【課標要求】1.1

基本計數原理了解分類加法計數原理與分步乘法計數原理．會用這兩個原理分析和處理一些簡單實際計數問題．1．2．第1頁了解兩個計數原理內容及它們區分．(難點)兩個計數原理應用．(重點)應用兩個計數原理時，合理選擇分類還是分步．(易混點)

【關鍵掃描】1．2．3．第2頁分類加法計數原理與分步乘法計數原理自學導引分類加法計數原理分步乘法計數原理做一件事，完成它有n類方法，在第一類方法中有m1種不一樣方法，在第二類方法中有m2種不一樣方法，…，在第n類方法中有mn種不一樣方法，那么完成這件事共有N＝_________________種不一樣方法.做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不一樣方法，做第二個步驟有m2種不一樣方法，…，做第n個步驟有mn種不一樣方法，那么完成這件事共有N＝_________________種不一樣方法.m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn第3頁想一想：兩個原理中對“完成一件事”要求有什么不一樣？提醒分類加法計數原理中，每一類方案中每一個方法都能“完成一件事”；分步乘法計數原理中，只有兩步全部完成，才算“完成一件事”．第4頁分類加法計數原理與分步乘法計數原理區分與聯絡名師點睛分類加法計數原理分步乘法計數原理關鍵詞分類分步本質每類方法都能獨立地完成這件事，它是獨立、一次性且每次得到是最終結果，只需一個方法就可完成這件事每一步得到只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺乏任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事各類(步)關系各類方法之間是互斥、并列、獨立，即“分類互斥”各步之間是關聯、獨立，“關聯”確保連續性，“獨立”確保不重復，即“分步互依”第5頁題型一分類加法計數原理應用在全部兩位數中，個位數字大于十位數字兩位數共有多少個？[思緒探索]該問題與計數相關，完成這件事只要兩位數個位、十位確定了，這件事就算完成了，所以只要考慮十位或個位上數字情況進行分類即可．【例1】第6頁解法一依據題意將十位上數字分別是1，2，3，4，5，6，7，8情況分成8類，在每一類中滿足題目條件兩位數分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數原理，符合題意兩位數個數共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．法二依據題意將個位上數字分別是2，3，4，5，6，7，8，9情況分成8類，在每一類中滿足題目條件兩位數分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個．由分類加法計數原理，符合題意兩位數個數共有，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)．第7頁規律方法分類加法計數原理要求每一類中各種方法都是相互獨立，且每一類方法中每一個方法都能夠獨立地完成這件事．在應用該原了解題時，首先要依據問題特點，確定好分類標準．分類時應滿足：完成一件事任何一個方法，必屬于某一類且僅屬于某一類．第8頁

書架上層放有15本不一樣數學書，中層放有16本不一樣語文書，下層放有14本不一樣化學書，某人從中取出一本書，有多少種不一樣取法？解要完成“取一本書”這件事有三類不一樣取法：第1類，從上層取一本數學書有15種不一樣取法；第2類，從中層取一本語文書有16種不一樣方法；第3類，從下層取一本化學書有14種不一樣方法．其中任何一個取法都能獨立完成取一本書這件事，故從中取一本書方法種數為15＋16＋14＝45.【變式1】第9頁已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上點，問：(1)點P可表示平面上多少個不一樣點？(2)點P可表示平面上多少個第二象限內點？[思緒探索]完成“確定點P”這件事，需要依次確定點P橫、縱坐標，應利用分步乘法計數原理求解．解

(1)確定平面上點P(a，b)，可分兩步完成：第一步確定a值，有6種不一樣方法；第二步確定b值，也有6種不一樣方法．依據分步乘法計數原理，得到平面上點P個數為6×6＝36.題型二

分步乘法計數原理應用【例2】第10頁(2)確定平面上第二象限內點P，可分兩步完成：第一步確定a值，因為a＜0，所以有3種不一樣方法；第二步確定b值，因為b＞0，所以有2種不一樣方法．由分步乘法計數原理，得到平面上第二象限內點P個數為3×2＝6.規律方法利用分步乘法計數原理處理問題應注意：(1)要按事件發生過程合理分步，即分步是有先后次序；(2)各步中方法相互依存，缺一不可，只有各個步驟都完成才算完成這件事．第11頁

乒乓球隊10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，求不一樣出場安排共有多少種？解按出場位置次序逐一安排．第一位置隊員安排有3種方法；第二位置隊員安排有7種方法；第三位置隊員安排有2種方法；第四位置隊員安排有6種方法；第五位置隊員安排只有1種方法．由分步乘法計數原理知，不一樣出場安排方法有3×7×2×6×1＝252(種)．【變式2】第12頁現有高一四個班學生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數學課外小組．(1)選其中一人為責任人，有多少種不一樣選法？(2)每班選一名組長，有多少種不一樣選法？(3)推選兩人做中心講話，這兩人需來自不一樣班級，有多少種不一樣選法？題型三

兩個原理綜合應用【例3】第13頁[規范解答](1)分四類：第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學生中選1人，有10種選法．所以，共有不一樣選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種) (4分)(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長．所以，共有不一樣選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．(8分)第14頁(3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學生中各選1人，有7×8種不一樣選法；從一、三班學生中各選1人，有7×9種不一樣選法；從一、四班學生中各選1人，有7×10種不一樣選法；從二、三班學生中各選1人，有8×9種不一樣選法；從二、四班學生中各選1人，有8×10種不一樣選法；從三、四班學生中各選1人，有9×10種不一樣選法．所以，共有不一樣選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)． (12分)第15頁【題后反思】(1)在處理詳細應用題時，首先必須搞清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”詳細標準是什么，選擇合理標準處理事件，關鍵是看能否獨立完成這件事，能夠防止計數重復或遺漏．(2)對于一些比較復雜既要利用分類加法計數原理又要利用分步乘法計數原理問題，我們能夠恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題愈加直觀、清楚．第16頁

在7名學生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現從這7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不一樣選法？解分四類求解：(1)從3名只會下象棋學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名只會下圍棋學生中選1名參加圍棋比賽有3×2＝6種選法；(2)從3名只會下象棋學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋學生中選1名參加圍棋比賽有3×2＝6種選法；【變式3】第17頁(3)從2名只會下圍棋學生中選1名參加圍棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋學生中選1名參加象棋比賽有2×2＝4種選法；(4)從2名既會下象棋又會下圍棋學生中選1名參加象棋比賽，剩下一名參加圍棋比賽，有2×1＝2種選法．依據分類加法計數原理，一共有6＋6＋4＋2＝18種不一樣選法．第18頁分類討論思想是計數原理主要思想，尤其表達在兩個原理綜合應用上，對于“完成某件事”大多依據實際進行合理分類．尤其對于涂色問題，因為問題處理稍顯復雜，既能考查兩個原理應用，又能表達分類討論思想，倍受命題者青睞．方法技巧分類討論思想在計數原理中應用【示例】如圖有4個編號為1、2、3、4小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、黃、藍、白、黑五種顏色中一個，而且相鄰小三角形顏色不一樣，共有多少種不一樣涂色方法？第19頁[思緒分析]明確用5種顏色涂4個區域，分別考慮1、3同色和1、3不一樣色兩種情況分類討論說明．解分為兩類：第一類：若1、3同色，則1有5種涂法，2有4種涂法，3有1種涂法(與1相同)，4有4種涂法．故N1＝5×4×1×4＝80(種)．第二類：若1、3