高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省常州市聯盟學校2024-2025學年高一下學期學情調研數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，點，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設點，由向量的坐標表示可知，，所以，解得，即點的坐標為.故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由二倍角的余弦公式可得.故選：D.3.已知，，，若，，三點共線，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】已知，，則.因為，，三點共線，所以與共線.可得.即，等式兩邊同時除以，因為，若，則，此時，得到.故選：B.4.在平面直角坐標系中，角與的頂點均為坐標原點O，始邊均為x軸的非負半軸．若角的終邊與單位圓交于點，將OP繞原點O按逆時針方向旋轉后與角的終邊重合，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，，由于，所以．故選：A．5.在平行四邊形中，，，，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】由向量的加法運算及題干條件可知，，所以.故選：C.6.若函數取最小值時，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，其中，因為當時取得最小值，所以，故.故選：B.7.已知，則（）A.5 B. C.-5 D.【答案】D【解析】，則，則即，所以，∴.故選：D.8.已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得兩次最大值1，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數在區間上是增函數，則有，由可得，所以，又函數在區間上恰好取得兩次最大值1，得，所以ω>0ω≤352故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列式子化簡正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，由誘導公式可知，逆用兩角和的余弦公式可得，故A錯誤；對于B，由誘導公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得，故B正確；對于C，由輔助角公式可知，故C正確；對于D，逆用兩角和的正切公式可得，故D正確.故選：BCD.10.已知，，是同一平面內的三個非零向量，下列命題中正確的是（）A.B.若，則C.若，滿足，則與的夾角為D.與向量垂直【答案】ACD【解析】對于A，，又，所以，故A正確；對于B，當為零向量時，可以不為相等向量，故B錯誤；對于C，因為，所以圍成的是正三角形，如圖，由平行四邊形法則可知與的夾角為，故C正確；對于D，，與垂直，故D正確.故選：ACD.11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.是的一個最小正周期 B.是偶函數C.在上單調遞減 D.是圖象的一條對稱軸【答案】BC【解析】根據誘導公式，可得：，所以是的一個周期.下面判斷是否為最小正周期：，所以是的最小正周期，則不是的一個最小正周期，A選項錯誤.函數的定義域為，關于原點對稱.可得，所以是偶函數，B選項正確.已知,當時，，根據復合函數單調性，知道在單調遞減，故C選項正確.由于，當，即為圖象對稱軸，所以不是圖象一條對稱軸，D選項錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的值為__________．【答案】2【解析】已知，故，所以.13.若函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象關于軸對稱，則的最小值為________．【答案】【解析】將函數的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，由于函數為偶函數，則，可得，因為，故當時，取最小值.14.已知，，是同一平面內的三個單位向量，且，則的最大值是________．【答案】【解析】由于，因為是單位向量，所以，則，.已知，代入上式可得：，則.根據向量模的性質，可得：因為是單位向量，所以，可得：當且僅當與同向時，等號成立，所以的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知角（1）求的值；（2）若求的值．解：（1）因為所以所以.所以.（2）由（1）知，因為，，所以所以的值為.16.已知向量，滿足，，．（1）求向量與的夾角；（2）若，求的值；（3）若向量在方向上的投影向量為，求的值．解：（1）已知，根據向量數量積的分配律展開可得：，因為，所以；，所以.代入上式可得，即，解得.設向量與的夾角為，，根據向量夾角公式可得：，因為，所以.（2）因為，可知.同樣根據向量數量積的分配律展開可得：將，，代入上式可得：，解得.（3）向量在方向上的投影向量.則.將，代入可得：.17.函數的部分圖像如圖所示．（1）求的解析式；（2）已知函數，，求的最大值．解：（1）由圖象可知的最大值是，所以，當時，，可得，又，所以，當時，有最小值，所以，解得，所以.（2），可得，所以，即時，取得最大值為.18.在中，滿足：，是的中點．（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若是線段上任意一點，且，求的最小值；（3）若點是內一點，且，，，求的最小值．解：（1）因為，所以，因為，所以，，，所以.（2）因為，，是中點，所以，設，則，因為是的中點，所以所以，當且僅當時，的最小值是．（3）設，，則，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以當，即時，