試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學解答題專題系列：解直角三角形的應用1．某小區門口安裝了汽車出入道閘．道閘關閉時，如圖①，四邊形為矩形，長為3米，高為米，點與點重合，道閘打開的過程中，邊固定，連桿，分別繞點，轉動，且邊始終與邊平行．(1)如圖②，當道閘打開至時，邊上一點到地面的距離為1米，求點到的距離的長．(2)一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米．當道閘打開至時，轎車能否駛入小區？請說明理由．（參考數據：，，）2．如圖，某景區為游客精心設計了兩條游覽路線，路線一：在點登船，沿水路游覽沿途風光；路線二：先坐觀光車從至，沿途游覽，再在點登船，沿水路游覽沿途美景．已知點在點的東北方向，點在點的北偏東方向，點在點的南偏西方向，點在點的南偏東方向，相距千米．（參考數據：，，）(1)求的距離（結果保留根號）；(2)小聰和小明同時從點出發，分別選擇路線一和路線二游覽，若游船和觀光車均保持勻速行駛，游船的速度為千米/小時，觀光車的速度為千米/小時，上下車和上下船的時間忽略不計，請問小聰和小明誰先到達點，并說明理由．3．如圖，某湖區為游客精心設計了兩條游覽路線，路線一：在點登船，沿水路游覽沿途風光；路線二：先坐觀光車從至，沿途游覽，再在點登船，沿水路游覽沿途美景．已知點在點的正東方向，點在點的東北方向，點在點的北偏東方向，測得為，點到點、點的距離相等，、兩地的距離為6千米．（參考數據：．）(1)求兩地的距離（結果保留根號）；(2)分別求出路線一和路線二的長度（結果保留根號）．4．在學校組織的實踐活動中，初三3班數學興趣小組決定利用所學知識測量文通塔的高度，如圖，小明同學先在運河邊的處放置好測傾器，測得塔尖的仰角為，接下來向前走之后到達處，測得此時塔尖的仰角為，已知測傾器的高度為，點，，在同一直線上，求文通塔的高度（結果精確到，參考數據：，，，）5．古代數學家劉徵編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數學基礎，現根據劉微的《重差》測量一個球體建筑物的高度．如圖，已知點是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上兩點與點在一條直線上，且在點的同側，若在處分別測得球體建筑物的最大仰角為和，且．(1)求的長度；(2)求該球體建筑物的最高點到地面的距離．（參考數據：）6．如圖，某漁船向正東方向以海里/時的速度航行，在處測得小島在北偏東方向，小時后漁船到達處，測得小島在北偏東方向，已知小島周圍海里范圍內有暗礁．（參考數據：，結果保留整數）(1)求處與小島之間的距離；(2)漁船在處改變航行線路，沿南偏東方向繼續航行，通過計算說明漁船途中是否有觸礁的危險？7．安徽省金寨縣紅軍廣場位于金寨縣梅山鎮，是全國重點烈士紀念建筑物保護單位、全國愛國主義教育示范基地、全國紅色旅游經典景區，紅軍廣場中革命烈士紀念塔氣勢磅礴、雄偉壯觀，塔身正面鐫刻著劉伯承元帥親筆題寫的“燎原星火”四個鍍金大字．小明同學想測量該紀念塔的高度，如圖，他用高為1.5m的測角器測得塔頂部點的仰角，再沿水平方向向前走到達點處，點、之間有10個臺階，上升的高度，臺階的坡度，到達點時再沿水平方向向前走到達點處，此時用測角器測得塔頂部點的仰角．且點、、、、、與塔的頂部點、底部點均在同一平面上．求紀念塔的高度約為多少米？（參考數據：，，，，，，結果保留整數）8．圖1是商場的自動扶梯，圖2中的是從一樓到二樓扶梯的側面示意圖．小王站在扶梯起點A處時，測得二樓天花板上照明燈C的仰角為，此時他的眼睛D與地面的距離，之后他沿扶梯到達頂端B后又向正前方走了2m到達點E處（），發現照明燈C剛好在他的正上方．已知自動扶梯與地面的夾角，的長度為10m．(1)求點B到一樓地面的距離；(2)求照明燈C到一樓地面的距離（結果精確到0.1m）．（參考數據：，，，）9．如圖，小明看見某大樓的頂部有一塊電子顯示屏，她想知道電子顯示屏的高度．她先從大樓底部點處步行20米到達山坡的坡腳點處，測得電子顯示屏底部點的仰角為60°．沿坡面向上12米走到點處測得電子顯示屏頂部的仰角為45°，山坡的坡度．（是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）(1)填空：________°，_______°；(2)求點距水平面的高度；(3)求電子顯示屏的高度．（測角器的高度忽略不計，結果保留根號）10．綜合與實踐：山坡高度的測量．(1)如圖，對于如圖所示的山坡，已知，，，求山高（用含有，的式子表示）．(2)對于（1）中的山高，只要測出坡角和坡面長度即可求山高，但是對于一些“不太平整”的山時，求其山高便是一個不那么簡單的問題（如圖）．與測量圖的山高相比，測量圖的山高困難在于，山坡是“曲”的，問題不能簡單地歸結為解一個直角三角形，如果能把“曲”轉化為“直”，就可能解決問題，這便是微積分的產生．請你根據上述材料的提示，以及圖中所給出的數據，求山高（用含有，，，，，的式子表示）．11．如圖，某折疊臺燈的側面示意圖如圖所示，折線段表示支架，線段表示光源，已知，，，，從點C處測得點D的仰角α是，點B的俯角β是．(1)求點D到的距離；(2)求水平桌面到光源的高度．（參考數據：，，）12．如圖，在東西方向的海岸上有兩個相距海里的碼頭，，某海島上的觀測塔距離海岸海里，在處測得位于南偏西方向．一艘漁船從出發，沿正北方向勻速航行分鐘至處，此時在處測得位于南偏東方向．(1)求漁船的航行速度是多少？(2)求漁船與觀測塔之間的距離（精確到）（參考數據：，，，，，）13．2025年重慶巴岳山越野賽即將在山勢巍峨形似游龍的“重慶小十景”之一的巴岳山開跑，活動方開辟出了兩條經典路線，如圖是兩條跑步路線的平面示意圖，已知終點C在起點A的東北方向．路線①從起點A出發向北偏東的方向先跑過一段山路到達補給點B，再沿正東方向跑一段步道即可到達終點C；路線②從起點A出發沿北偏東的方向跑過一段山路到達補給點D，再沿正北方向的步道跑2400米即可到達終點C．（參考數據：，，）(1)求的長度；（結果精確到1米）(2)巴川小隊有兩位選手小潼和小量參加了跑步活動，小潼選擇路線①，他的平均速度為80米/分鐘，小量選擇了路線②，他的平均速度為90米/分鐘，若兩人同時出發，請通過計算說明誰會先到達終點？（結果精確到0.1分）14．綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量一座建筑物的高度．如圖，在建筑物前有一座高為的山坡，已知，，點E，C，A在同一條水平直線上．某學習小組在山坡底部C處測得建筑物頂部B的仰角為，在山坡頂部D處測得建筑物頂部B的仰角為．(1)求山坡的高度；(2)求建筑物的高度（結果保留整數）．參考數據：，，，．15．圖1是某種筆記本電腦支架．如圖2，其底座放置在水平桌面上，通過調節點，點處的角度，控制托盤的位置．電腦機身和屏幕分別用線段、表示，；，．(1)若，．①為使屏幕與桌面保持垂直，求的度數．②求點到桌面的最大距離（不計材料的厚度）．(2)在（1）的情況下，保持，并逐漸減小的度數．圓圓同學說：“點到桌面的距離越來越小．”點點同學說：“點到桌面的距離先變大，后變小．”你認為誰的說法正確，說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學解答題專題系列：解直角三角形的應用》參考答案1．(1)米(2)轎車能駛入小區，理由見解析；【分析】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．（1）中，，,可得，結合，即可求出的長；（2）當時，，求出的長，與比較即可得到答案；【詳解】（1）在中，∵，，∴，∵，∴米，（2）當時，，則，在中，，∴，∴，∴，∵，∴轎車能駛入小區2．(1)千米(2)小明先到達點，理由見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應用、平行線的性質、三角形的內角和定理等知識，通過作輔助線，構造直角三角形是解題關鍵．（1）過點作，交延長線于點，先在中，解直角三角形可得的長，再在中，解直角三角形可得的長，然后根據計算即可得；（2）過點作，交延長線于點，交于點，過點作于點，先根據平行線的性質、三角形的內角和定理可得，再在中，解直角三角形可得的長，在中，解直角三角形可得，的長，然后根據兩條路線的長度和速度計算時間，由此即可得．【詳解】（1）解：如圖，過點作，交延長線于點，由題意得：，，千米，在中，千米，千米，在中，千米，則千米，答：的距離為千米；（2）解：如圖，設交于點，過點作于點，由題意得：，，，∴，∴，由（1）可知，，∴，在中，千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，千米，∴小聰選擇路線一所需時間為（小時），小明選擇路線二所需時間為（小時），因為，所以小明先到達點．3．(1)的距離是千米(2)路線一：千米；路線二：千米【分析】本題考查解直角三角形，添加輔助線，構造直角三角形，是解題的關鍵：（1）過點作，垂足為，解和，求出的長，根據進行計算即可；（2）過點作，垂足為，解直角三角形，求出的長，進而求出的長，進而根據線段的和差求出兩條路線的長即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作，垂足為，由題意得：千米，在中，千米，千米，在中，千米，所以千米，答：的距離是千米；（2）解：如圖，過點作，垂足為，，，由題意得∴千米，千米；由（1）可知：，路線一：千米，路線二：千米．4．文通塔的高度為．【分析】本題考查的是解直角三角形的應用．如圖，延長交于點G，證明四邊形是矩形，可得，，設，則，，在中，，，再建立方程求解即可．【詳解】解：如圖，延長交于點G，根據題意得：，，，，，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，設，則，∴，在中，，，∴，解得：，經檢驗符合題意，即，∴，答：文通塔的高度為．5．(1)(2)【分析】本題主要考查切線的性質，切線長定理，解直角三角形的運用，掌握以上知識，數形結合分析是關鍵．（1）由題意知：為圓心，為切點，，根據切線長定理，，，在Rt中，，，即可求解；（2）根據直角三角形的性質，，根據圓的基礎知識即可求解．【詳解】（1）解：由題意知：為圓心，為切點，，為的切線，根據切線長定理，，為的切線，根據切線長定理，，，，，在Rt中，，，∴．（2）解：，根據直角三角形的性質，，．最高點到地面距離為．6．(1)處與小島之間的距離約為海里；(2)漁船途中有觸礁的危險，理由見解析．【分析】本題主要考查了解直角三角形．解決本題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，利用銳角三角函數求出線段的長度．過點作，交的延長線于點，設海里，利用銳角三角函數可得：，解方程可得：，根據可求處與小島之間的距離；過點作于點，利用銳角三角函數求出的長度，根據的長度與海里之間的大小關系判斷即可．【詳解】（1）解：過點作，交的延長線于點，由題意得，，，海里，設海里，在中，，海里，海里，海里，在中，，解得：，（海里），處與小島之間的距離約為海里；（2）解：如下圖所示，過點作于點，由題意得，，在中，，海里，，漁船途中有觸礁的危險．7．紀念塔的高度約為【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形，過點作的垂線，交于點；過點作的垂線，交于點，根據坡度求出的長，設紀念塔的高度為，分別解，，根據的長為定值，列出方程進行求解即可．【詳解】解：如圖，過點作的垂線，交于點；過點作的垂線，交于點．在中，，，．由題意可得，，，，且四邊形、均為矩形．設紀念塔的高度為．則．在中，，，．∴，．在中，，，，解得，．答：紀念塔的高度約為．8．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，正確理解題意，構造直角三角形是解題的關鍵．（1）過點B作于點，根據角直角三角形性質即可求解；（2）連接并延長交于點，過點D作于點U，交于點，先解中，求出，則，再解在中，由求得，最后由即可求解．【詳解】（1）解：過點B作于點，∵，∴在中，，答：點B到一樓地面的距離為；（2）解：連接并延長交于點，過點D作于點U，交于點，由題意得，，在中，，∴，∴在中，，∴；答：照明燈C到一樓地面的距離為．9．(1)；(2)米(3)廣告牌的高度約為米【分析】（1）根據題意可得：，，然后根據已知易得在中，，從而可得，進而可得，最后利用角的和差關系以及平角定義進行計算，即可解答；（2）在中，利用含度角的直角三角形的性質進行計算，即可解答；（3）延長交于點，根據題意可得：米，，，米，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而求出的長，再分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出和的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：∵山坡的坡度，在中，，則，，，，，故答案為：；；（2）解：在米，米，，(米)，∴點距水平面的高度為米；（3）解：延長交于點，由題意得：米，米，在中，米，，(米)，米，在中，，(米)，在中，米，米，∴廣告牌的高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．10．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握以上知識是解答本題的關鍵．（1）根據解三角形的知識解答即可；（2）根據解三角形的知識分別求出、、，再相加即可．【詳解】（1）解：在中，，，，，，即；（2）解：在中，，，，，，在中，，，，，，在中，，，，，，．11．(1)(2)【分析】此題考查了解直角三角形的應用，讀懂題意是解題的關鍵．（1）在中，，根據正切的定義即可求出答案；（2）延長交于點H，求出，再求出，得到，即可求出答案．【詳解】（1）解：由題意可得，三點共線，在中，，∴，即點D到的距離為；（2）解：延長交于點H，由題意可得，，∴四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，答：水平桌面到光源的高度為．12．(1)海里小時(2)海里【分析】本題主要考查解直角三角形的實際應用，熟練掌握銳角三角函數的定義，是解題的關鍵．（1）過點作，過點作，由正切函數與正弦函數的定義，以及矩形的性質，得出，進而求得的長，即可得出漁船的航行速度；（2）在中，根據即可求解．【詳解】（1）過點作，過點作，則四邊形是矩形，，海里，海里，海里，四邊形是矩形，海里，在中，(海里)海里漁船的航行速度是海里小時（2）在中，海里．13．(1)的長度約為4632米；(2)小量會先到達終點【分析】本題考查解直角三角形的應用——方位角問題，作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．（1）如圖，過點D作于點E，在中，求出（米），在中，求出（米），進而求解即可；（2）如圖，過點A作交的延長線于點F，首先得到米，在中，求出米，在中，求出米，得到（米），然后分別求出小潼走路線①需要的時間和小量走路線②需要的時間，進而比較求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點D作于點E，由題意，得，，米，在中