高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省蘇州市九校2025屆高三下學期決勝高考大聯考一數學試題一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則，故選：A．2.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，，所以在上的投影向量為，故選：B.3.某普通高中高二年級學生參加體育學業水平考試立定跳遠項目模擬測試，甲、乙兩位同學連續5次的測試數據如下表單位：甲210220216220230乙215212216223249下列說法錯誤的是（）A.甲同學測試數據的眾數為220 B.乙同學測試數據的極差為37C.甲同學測試數據的分位數為220 D.乙同學測試數據的平均數為223【答案】C【解析】對于A，220出現的次數最多，所以為眾數，故A正確；對于B，因為，所以極差為37，故B正確；對于C，將甲同學測試數據從小到大排列：.因為，所以分位數為，故C錯誤；對于D，因為，故D正確.故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，所以，所以，，即．故選：B．5.已知，分別為橢圓的左，右焦點，為上的一點，且，，，則的短軸長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，所以的短軸長為.故選：B．6.已知圓錐的底面半徑為3，圓錐內的最大球的表面積為，則該圓錐的側面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由球的表面積公式，即圓錐內的最大球的直徑為，圓錐軸截面如圖，則，，因為，所以，設，則，，則，在中，，所以，所以，所以圓錐的側面積為．故選：B．7.已知函數的圖象關于直線對稱，且在上有最大值沒有最小值，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，則，因為在上有最大值沒有最小值，所以，，又因為的圖象關于直線對稱，則，，解得，，所以當時，符合要求.故選：D．8.若的三個內角均小于120°，點滿足，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據以上性質，已知是平面內的任意一個向量，向量，滿足，且，，則的最小值是（）A.9 B. C.6 D.【答案】C【解析】設，，，，，，，則，，，所以，因為為等邊三角形，由題意，等邊的費馬點為的中心，此時取最小值，所以，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，（）（為虛數單位），則（）A. B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，復數的共軛復數，所以，，所以，A正確；對于B，，，B錯誤；對于C，因，，因為，所以，C正確；對于D，若，則，所以點到點的距離小于等于，故點在以為圓心，為半徑的圓上或圓內，所以原點到的距離的最大值為原點到圓心的距離加半徑，所以，D正確，故選：ACD．10.已知是拋物線的焦點，M，N是C上的點，O為坐標原點．則（）A.B.若，則線段MN的中點到y軸的距離為2C.以MN為直徑的圓與C的準線相切D.當時，【答案】ABD【解析】由題意可得，解得，A正確；如圖，作準線，垂足為，作準線，垂足為，由拋物線性質得，所以線段MN的中點到準線的距離為，所以線段MN的中點到軸的距離為，B正確：由B可知，的中點到準線的距離，以為直徑的圓的半徑為，當時，圓與準線相切，所以只有當線段MN過拋物線焦點時，以為直徑的圓與的準線相切，否則不正確，C錯誤；設，，若．則，，，所以，當且僅當時取等．故選ABD．11.在經濟增長模型中，假設某種經濟指標的增長與一種特殊函數關系密切相關．定義增長正弦函數為，增長余弦函數為，增長正切函數．則（）A.增長余弦函數是偶函數B.增長正弦函數是增函數C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，，故增長余弦函數是偶函數，故A正確；對于B，的定義域為，為增函數，為減函數，故為增函數，故B正確；對于C，若，則，解得，所以，故C錯誤；對于D，，=,，，,當且僅當時等號成立，取到最小值.故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．12.已知，則__________．【答案】【解析】因為為展開式中的系數，展開式中的系數為，展開式中的系數，所以．故答案為：.13.已知函數的定義域為R，．若函數為奇函數，為偶函數，則__________．【答案】2【解析】因為函數為奇函數，為偶函數，所以，，則，所以為周期函數，且周期為4，因為，所以為周期函數，且周期為4，所以．故答案為：214.如圖，一圓形紙片的圓心為，半徑為，以為中心作正六邊形，以正六邊形的各邊為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點恰好落在圓上，現沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖形如圖所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺．若該正六棱臺的高為，則其體積為__________．【答案】【解析】如圖，以為底邊的等腰三角形的中位線為，連接，分別交，與點，，則，分別為，的中點，設，則由中位線和正六邊形性質得，，，折疊后形成的正六棱臺如圖所示，由正六邊形性質得，，，連接，則是正六棱臺的高，即，過點作，交于點，由正六棱臺結構特征可知平面，平面，，在中，，解得，正六棱臺的上下底面的邊長分別為和，正六棱錐上底面面積為，下底面面積為，該正六棱臺的體積為．故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．請在答題卡指定區域內作答．解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數列中，，（1）求數列的前項和；（2）證明：．（1）解：由，取倒數可得，令，化簡可得，則，解得，由，則數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，可得，則.（2）證明：由（1）可得，則，由，則，，由函數上單調遞減，當時，，則在上單調遞增，當時，，由在上單調遞減，則在上單調遞減，所以.16.如圖，在直四棱柱中，，，，．點在棱上，平面與棱交于點．（1）求證：；（2）若與平面所成角的正弦值是，求三角形的面積．（1）解：在直四棱柱中中，平面，平面，，連接，，，，又，，，，平面，，平面，平面，．（2）解：以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，設，，平面的法向量為，，則，解得，則，，，設，，因為四點共面，則，，解得，，，，為棱的中點．所以，，，，所以，所以三角形的面積．17.已知雙曲線過點，，是雙曲線的左右頂點，且．（1）求雙曲線的方程：（2）直線過點交雙曲線于點，，直線，交于點，求的最大值．解：（1）因為，是雙曲線左右頂點，且，即，得，將點代入雙曲線方程得，解得，所以雙曲線方程為．（2）由已知可得直線的斜率不為零，所以設直線，，，聯立直線方程與雙曲線方程，消去得，方程的判別式，由韋達定理得，，且，直線，直線，聯立直線與直線方程，解得，即直線與直線交點在直線上，點關于直線的對稱點，所以，所以，當點在直線與直線的交點時，即點、、共線時，取到最大值．18.甲，乙兩名圍棋學員進行圍棋比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽中當一方比另一方多兩分比賽中止，多得兩分的一方鴍得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結果相互獨立．（1）若，，，求進行4局比賽后甲學員贏得比賽的概率；（2）當時，（i）若比賽最多進行6局（若到第6局時未分出勝負，也結束比賽），求比賽結束時比賽局數的分布列及期望的最大值；（ii）若比賽不限制局數，寫出“甲學員贏得比賽”的概率（用，表示），無需寫出過程．解：（1）4局比賽結束后甲學員贏得比賽，甲乙學員的得分情況為2：0，3：1，若甲乙學員得分情況為2：0，概率，若甲乙學員得分情況為3：1，概率，所以4局比賽結束甲學員贏得比賽的概率為．（2）（i）因為，所以每局比賽結果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得X的所有可能取值為2，4，6，則，，，所以X的分布列為：X246P所以X的期望，因為，所以，當且僅當時，等號成立．所以，所以．故的最大值為；（ii）記“甲學員贏得比賽”為事件M，當甲，乙兩名學員得分總數相同時，甲學員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學員贏得比賽的概率相同，所以，所以，即，因為，所以．19.設函數的定義域為，其導函數為，區間是的一個非空子集．若對區間內的任意實數，存在實數，使得，且使得成立，則稱函數為區間上的“函數”．（1）判斷函數是否為上的“函數”，并說明理由；（2）若函數是上的“函數”．（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：，．解：（1）因為，則