第8章

整式乘法與因式分解8.3完全平方公式與平方差公式第1課時完全平方公式1.理解并掌握完全平方公式的推導過程、結構特點；（重點）2.會運用公式進行簡單的運算．(難點)學習目標

一塊邊長為

a米的正方形試驗田，需要將其邊長增加

b米，形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實驗田的總面積，并進行比較.你發現了什么？直接求：總面積

=(a+b)(a+b)間接求：總面積

=a2+ab+ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2aabbp2+2p+1m2+4m+4p2－2p+1計算下列多項式的積，你能發現什么規律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.(3)

(p－1)2=(p－1)(p－1)=

.(4)

(m－2)2=(m－2)(m－2)=

.m2－4m+4根據上面的規律，你能直接寫出下面式子的答案嗎？(a＋b)2=

.a2+2ab+b2(a－b)2=

.a2－2ab+b2完全平方公式1完全平方公式(a+b)2=

；a2+2ab+b2(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2文字敘述為：兩個數的和（或差）的平方，等于這兩個數的平方和加（或減）這兩個數乘積的

2倍.這兩個公式叫做完全平方公式.

簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中央”要點歸納公式特征：1.積為二次三項式；2.積中的兩項分別為兩數的平方；3.另一項是兩數積的2倍，且與乘式中間的符號相同；4.公式中的字母

a，b可以表示數、單項式或多項式.(a+b)2=

；a2+2ab+b2(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2你能根據圖

1和圖

2的面積解釋完全平方公式嗎?baab圖

1baba圖

2想一想：幾何解釋：aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：a2?ab?b(a?b)=

a2?2ab+b2=(a?b)2a?baaabb(a?b)bb(a?b)2幾何解釋：(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2差的完全平方公式：a?b(a

+

b)2=a2

+2ab+b2(2x)2(1)(2x+

y)2；=4x2+4xy+y2+(y)2+2?(2x)

?

y解：(2x+

y)2=例1

運用完全平方公式計算：典例精析解：(3a－2b)2==9a2(2)(3a－2b)2.(a－b)2=a2

－2ab+b2(3a)2－

2?(3a)?(2b)+(2b)2－

12ab+4b2.例2利用乘法公式計算：(-

m-2n)2.

=m2+4mn+4n2.=[-(m+2n)]2=(m+2n)2

解：(-m-

2n)2小提示：對于含負號較多的完全平方式，可以借助偶次冪為正數進行化簡，即

(-a)2

=a2.例3

計算：(x+y

+z)2.解：原式

=[x+(y+z)]2=x2

+2x(y+z)+(y

+z)2=x2

+2xy+2xz+y2

+2yz+z2=x2

+y2

+z2

+2xy+2xz+2yz.方法總結：運用分組和整體思想計算，該等式也稱為三數的完全平方公式.例4

如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求

m的值．解：因為36x2＋(m＋1)xy＋25y2

＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2是完全平方式

所以(m＋1)xy＝±2×6x·5y，

m＋1＝±60.

解得

m＝59或

m＝－61.提醒：兩數的平方和加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．解：原式=(100+2)2=10000+400+4=10404.思考：怎樣計算1022，992更簡便呢？(1)1022；(2)992.解：原式=(100－1)2=10000－200+1=9801.完全平方公式的運用2例4

已知

a＋b＝7，ab＝10，求

a2＋b2，(a－b)2

的值.解：因為

a＋b＝7，

所以(a＋b)2＝49.

所以

a2＋b2＋2ab＝49，

即

a2＋b2＋2×10＝49.

所以

a2＋b2＝29.

故(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.要熟記完全平方公式哦！1.利用乘法公式計算：

(1)

(3x

+

1)2；

(2)

(a

-

3b)2；解：(1)

(3x

+

1)2

=9x2+6x

+

1.

(2)

(a

-3b)2=a2

-

6ab

+

9b2.

(4)

(-2x

+

3y)2=4x2

-12xy+

9y2.

2.如圖，一張正方形的紙片，如果把它沿著各邊都剪去

3

cm

寬的一條，那么所得小正方形的面積比原正方形的面積減少

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cm2，求原正方形的邊長.解：設小正方形的邊長為

acm，則大正方形的邊長為(a+6)cm.S大正方形＝(a+6)2cm2，

S小正方形＝a2cm2，

S減少＝(a+6)2

-a2＝(12a+36)cm2.

故12a+36=84cm2，＝a2+12a+62

-a2解得

a＝4，則

a+6＝10.答：原正方形的邊長為10cm.33單位：cm解：(1)原式(1)(a+b+c)2；

(2)(a－b)3

．例5

利用乘法公式計算：(2)原式=(a

-

b)3

=

a2+b2+

c2+

2ab+

2ac+2bc.=

a2+

2ab

+

b2+

2ac+

2bc+

c2=

(a+b)2

+

2(a+

b)c+

c2=

[(a+b)+c

]2=

a3-

3a2b

+

3ab2-

b3=

a3-

2a2b

+

ab2-

a2b

+

2ab2-

b3=

(a

-

b)

(a2-

2ab+b2)=

(a

-

b)(a

-

b)2(1)

(a

+

b)3；

(2)

(x

-

1)3；

1.

計算：=(a2

+2ab

+b2)(a

+

b)

解：(1)

原式=(a

+

b)2(a

+

b)

=a3+3a2b

+3ab2+

b3.=a3+2a2b

+

ab2+

a2b

+2ab2+

b3

(2)

原式=(x2

-

2x

+

1)(x

-

1)=x3

-2x2+

x

-

x2+2x-

1=x3

-3x2+3x

-1.(3)

(a

-

b

-

c)2.=(a

-

b)2

-

2(a

-

b)?c

+c2原式=[(a

-

b)

-

c]2=(a2

-

2ab

+b2)

-

2(ac-

bc)

+c2=a2

-

2ab

+b2

-

2ac+

2bc

+c2=a2

+b2+c2

-

2ab

-2ac+2bc.完全平方公式法則注意(a±b)2=a2±2ab＋b21.項數、符號、字母及其指數2.不能直接應用公式進行計算

的式子，需要先添括號變形3.常用公式變形式：a2

+b2=(a

+b)2

-

2aba2

+b2=(a

-

b)2

+2ab；

(a＋b)2

-

(a

-

b)2=4ab.1.若

a2

+

ab

+

b2

+

A

=(a

-

b)2，那么

A=（）

A．-3ab

B．-2ab

C．0

D．abA解析：A

=

(a

-

b)2

-

(a2

+

ab

+

b2

)

=

-3ab.=a2

-

2ab+b2

-

a2

-

ab

-

b22.下面各式的計算是否正確？如果不正確，應當怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2；(2)(x－y)2=x2－y2；(3)(－x+y)2=x2+2xy+y2；(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2.××××=x2+2xy+y2=x2－2xy+y2=x2－2xy+y2=4x2+4xy+y2(1)(6a+5b)2；

=36a2+60ab+25b2.

(2)(4x－3y)2

；

=16x2－24xy+9y2.(3)(2m－1)2

；

=4m2－4m