高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省南通市2023-2024學年高二下學期期中質量監測數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.3.本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，若，則（）A. B. C.4 D.2【答案】B【解析】由，知，使得，即，所以，解得，所以.故選：B2.記函數的導函數為.若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】，所以.故選：D.3.某產品的廣告費用（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下關系：2456830405060已知與的線性回歸方程為，則等于（）A.68 B.69 C.70 D.71【答案】C【解析】由題意可知，，因為線性回歸方程過樣本中心點，所以，所以，解得．故選：．4.已知函數，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數的定義域為，當時，，因為函數在上都是增函數，所以函數在上是增函數，當時，，則，當時，，當時，，所以函數上單調遞減，在上單調遞增，綜上所述，的增區間為，減區間為，則A選項符合題意.故選：A.5.在的展開式中，含項的系數為（）A.16 B.-16 C.8 D.-8【答案】B【解析】由題意所求系數為：．故選：B．6.甲?乙兩人投籃命中率分別為和，并且他們投籃互不影響.現每人分別投籃2次，則甲與乙進球數相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲與乙兩個進球數都為0概率為：，甲與乙兩個進球數都為1的概率為：，甲與乙兩個進球數都為2的概率為：，所以甲與乙進球數相同的概率，故選：C7.今年春節，《熱辣滾湯》?《飛馳人生2》?《熊出沒之逆轉時空》?《第二十條》引爆了電影市場，小帥和他的同學一行四人決定去看電影.若小帥要看《飛馳人生2》，其他同學任選一部，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分兩種情況討論：(1)小帥和其中一個同學同時看《飛馳人生2》，另外兩個看剩余三部電影中的兩部，此時所求概率為：；(2)觀看《飛馳人生2》只有小帥一人，只需要將剩余三人分成兩組，再將這兩組人分配給兩部電影，此時所求概率為：；綜上，恰有兩人看同一部影片的概率；故選：B8.已知函數，若對任意正數，，都有恒成立，則實數a的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不妨令，則，即在單調遞增，因為，則在上恒成立，即，在上恒成立，則，又，∴．故選：C二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有3名學生和2名教師排成一排，則下列說法正確的是（）A.共有120種不同的排法B.當2名教師相鄰時，共有24種不同的排法C.當2名教師不相鄰時，共有72種不同的排法D.當2名教師不排在兩端時，共有48種不同的排法【答案】AC【解析】對于A，共有種不同的排法，故A正確；對于B，共有種不同的排法，故B錯誤；對于C，共有種不同的排法，故C正確；對于D，共有種不同的排法，故D錯誤.故選：AC.10.已知，則（）A.展開式各項的二項式系數的和為B.展開式各項的系數的和為C.D.【答案】AC【解析】對于A，的展開式各項的二項式系數的和為，A正確；對于B，令，得，即的展開式各項的系數的和為1，B錯誤；對于C，令，得，則，，即有，C正確；對于D，對兩邊求導，得，令，得，D錯誤.故選：AC11.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱組合而成，，，是上的動點．則（）A.平面平面B.為的中點時，C.存在點，使得直線與的距離為D.存在點，使得直線與平面所成的角為【答案】AB【解析】對于選項A，由題意知，，平面，因為平面，所以，又，、平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，即選項A正確；對于選項B，當為的中點時，取的中點，連接，，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為和都是等腰直角三角形，所以，所以，所以，即選項B正確；對于選項C，因為，且平面，平面，所以平面，所以直線與的距離等價于直線到平面的距離，也等價于點到平面的距離，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設點，其中，，由射影定理知，，即，所以，，，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，若直線與的距離為，則點到平面的距離為，而點到平面的距離，所以不存在點，使得直線與的距離為，即選項C錯誤；對于選項D，，，所以，，，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，若直線與平面所成的角為，則，由，知，代入上式整理得，此方程無解，所以不存在點，使得直線與平面所成的角為，即選項D錯誤．故選：AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，且，則__________.【答案】【解析】因為隨機變量，且，所以.故答案為：.13.已知事件相互獨立.若，則__________.【答案】【解析】因為事件相互獨立，所以事件相互獨立，所以，所以故答案為：.14.若函數有絕對值不大于1的零點，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】令，得，因為函數有絕對值不大于1的零點，所以方程有絕對值不大于1的解，令，則，令，得，令，得或，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）求曲線在處的切線方程；（2）求在上的最值.解：（1）函數，求導得，則，而，所以曲線在處切線方程為，即.（2）由（1）知，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，而，所以當時，函數取得最大值，當時，函數取得最小值，16.如圖，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中點.（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的正弦值.解：（1）在直四棱柱中，，則直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，而，且是的中點，則，，設平面的法向量，則，令，得，所以點到平面的距離.（2）設平面的法向量，則，令，得，設二面角的大小為，則，所以二面角的正弦值17.“五一”假期期間是旅游的旺季，某旅游景區為了解不同年齡游客對景區的總體滿意度，隨機抽取了“五一”當天進入景區的青?老年游客各120名進行調查，得到下表：滿意不滿意青年8040老年10020（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為“是否滿意”與“游客年齡”有關聯；（2）若用頻率估計概率，從“五一”當天進入景區的所有游客中任取3人，記其中對景區不滿意的人數為，求的分布列與數學期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設“是否滿意”與“游客年齡”沒有關聯，，所以依據小概率值的獨立性檢驗，可以推斷零假設不成立，即能認為“是否滿意”與“游客年齡”有關聯；（2）由題意，任抽取人不滿意的概率為，則，所以，，，，所以的分布列為：所以.18.已知函數.（1）討論的單調性；（2）當時，證明：；（3）若函數有兩個極值點，求的取值范圍.解：（1）函數的定義域為，求導得，當時，，函數在上單調遞減，當時，由，得，由，得，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，函數的遞減區間是，無遞增區間；當時，函數的遞減區間是，遞增區間是.（2）由（1）知，當時，函數在取得最小值，要證，只需證明，令，求導得，當時，，當時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，，所以當時，，即成立.（3）函數的定義域為，求導得，由函數有兩個極值點，得方程在上有兩個不等實根，設，對稱軸為，，則，且，，即；，令，由，得，即，解得，令，求導得，因此函數在上單調遞減，，即，所以的取值范圍是.19.現有外表相同，編號依次為的袋子，里面均裝有個除顏色外其他無區別的小球，第個袋中有個紅球，個白球.隨機選擇其中一個袋子，并從中依次不放回取出三個球.（1）當時，①假設已知選中的恰為2號袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的條件下，恰好選的是3號袋子的概率；（2）記第三次取到白球的概率為，證明：.解：（1）①時，第二個袋中有2白2紅，共4個球，從中連續取出三個球（每個取后不放回），第三次取出為白球的情況有：紅紅白，紅白白，白紅白，∴第三次取出為白球的概率為；②設選出的是第個袋，連續三次取球的方法數為，第三次取出是白球的三次取球顏色有如下四種情形：（白，白，白），若則，取法數為，若或或，取法數為，也滿足關系，故取（白，白，白）的取法可表示為，同理（白，紅，白），取法數為，（紅，白，白），取法數為，（紅，紅，白），取法數為，從而第三次取出的是白球的種數為：，則在第個袋子中第三次取出的是白球的概率，則在第個袋子中第三次取出的是白球的概