1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（一）教學內容用向量法解決空間中點到直線、點到平面的距離問題（二）教學目標=1\*GB3①通過類比平面內點到直線距離公式的推導，能利用投影向量得到點到直線、點到平面的距離公式；=2\*GB3②結合一些具體的距離問題的解決，歸納空間向量解決立體幾何問題的“三部曲”，提升直觀想象、數學運算等素養；（三）教學重點與難點重點：利用投影向量推導點到直線的距離公式和點到平面的距離公式.難點：利用投影向量統一研究空間距離問題.（四）教學過程教學活動一：聚焦基本問題問題1.立體幾何中有哪些距離問題？師生活動：通過教師提問，學生回答，確定立體幾何中的各種距離問題.教師進一步指出，我們已經在學習空間向量的坐標運算時學習了兩點間的距離，接下來進一步利用向量研究其他距離問題.追問.你認為可以如何研究這些距離問題？師生活動：教師進一步引導學生將上述距離問題歸為兩類，并由學生交流、討論得出研究的路徑，兩點間的距離是根本，點到直線的距離和點到平面的距離是基礎，其他距離問題都可以轉化為這兩類距離問題.（設計意圖：明確研究內容和研究思路，將距離問題歸類，引導學生研究其中最基本的問題）教學活動二：探究點到直線的距離問題2.已知一條直線l和直線l外的一點P，求點P到直線l的距離？追問1.問題中有哪些要素？如何用向量來表示這些幾何要素？師生活動：教師引導學生用向量表示問題中的點和直線兩個幾何要素.用直線上任意一點A和點P構成向量AP，建立點P與直線的關聯；直線由一個點和一個方向向量確定，可以取單位方向向量u表示直線l的方向向量.追問2.作點P到直線l的距離PQ，向量AP與點P到直線l的距離PQ之間有什么關系？師生活動：學生自主探究，得出向量AP及其在直線l上的投影向量與PQ之間的關系，得到Rt?APQ.追問3.你能借助圖形，用向量方法求出點P到直線l的距離嗎？師生活動：教師先引導學生得出AP在直線l上的投影向量AQ的表達式，進而在Rt?APQ中，由勾股定理得點到直線距離公式PQ=（設計意圖：引導學生自主探究，利用向量表示問題中的幾何元素，再利用投影向量以及勾股定理推導點到直線的距離公式.）問題3.類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行線之間的距離？師生活動：教師引導學生分析，問題中的條件是什么，如何利用條件實現問題的轉化.通過討論得出將兩條平行直線之間的距離轉化為點到直線的距離.（設計意圖：讓學生感悟轉化思想，化未知為已知.為后續把直線與平面間的距離、兩個平行平面間的距離轉化為點到平面的距離，在思想方法上做鋪墊.）教學活動三：類比探究，推到點到平面的距離公式問題4.類似于點到直線的距離，如何求平面α外一點P到平面α的距離？追問1.類似于直線可由一個點和方向向量確定，確定一個平面的條件是什么？師生活動:由學生回答.追問2.你能類比求點到直線的距離的方法，利用向量投影求出點到平面的距離嗎？師生活動：學生獨立思考，然后分組討論交流；教師巡視、點播；學生分享研究結果，多媒體投影展示，師生評價，梳理成果，得出用空間向量求點到平面的距離的步驟：第一步，確定平面α的法向量n；第二步，選擇“參考向量”AP；第三步，確定“參考向量”AP向法向量的n的投影向量QP；第四步，求投影向量QP的模長，得到PQ=（設計意圖：類比點到直線距離的研究過程，合作探究，得到點到平面的距離公式，讓學生進一步體會平面的法向量在刻畫平面、求距離中的作用.在求解點到平面的距離的過程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的長度既體現了圖形直觀，又提供了代數定量刻畫.在這個過程中，向量與起點無關的自由性也為求距離帶來了便利.）問題5.如何求平行于平面的直線l到平面α的距離？兩個平行平面之間的距離呢？教學活動四：實踐應用，歸納“三部曲”師生活動：通過學生回答，把問題轉化為求平面外一點到平面的距離，由此得到求距離問題的統一公式.（設計意圖：師生共析，將平行于平面的直線到平面的距離和兩個平行平面間的距離轉化為點到平面的距離，得到統一的向量表達式，進一步體會轉化的思想.）教學活動四:典型例題，實踐應用例1.如圖3.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，求點B到直線A1求直線FC到面AEC（1）師生共同分析完成，教師板演，作出示范；（2）學生小組討論，教師巡視，將抽查結果投影，對結果進行點評.（設計意圖：通過典型例題，使學生鞏固并逐步掌握利用向量方法求空間距離的方法，體會向量方法在解決距離問題中的作用，滲透用空間向量解決立體幾何問題的一般過程.）問題6.結合例1，回顧用空間向量解決距離問題的過程，你能總結用向量方法解決立體幾何問題的基本步驟嗎？師生活動：學生先討論回答，師生共同歸納，得到“三部曲”（設計意圖：結合例1，以及以前的一些空間向量解決立體幾何的問題，梳理出“三部曲”，體會向量方法是解決立體幾何問題的普適性方法.）教學活動五：梳理歸納，感悟本質問題7.回顧這節課的學習，我們學習了哪些內容？用的是什么方法？（設計意圖：通過課堂小結，梳理總結本節課所學知識和學習過程，提煉用向量方法解決距離問題的過程與方法，使學生形成用向量方法研究距離問題的完整認識，進一步體會用向量方法解決立體幾何問題的一般步驟.）教學活動六：課堂小結=1\*GB3①本節課我們用什么方法借助平面內點到直線距離的求法，推導出了空間中點到直線及點到平面的求法.=2\*GB3②空間中點到平面距離的公式是什么？=3\*GB3③空間向量法求空間距離的“三部曲”是什么？教學活動七：布置作業教科書習題1.4第6,7題（五）目標檢測試題1.在