(3)(－2x3)3·

(x2)2.解：原式=2x6·x3－27x9+25x2·x7

=2x9－27x9+25x9=0.解：原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4.解：原式

=－8x9·x4=－8x13.

注意：運算順序是先乘方，再乘除，最后算加減.6.計算：7.已知

am

=

2，an

=

3.求：(1)a2m，a3n

的值；解：(1)a2m=

(am)2=

22

=

4，a3n=

(an)3=33

=

27.(3)a2m+3n=a2m.a3n=

(am)2

.

(an)3=

4×27

=

108.(3)a2m+3n

的值.(2)am+n

的值；(2)am+n=am

.

an=

2×3

=

6.能力提升：如果(an.bm.

b)3=a9