篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學資料留給學生，但在面對琳瑯滿目的資料時，總是費時費力才能找到自己心儀的那份。于是，編者就常想，如果是自己來創作一份資料又該怎樣呢？那這份資料在滿足自己教學需求的同時，還能為他人提供參考。本著這樣的想法，在結合自己教學經驗和學生實際情況后，最終創作出了一個既適宜課堂教學，又適應課后作業，還適合階段復習的大綜合系列?！?023-2024學年五年級數學下冊典型例題系列》，它基于教材知識和常年真題總結與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項練習篇、單元復習篇、分層試卷篇等四個部分。1.典型例題篇，按照單元順序進行編輯，主要分為計算和應用兩大部分，其優點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。2.專項練習篇，從高頻考題和期末真題中選取專項練習，其優點在于選題經典，題型多樣，題量適中。3.單元復習篇，匯集系列精華，高效助力單元復習，其優點在于綜合全面，精煉高效，實用性強。4.分層試卷篇，根據試題難度和不同水平，主要分為基礎卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優點在于考點廣泛，分層明顯，適應性廣。黃金無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請留言于我改進，歡迎您的使用，謝謝！101數學創作社2024年2月24日2023-2024學年五年級數學下冊典型例題系列第二單元因數與倍數·提高篇【十一大考點】專題解讀本專題是第二單元因數與倍數·提高篇。本部分內容包括因數、倍數、質數、合數、奇數、偶數及其特征的復雜問題和實際應用，考點考題多以填空、選擇、應用等題型為主，綜合性較強，難度較大，建議根據學生實際掌握情況和總體水平，選擇性講解部分考點考題，一共劃分為十一個考點，歡迎使用。目錄導航TOC\o"1-1"\h\u【考點一】連續偶數或奇數的和 3【考點二】倍數特征的復雜應用其一 4【考點三】倍數特征的復雜應用其二 5【考點四】倍數特征的復雜應用其三 6【考點五】復雜的猜數問題 7【考點六】質數的復雜應用其一 8【考點七】質數的復雜應用其二 9【考點八】分解質因數其一：基本問題 11【考點九】分解質因數其二：求因數的個數 14【考點十】分解質因數其三：求因數 16【考點十一】分解質因數其四：實際應用 16典型例題【考點一】連續偶數或奇數的和。【方法點撥】該類題型關鍵在于熟悉偶數和奇數的特征，即相鄰兩個偶數或奇數相差2，首先求出這幾個數的平均數，再根據平均數分別求出其他的數。【典型例題】三個連續奇數的和是225，這三個奇數分別是多少？【答案】73、75、77【分析】用“225÷3＝75”，求出中間的那個奇數，又因為兩個連續的奇數相差“2”，進而分別求出另外2個奇數即可?！驹斀狻看穑哼@三個奇數分別是73、75、77?！军c睛】解答此題的關鍵是求出中間的那個奇數，然后根據兩個連續的奇數的特征來解答?！緦毩?】五個連續的奇數的和是75，這五個奇數分別是多少？【答案】11、13、15、17、19【分析】相鄰的奇數之間相差2，用五個連續的奇數的和÷5，求出中間奇數，進而推算出其它奇數?！驹斀狻?5÷5＝1515－2＝1313－2＝1115＋2＝1717＋2＝19答：這五個奇數分別是11、13、15、17、19?！军c睛】整數中，是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數?！緦毩?】如果三個連續自然數的和是150，這三個自然數分別是多少？如果三個連續奇數的和是93，這三個連續奇數各是多少？【答案】49、50、51；29、31、33【分析】相鄰兩個自然數相差1，連續的奇數相差2，據此分析?！驹斀狻?50÷3＝50、50－1＝49、50＋1＝5193÷3＝31、31－2＝29、31＋2＝33答：三個自然數分別是49、50、51，三個連續奇數各是29、31、33?！军c睛】關鍵是熟悉自然數和奇數的排列特點，不是2的倍數的數叫奇數。【對應練習3】小梅、小蘭、小菊3人的年齡和是39歲，并且她們的年齡是相鄰的奇數，已知小梅最小，小菊最大，請問小菊多少歲？【答案】15歲【分析】中間的奇數是三個連續奇數的平均數，由相鄰的奇數相差2可知，最大的奇數＝中間的奇數＋2，據此解答?！驹斀狻?9÷3＋2＝13＋2＝15（歲）答：小菊15歲。【點睛】利用平均數求出中間的奇數，并掌握相鄰奇數的差為2是解答題目的關鍵?！究键c二】倍數特征的復雜應用其一?！痉椒c撥】個位上是0、2、4、6、8的數是2的倍數。

個位上是0或5的數是5的倍數。一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數?！镜湫屠}】在3□2□中，□里可以填人適當的數字，使組成的四位數既是3的倍數又是5的倍數，這個數最大是多少？解析：3□2□=3825答：這個數最大是3825?！緦毩?】32□□0是有兩個相同數字的五位數，它同時是2、3和5的倍數，這個五位數最小是多少？解析：32010【對應練習2】一個五位數27a8b，既能被3整除，又能被5整除，a與b可為哪些數字？解析：b=0，a為1、4、7b=5，a為2、5、8【對應練習3】一個四位數9A4B能同時被5和6整除，這個四位數是多少？解析：可能是9030、9330、9630、9930【考點三】倍數特征的復雜應用其二。【方法點撥】個位上是0、2、4、6、8的數是2的倍數。

個位上是0或5的數是5的倍數。一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數?！镜湫屠}】如果五位數□436□是45的倍數，那么這個五位數是多少？解析：我們可以把45分解成9×5，這個五位數要是45的倍數，就一定能被5和9整除，是5的倍數，末尾的數字一定是0或5，還要滿足各位數字之和是9的倍數。當末尾數字填0時，首位數字填5，即54360當末尾數字填5時，首位數字填9，即94365答：這個五位數是54360和94365。【對應練習1】一個四位數8A1B能同時被5和6整除，這個四位數是多少？解析：8010?！緦毩?】在358后面補上三個數字組成一個六位數，使它能被4、5、9整除，這個六位數最小是多少？解析：358020?！緦毩?】一個六位數23A56A是88的倍數，這個數除以88所得的商是多少？解析：A為8或0，所以，商為2620或2711。【考點四】倍數特征的復雜應用其三?！痉椒c撥】個位上是0、2、4、6、8的數是2的倍數。

個位上是0或5的數是5的倍數。一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數?！镜湫屠}】一個大于2的自然數，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么這個自然數最小是多少？解析：這個自然數分別除以3、5、7余數都為2，那么這個數減去2就是3、5、7的倍數，即：這個數是3、5、7的最小公倍數再加上2。[3、5、7]=105105+2=107答：這個數最小是107?！緦毩?】已知某小學六年級學生超過100人，而不多于140人，將他們按每組12人分組，多3人，按每組8人分，也多3人，求出該校六年級的確切人數。解析：[12，8]=2424×5+3=123（人）答：略。【對應練習2】甲、乙兩個數是一位數的自然數，它們的和被5除余2，它們的差能被5整除，那么甲數被5除，余數是多少？解析：由題意，和被5除余2，則余數之和為2；差被5整除，則余數相同。所以，甲的余數是1?！緦毩?】某數加上22的和除以9余4，這個數加上31的和除以9余幾？解析：余2?！究键c五】復雜的猜數問題?！痉椒c撥】猜數問題綜合性稍強，需要熟悉因數、倍數、質數、合數、奇數、偶數等的定義及一些特殊數?！镜湫屠}】小明家無線網絡的密碼是一個六位數。從左數第一位既是偶數又是質數。第二位數既是4的倍數又是4的因數，第三位數既是奇數又是合數，第四位數不是0，且既不是質數也不是合數，第五位數是8的最小因數，最后一位數是最大的一位數。小明家無線網絡的密碼是多少？解析：249119【對應練習1】東東家電話號碼前三位是521，第四位是最小的質數，第五位是最小的偶數，第六位是最小的奇數，末尾數字既是合數又是奇數，東東家電話號碼是多少？解析：5212019【對應練習2】“天宮二號”空間實驗室發射的年份是一個四位數，千位上的數字是最小的質數，百位上的數字是最小的偶數，十位上的數字比最小的質數小1，個位上的數字比最小的合數大2?！疤鞂m二號”是哪一年發射的？解析：2016年【對應練習3】洪老師家的電話號碼從左往右的數字依次是：①既是奇數又是合數的數；②既不是質數，也不是合數；③既是質數，又是偶數；④10以內最大的質數；⑤最小的合數；⑥最小奇數的5倍；⑦有因數3的偶數。聰明的同學，你知道洪老師家的電話號碼是多少嗎？解析：9127456【對應練習4】小明給自己的行李箱設置了四位數的簡易密碼，其中第一位數是最小的合數，第二位數是最小的偶數，第三位數是6的1.5倍，第四位數既不是質數也不是合數。行李箱的密碼是多少？解析：4091【考點六】質數的復雜應用其一。【方法點撥】1.一個數，如果只有1和它本身兩個因數，那么這樣的數叫做質數（或素數）。2.一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，那么這樣的數叫做合數。3.100以內的質數2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25個。【典型例題】兩個質數的和是99，這兩個質數的乘積是多少？解析：奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數。兩個質數的和是奇數，所以，一定有一個質數是偶數，偶數中只有2是質數。99=2+9797×2=194答：這兩個質數的乘積是194?！緦毩?】兩個質數的積是202，這兩個質數的和是多少？解析：由于兩個質數的積是202，因此這兩個質數不可以都是奇數，所以必有一個是2，可得：所以這兩個質數的和是：答：這兩個質數的和是103?！緦毩?】兩個質數的和是20，積是91，這兩個質數分別是多少？解析：7+13=207×13=91答：這兩個質數分別是7和13。【對應練習3】兩個質數的和是39，求這兩個質數的積。解析：2+37=742×37=74答：略。【考點七】質數的復雜應用其二?！痉椒c撥】1.一個數，如果只有1和它本身兩個因數，那么這樣的數叫做質數（或素數）。2.一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，那么這樣的數叫做合數。3.100以內的質數2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25個?！镜湫屠}】樂樂繪制了一幅山水畫，這幅山水畫是長方形，且長和寬都是質數，而且這幅畫的周長是36分米，這幅山水畫的面積可能是多少平方分米？【答案】77或65平方分米【分析】長方形周長÷2＝長與寬的和，再結合除了1和它本身以外不在有其他因數，這樣的數叫質數，據此將長寬和拆成兩個質數相加的形式，確定長和寬，根據長方形面積＝長×寬，求出面積即可?！驹斀狻?6÷2＝18（分米）18＝11＋7＝13＋511×7＝77（平方分米）13×5＝65（平方分米）答：這幅山水畫的面積可能是77或65平方分米?！緦毩?】用長度是50厘米的鐵絲圍成一個長方形，長方形的長和寬均為整厘米數，且均為質數，這個長方形的面積是多少平方厘米？【答案】46平方厘米【分析】根據長方形周長公式：周長＝（長＋寬）×2，長＋寬＝周長÷2；50÷2＝25厘米；把25分成兩個整厘米數，且是質數，25＝2＋23，即長是23厘米，寬是2厘米，根據長方形面積公式：面積＝長×寬，代入數據，即可解答?！驹斀狻?0÷2＝25（厘米）25＝2＋23即長方形的長為23厘米，寬為2厘米。2×23＝46（平方厘米）答：這個長方形的面積是46平方厘米。【點睛】熟練掌握和靈活運用長方形周長公式、面積公式以及質數的意義是解答本題的關鍵?！緦毩?】為了規范共享單車的擺放，整體提升城市形象，城市管理部門在公共區域畫了一個長方形場地作為專用停車場，規劃好后發現長和寬都是質數，并且周長是36米，你知道這個指定的長方形停車場的面積是多少平方米嗎？【答案】65平方米或77平方米【分析】長方形周長＝（長＋寬）×2，將周長除以2，求出長和寬的和。又因為長和寬都是質數，找出符合題意的長和寬，再根據長方形面積＝長×寬，求出停車場的面積?！驹斀狻?6÷2＝18（米）5＋13＝18（米）7＋11＝18（米）5×13＝65（平方米）7×11＝77（平方米）答：這個長方形停車場的面積可能是65平方米或77平方米?！军c睛】本題考查了長方形的周長和面積、質數的概念，熟記公式，掌握質數的概念是解題的關鍵?！緦毩?】用一根40厘米的鐵絲圍成一個長方形，要求它的長和寬都是整厘米數，且長和寬一個質數，一個是合數。圍成的長方形的面積最大可能是多少？【答案】99平方厘米【分析】根據長方形的周長公式，可得長＋寬＝40÷2＝20厘米，再根據質數和合數的定義，質數是指除了1和它本身的兩個因數以外再沒有其他的因數的數。合數是指就除了1和它本身的兩個因數以外還有其他的因數的數。找出符合要求的質數和合數，最后利用長方形的面積公式即可得解?！驹斀狻?0÷2＝20（厘米）長和寬的米數是由一個質數和一個合數組成的。20＝2＋18＝5＋15＝9＋112×18＝36（平方厘米）5×15＝75（平方厘米）9×11＝99（平方厘米）36＜75＜99答：它的面積最大是99平方厘米。【點睛】此題主要考查質數和合數的定義以及長方形的周長、面積的計算方法?！究键c八】分解質因數其一：基本問題?！痉椒c撥】1.分解質因數：指的就是把一個合數用幾個質數乘積的形式表示出來。例：15=3×5，24=2×2×2×3，這就是分解質因數。2.注意：①分解質因數是解決數論最有效最直接的途徑；②100以內的質數2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25個?！镜湫屠}】把下列各數分解質因數。111

375【答案】111＝3×37；375＝3×5×5×5【分析】分解質因數就是把一個合數寫成幾個質數的連乘積形式，一般從簡單的質數試著分解。【詳解】111＝3×37375＝3×5×5×5【對應練習1】把下面各數分解質因數。45

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104【答案】45＝3×3×528＝2×2×7104＝2×2×2×13【分析】分解質因數就是把這個數分解成幾個質數相乘的式子。【詳解】45的質因數有3，5所以45＝3×3×528的質因數有2，7所以28＝2×2×7104的質因數有2，13所以104＝2×2×2×13【對應練習2】把下面的各數分解質因數。36

57

105【答案】36＝2×2×3×3；57＝3×19；105＝3×5×7【分析】每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，其中每個質數都是這個合數的因數，把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數，求一個數分解質因數，要從最小的質數除起，一直除到結果為質數為止?！驹斀狻?6＝2×2×3×3；57＝3×19；105＝3×5×7【對應練習3】用短除法將下列各數分解質因數。56

64

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96【答案】56＝2×2×2×7；64＝2×2×2×2×2×2；84＝2×2×3×7；96＝2×2×2×2×2×3【分析】分解質因數就是把一個合數寫成幾個質數的連乘積形式，一般先從簡單的質數試著分解?！驹斀狻?6＝2×2×2×7；64＝2×2×2×2×2×2；84＝2×2×3×7；96＝2×2×2×2×2×3?！军c睛】此題主要考查用短除法分解質因數，要注意分解質因數的書寫形式?！究键c九】分解質因數其二：求因數的個數?！痉椒c撥】如果一個比較簡單的數已經分解為質因數，那么找這個數的因數個數，可以把該數求出來再找因數?！镜湫屠}】已知A＝2×2×3×3，那么A的因數一共有（

）個。A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根據A＝2×2×3×3，求出A的值，再根據求一個數因數的方法，寫出A所有的因數，最后數出因數的個數即可?！驹斀狻緼＝2×2×3×3＝3636的因數有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；共有9個因數。故答案為：D【點睛】掌握找一個數的因數的方法是解題的關鍵?！緦毩?】已知甲數=2×3×5，那么甲數的因數共有（）個。A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】由求一個數因數的個數的計算方法：所有相同質因數的個數加1連乘的積就是這個數因數的個數，由此即可得出答案．因為甲數=2×3×5所以甲數的全部因數的個數是：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（個）．故選C．【對應練習2】已知A=3×7×10，則A一共有（）個因數。A．6 B．12 C．16 D．20【答案】C【詳解】試題分析：A的因數包括1和它的質因數，以及質因數相乘的積；據此找出即可．解：A=3×7×10=2×3×5×7，則A的因數有：1、2、3、5、7、2×3=6、2×5=10、2×7=14、3×5=15、3×7=21、5×7=35、2×3×5=30、2×3×7=42、2×5×7=70、3×7×5=105、2×3×5×7=210，共16個；故選C．點評：此題也可以運用規律解答：把給定的數分解質因數，寫成冪指數形式，各指數分別加1后相乘，其積就是所求因數的個數．【對應練習3】一個數既是45的因數，又是3的倍數，這個數共有（

）種可能。A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根據因數和倍數的意義，當a×b＝c（a、b、c為非0自然數）我們說c是a和b的倍數，a和b是c的因數。列乘法算式找因數，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個數的乘法算式，乘法算式中的兩個因數就是這個數的因數。據此先找出45的因數，再找出45的因數里面有幾個是3的倍數?！驹斀狻?5＝1×45＝3×15＝5×945的因數有1、45、3、15、5、9，其中45、3、15、9是3的倍數；所以一個數既是45的因數，又是3的倍數，這個數共有4種可能。故答案為：C【點睛】此題是考查因數和倍數的意義，注意不要忽略a、b、c為非0自然數這點?！究键c十】分解質因數其三：求因數。【方法點撥】該類題型首先分解質因數，再根據連續自然數的特點求出這些數?！镜湫屠}】三個連續自然數的乘積是210，求這三個數。解析：210分解質因數：210=2×3×5×7可知這三個數是5、6和7?！緦毩?】三個連續自然數的積是1716，這三個自然數是_____、_____、_____。解析：1716=2×2×3×11×13=11×(2×2×3)×13由此可以看出這三個數是11，12，13。答：三個連續自然數是11，12，13?！緦毩?】四個連續自然數的乘積是360，這四個自然數分別是多少？解析：360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×6答：這四個連續的自然數分別是3，4，5，6。【對應練習3】6個相鄰自然數的乘積是60480，求這六個自然數。解析：60480=2×2×2×2×2×2×3×3×5×7=4×5×6×7×8×9答：這六個自然數是4，5，6，7，8，9?！究键c十一】分解質因數其四：實際應用?！痉椒c撥】該類題型要注意題目中的限制條件，再根據分解質因數進行因數分解。【典型例題1】其三。盒里有48塊糖塊，如果不一次拿出，也不一個一個地拿出，要求每次拿出的個數同樣多，拿完時又正好不多不少，共有多少種拿法？每次拿出多少個？解析：48=2×2×2×2×3不一次拿出可以分為以下4組：48=2×24=3×16=4×12=6×8答：有8種不同拿法，每次分別拿出2、3、4、6、8、12、16、24個。【對應練習1】五（3）班共有40名學生，現在要把這些學生分成人數相等的若干小組（不能分成40組），有幾種分法？每組最多有多少人？解析：40=2×20=4×10=5×8=8×5=10×4=20×2答：有6種分法，每組最多20人?！緦毩?】把63個玻璃