高級中學名校試題PAGEPAGE1江西省上饒市多校2024-2025學年高一下學期4月月考數學試卷一、單選題（本大題共8個小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.和相等的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D.2.若是平面內的一個基底，則下列四組向量中可以作為平面向量基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以不能作為平面向量的基底，A不正確；因為不共線，所以能作為平面向量的基底，B正確；因為，所以不能作為平面向量的基底，C不正確；因為，所以不能作為平面向量的基底，D不正確.故選：B.3.已知，，點P在直線上，且，則點P的坐標為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】設點P的坐標為，，，則，．由且點P在直線上，得或．∴或解得或∴點P的坐標為或．故選：C.4.已知是平面內兩個非零向量，，那么“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若，，所以，，當時，，當時，，此時，故“”是“”的不充分條件，因為，若，則，當且僅當方向相同時取到等號，則恒成立，故，但兩個向量間的系數不確定，不能推出“”；綜上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.5.斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數1，1，2，3，5，8，…為邊長比例的正方形拼成矩形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．如圖，矩形是由若干符合上述特點的正方形拼接而成，其中，則圖中的斐波那契螺旋線的長度為（）A.11π B.12π C.15π D.16π【答案】B【解析】不妨設正方形邊長為，則，解得，所以圖中斐波那契螺旋線的長度為．故選：B．6.函數（且）的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，，化簡得，根據函數的圖象和性質，可得在內為增函數且為正值，在內為增函數且為負值，在內為減函數且為負值，故C正確.故選：C.7.古希臘數學家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構造無理數.已知與交于點，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標系，由題意得，則，.因為，故，因為，所以（負值舍去），所以，故.又，則，因為，所以，解得，所以.故選：A.8.已知定義在上的函數，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則函數定義域為關于原點對稱，且，所以函數是奇函數，所以不等式，因為函數和在上均為增函數，所以函數為定義在上的增函數，所以，所以不等式的解集是.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有錯選的得0分）9.下列命題中正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若角是第三象限角，則可能在第三象限C.若且，則為第二象限角D.銳角終邊上一點坐標為，則【答案】BCD【解析】A選項：若，則，有充分性；若，則或沒有必要性.A錯誤；B選項：若角是第三象限角，則，則，當時，為第一象限角；時，為第三象限角；當時，為第四象限角；所以可能在第三象限.B正確；C選項：，則為第二象限或第四象限角；，則為第一象限或第二象限角，同時滿足上述條件，所以為第二象限角.C正確；D選項：銳角終邊上一點坐標為，則有，，所以，且為銳角，所以，D正確.故選：BCD.10.函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，且函數圖象與函數圖象有相同的對稱中心，則（）A.B.函數的圖象關于直線對稱C.在區間上存在函數圖象的2個對稱中心D.若函數在區間上單調遞增，則【答案】ACD【解析】因為函數與函數有相同的對稱中心，所以，且，又函數的對稱中心為，所以，又，所以，所以，所以，對于A，，故A正確；對于B，令，所以函數的對稱軸方程為，令，所以函數的圖象不關于直線對稱，故B錯誤；對于C，令，所以函數的對稱中心為，在區間上存在函數的兩個對稱心為和，故C正確；對于D，區間，令，當時，得到函數在單調遞增，所以，故D正確.故選：ACD．11.已知是平面內的兩個單位向量，且，則的值可能為（）A. B. C. D.1【答案】CD【解析】如圖，設，則，設，易知在直線上，由可得，，，又，則，過作，易知，又，故，結合選項，可能取值為或.故選：CD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知平面內給定三個向量.若，則實數的值為__________.【答案】【解析】因為，又，所以，所以.13.已知函數，則______.【答案】【解析】因為，所以，故.14.已知函數，若在區間上單調遞增，且在區間上有且只有一個零點，則的取值范圍是________.【答案】【解析】令，則，解得，令，則，而在區間上單調遞增，得到，解得，令，得到，解得，令，，令，，令,得到，因為在區間上有且只有一個零點，所以，解得，綜上，的取值范圍是.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在平面直角坐標系中，銳角的頂點是坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點．將角的終邊按逆時針方向旋轉得到角．（1）求；（2）求的值.解：（1）∵點在單位圓上，∴，∵為銳角，則，∴解得．∴，∴，．（2）．16.如圖，在中，.設.（1）用表示；（2）若為內部一點，且.求證：三點共線.解：（1），.（2），又，故，故三點共線.17.如圖，四邊形是正方形.在邊上運動，在邊上運動，與交于點.（1）若是的中點，，，求實數的值；（2）若，，求的最大值.解：（1）如圖，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為6，則，所以，，設點，則，由，得，所以，即，得到，設，則，所以，解得.（2）因為三點共線，且，所以，設正方形的邊長為1，，則，所以，，，所以，又，所以，所以，，所以，若，則，若，則，當且僅當，即時，等號成立，綜上所述：的故大值為1.18.已知，相鄰兩個最值點間的距離為.（1）求函數的解析式及其對稱中心；（2）求不等式在上的解集；（3）若關于的方程在上有三個不相等的實數根，求實數的取值范圍.解：（1）因為，所以，因為相鄰兩個最值點間的距離為，所以由勾股定理得，解得，則，令，解得，故的對稱中心為.（2）由，因此，得，得，因為，所以或，故或，故不等式在上的解集為或.（3）由，得，故，因此函數的值域為，函數設，要使關于的方程在上有三個不相等的實數根，當且僅當關于的方程在和上分別有一個實數根，或有一個實數根為1，另一實數根在區間上；令，①當關于的方程在和上分別有一個實數根時，解得：；②當方程的一個根是時，，另一個根為，不滿足條件；③當方程的一個根是1時，，另一個根為，不滿足條件.綜上，滿足條件的實數的取值范圍是.19.已知兩個函數，，，若對任意的，存在唯一的，使得成立，則稱為的“友好函數”.（1）判斷函數，是否為，的“友好函數”，并說明理由；（2）若函數，是，的“友好函數”，求的最小值；（3）已知函數，，，，若是的“友好函數”，且也是的“友好函數”，求實數的值及的最大值.解：（1），不是，的“友好函數”，理由如下：取，因為，所以不存在，使得，所以，不是，的“友好函數”.（2）由題意，對任意，存在唯一使成立，即，所以函數的值域是函數值域的子集.因為，，所以，其值域為，而在上單調遞增，故值域為，從而，即，所以.（3）當是的“友好函數”時，由題意，對任意的，存在唯一的，使成立，即，則的值域是值域的子集.當是的“友好函數”時，由題意，對任意的，存在唯一的使成立，即，則的值域是值域的子集.所以的值域與值域相同（且值域中的數值一一對應）.當是的“友好函數”時，因為，若存在使得，則不存