高級中學名校試題PAGEPAGE1內蒙古赤峰市2025屆高三下學期模擬考試數學試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.如圖，向量對應的復數是，則的值為（）A.6 B. C.13 D.【答案】C【解析】由題意，向量對應的復數是，則.故選：C.2.已知集合，其中表示不超過的最大整數，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，，，則.故選：D.3.已知向量和滿足與的夾角為，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由題意，.故選：D.4.已知銳角滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，①，則，又，所以，所以，因為為銳角，所以，所以②，由①和②聯立可解得，所以.故選：B.5.在平面內，兩定點、之間的距離為，動點滿足，則點軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以線段的中點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則點、，設點，由可得，整理可得，化為標準方程得，如下圖所示：所以，點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，因此，點軌跡的長度為.故選：A.6.某學校有兩家餐廳，王同學第一天去兩個餐廳的概率分別是和，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為，則王同學第二天去餐廳的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，設王同學第一天去餐廳為事件，第二天去餐廳為事件，第一天去餐廳為事件，第二天去餐廳為事件，則，，則根據全概率公式，.故選：C.7.如圖所示，用一個與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個橢圓面，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設圓的半徑為，橢圓方程為，由題意，截面橢圓的半短軸長等于圓柱的底面半徑，即，因為，，所以，在中，，，所以，所以橢圓的半長軸長等于，即，所以，因此橢圓的離心率.故選：D.8.閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：直線l是兩平面與的交線，則下列向量可以為直線l的方向向量的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由閱讀材料可知：平面的法向量可取，平面的法向量可取，設直線的方向向量，則，令，則，故選：B二?多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數列的前項和為，且，若，則（）A. B.是公差為2的等差數列C. D.【答案】ACD【解析】因為，所以數列為等差數列，且，則，又，則.故A選項正確；，則，即為公差的等差數列，故B選項錯誤；由，故C選項正確；，則，故D正確.故選ACD.10.已知函數，則（）A.是周期為的函數B.與函數是同一函數C.是的一條對稱軸D.在區間上的取值范圍是【答案】AD【解析】由題意，，故A正確；，故B錯誤；因為，所以不是的一條對稱軸，故C錯誤；當時，，則，則，即在區間上的取值范圍是，故D正確.故選：AD.11.數學里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數形結合的思想方法.比如形狀酷似“星星”的曲線（如圖所示），則下列關于曲線的說法正確的有（）A.周長大于25B.共有4條對稱軸C.圍成的封閉圖形面積小于14D.圍成的封閉圖形內能放入圓的最大半徑為1【答案】ABC【解析】對A：由題意，在第一象限曲線的方程為，即，當時，曲線在圓的下方，理由如下：因為，可設，，則而（只有當或時取“”）.所以（只有和時取“”）.故時，曲線在圓的下方.即第一象限曲線的長度大于圓周長的，即曲線的周長大于圓的周長，而，則A選項正確；對B：由曲線的方程為可知，因為，，，代入方程，方程都不變，所以曲線關于軸，軸，直線和對稱，共有4條對稱軸，則選項B正確；對C：由A選項的推證可知：曲線圍成的封閉圖形的面積，則選項C正確；對D：第一象限曲線的方程為，所以，，（都是當且僅當時取“”）.所以曲線上距離原點的最短距離為，因此圍成的封閉圖形內最大能放入半徑為的圓，則選項D錯誤.故選：ABC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.展開式的常數項為______.【答案】60【解析】的常數項為,故答案為：13.銳角中，分別為角所對的邊，且，若，則周長的取值范圍是__________.【答案】【解析】由已知得，所以，解得，由正弦定理得，所以，，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以銳角周長的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數在上的最大值比最小值大，則______.【答案】1【解析】，所以為奇函數，且在上的最大值比最小值大，所以在上最大值比最小值大.由對勾函數的性質可得在上單調減，在上單調遞增.當時，即時，在上單調遞增.則，解得.當時，即時，在上單調遞減，在上單調遞增.，因為，所以，所以，解得（舍去）或9（舍去）.綜上，故答案為：1四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.為了研究某市高三年級學生的性別和身高的關聯性，隨機抽取了200名高三年級學生，整理數據得到如下列聯表，并畫出身高的頻率分布直方圖：性別身高合計低于不低于女20男50合計200（1）根據身高的頻率分布直方圖，求列聯表中的，的值；（2）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為“高三年級學生的性別”與“身高是否低于”有關聯？（3）將樣本頻率視為概率，在全市不低于的學生中隨機抽取6人，其中不低于的人數記為，求的期望.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由圖，低于學生有人，則不低于170cm的學生有人.從而，；（2）零假設為：性別與身高沒有關聯，計算可得根據的獨立性檢驗，推斷不成立，因此該市高三年級學生的性別與身高是否低于170cm有關聯；（3）樣本中抽中不低于175cm的頻數為人樣本中抽中不低于175cm的頻率為將樣本頻率視為概率，在全市不低于170cm的學生中隨機抽取6人，其中不低于175cm的人數記為，則.16.已知函數.（1）求在點處的切線方程；（2）若函數有兩個極值點，求取值范圍.解：（1）函數的定義域為，，故，，所以，在點處切線方程為，即.（2）函數的定義域為，且，有兩個極值點等價于有兩個不等正根，即有兩個不等正根，設，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，如下圖所示：當時，直線與函數的圖象有兩個交點，設這兩個交點的橫坐標分別為、，由圖可知，當或時，，則，當時，，則，所以，函數的增區間為、，減區間為，此時，函數的極大值點為，極小值點為，故當時，有兩個極值點，綜上，的取值范圍為.17已知數列中，.（1）若依次成等差數列，求；（2）若，證明數列為等比數列，并求數列的前項和.（1）解：，又依次成等差數列，所以，即，解得.（2）證明：因為，且，所以是首項為1，公比為2的等比數列，可得，則，.18.如圖所示，三棱柱中，平面平面，，，點為棱的中點，動點滿足.（1）當時，求證：；（2）若平面與平面所成角的正切值為，求的值.（1）證明：方法一：由可得，，即，即.如圖：當時，在中，，，，因為，所以，又，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.又在平行四邊形中，，，為中點，所以，，平面，所以平面.又平面，所以.方法二：（向量方法）因為平面平面，平面平面，所以過作于，則平面；連接，因為，所以.在中，，，.所以，則，.，當時，..所以.（2）解：如圖，由（1）得：兩兩垂直，故可以為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立如圖所示坐標系.平面中，，.，設平面的法向量為：，則,令，則；平面中，由（1）可知，，設，因為，，所以.，設平面的法向量為，則,令，則；由題意，設平面與平面所成角為，且，則.，解得.即平面與平面所成角的正切值為時，的值為.19.已知點為圓上任意一點，點，線段的垂直平分線交直線于點，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線與曲線相切，且與直線分別交于點.（i）證明：點為線段的中點；（ii）求的取值范圍.解：（1）為的垂直平分線上一點，則..點的軌跡為以為焦點