2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中模擬卷高一數(shù)學(xué)第I卷（選擇題）一單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.）1．若，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B．1 C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部大于等于1，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．已知向量，滿(mǎn)足，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．在平行四邊形中，是對(duì)角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．△ABC的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則為（

）A． B． C． D．7．已知，，，則（

）三點(diǎn)共線A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，，，則的最小值（

）A．2 B．8 C．9 D．18二多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知復(fù)數(shù)，則下列命題一定成立的有（

）A．若，則 B．若，則C． D．10．下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中不正確的是（

）A．已知，均為非零向量，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B．若向量，共線，則點(diǎn)，，，必在同一直線上C．若點(diǎn)為的重心，則D．若且，則11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則B．若，則△ABC是銳角三角形C．若，，，則符合條件的△ABC有兩個(gè)D．對(duì)任意△ABC，都有第II卷（非選擇題）三填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．在△ABC中，角所對(duì)的邊分別為，，，，若三角形有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．設(shè)為實(shí)數(shù)，且，虛數(shù)為方程的一個(gè)根，則的值為.14．復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則，．四解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15．（13分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求△ABC的面積；(2)若，求b．（15分）如圖，我國(guó)南海某處的一個(gè)海域上有四個(gè)小島，小島B與小島A、小島C相距都為5海里，與小島D相距為海里．為鈍角，且．(1)求小島A與小島D之間的距離；(2)已知與互補(bǔ)，求四個(gè)小島所形成的四邊形的面積．17．（15分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求△ABC面積的最大值．18．（17分）在銳角三角形中，分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，且.(1)求角；(2)若，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.19．（17分）已知向量，向量與向量的夾角為，且.（1）求向量；（2）設(shè)向量，向量，其中，若，試求的取值范圍.《2025年4月17日高中數(shù)學(xué)作業(yè)》參考答案題號(hào)12345678910答案BDCBABACACBD題號(hào)11答案ABD1．B【分析】由復(fù)數(shù)的除法得到代數(shù)形式，即可求解；【詳解】由，可得：，所以復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：B2．D【分析】利用乘法和除法法則計(jì)算.【詳解】，所以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3．C【分析】由題意設(shè)出復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，由復(fù)數(shù)除法可得復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，結(jié)合題意可得點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，利用圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值，可得答案.【詳解】設(shè)，則，由題意可得，整理可得，因此，點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上及圓內(nèi)，則，上式可表示點(diǎn)到的距離，易知最小值為點(diǎn)到圓心的距離減去半徑，即為.故選：C.4．B【分析】利用投影向量的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】解：在上的投影向量的坐標(biāo)為故選：B.5．A【分析】由向量的加減法，和數(shù)乘運(yùn)算法則直接求解即可.【詳解】因?yàn)槭菍?duì)角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，則.故選：A6．B【分析】由正弦定理化角為邊化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合余弦定理求即可.【詳解】由正弦定理和，可得，所以，所以，由余弦定理，可得，因?yàn)椋?故選：B.7．A【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量共線定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋裕訟、B、D三點(diǎn)共線，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋圆淮嬖冢沟茫訟、B、C三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋圆淮嬖冢沟茫訠、C、D三點(diǎn)不共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋圆淮嬖冢沟茫訟、C、D三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：A.8．C【分析】由向量加法及數(shù)乘的幾何意義得，再由向量共線的結(jié)論有，最后應(yīng)用“1”的代換及基本不等式求最小值.【詳解】由題意，，又共線，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為9.故選：C9．AC【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算及性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】設(shè)，則.對(duì)于A：，若，則，所以，即，故A一定成立；對(duì)于B：，若，則①，，同理，若，則需滿(mǎn)足且，與①式不同，故B不一定成立；選項(xiàng)C：，，所以，故C一定成立；選項(xiàng)D：②，，與②式不同，故D不一定成立.故選：AC10．BD【分析】對(duì)于A，由平面向量共線定理判斷；對(duì)于B，舉例判斷；對(duì)于C，由三角形重心的性質(zhì)判斷；對(duì)于D，舉例判斷【詳解】解：對(duì)于A，由平面向量共線定理可知是正確的，所以A正確；對(duì)于B，如圖在平行四邊形中，，共線，但點(diǎn)，，，不共線，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，延長(zhǎng)交于，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以,，所以，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，但不一定相等，所以D錯(cuò)誤，故選：BD11．ABD【分析】由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化可判斷A；根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可判斷B；由正弦定理及三角形性質(zhì)可判斷C；由三角形內(nèi)角性質(zhì)及余弦函數(shù)單調(diào)性可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由，根據(jù)正弦定理得，（為外接圓半徑），即，則，故A正確；對(duì)于B，，所以，所以，所以三個(gè)數(shù)有個(gè)或個(gè)為負(fù)數(shù)，又因最多一個(gè)鈍角，所以，即都是銳角，所以一定為銳角三角形，故B正確；對(duì)于C，由正弦定理得，則，又，則，知滿(mǎn)足條件的三角形只有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋裕趾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，故D正確；故選：ABD12．【分析】利用余弦定理整理可得，構(gòu)建，可知在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布運(yùn)算求解.【詳解】由余弦定理可得，即，整理可得，構(gòu)建，可知在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．1【分析】由復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的意義可知，方程的兩個(gè)根為和，再設(shè)出復(fù)數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理和復(fù)數(shù)運(yùn)算解出模長(zhǎng)即可.【詳解】由題意可知虛數(shù)為方程的一個(gè)根，也為方程的一個(gè)根，所以，設(shè)，則，，所以，故答案為：.14．【分析】復(fù)數(shù)域內(nèi)解方程，結(jié)合方程思想降次化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知是在復(fù)數(shù)域內(nèi)的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理有；因?yàn)闈M(mǎn)足，所以，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上.故答案為：；.15．(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.16．(1)2海里；(2)18平方海里.【分析】（1）根據(jù)題意得出各邊長(zhǎng)和，利用余弦定理可解出的長(zhǎng)；（2）利用余弦定理求出的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式求出兩個(gè)三角形的面積，相加即為所求四邊形面積.【詳解】（1）由題意，，且為鈍角，在中，由余弦定理，，得，解得或（舍去）.故，小島A與小島D之間的距離為2海里.（2）由題意，.在中，由余弦定理，，得，解得或（舍去）.故.所以所以，四個(gè)小島所形成的四邊形的面積為18平方海里.17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）利用余弦定理、三角形面積公式、基本不等式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)椋裕字瑒t，即，則或，所以或（舍去），故；（2）由余弦定理知，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，即面積的最大值為.18．(1)(2)【分析】（1）首先邊化角，然后利用三角形內(nèi)角和定理、三角恒等變換、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)等式即可得出答案；（2）把的周長(zhǎng)寫(xiě)成關(guān)于角的表達(dá)式，根據(jù)（1）的結(jié)論及為銳角三角形得到的范圍，最后結(jié)合正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，則由正弦定理得，由于，所以，所以，所以.由于，所以，得.又，故.（2）根據(jù)，得，，則的周長(zhǎng)為，由為銳角三角形，得，所以，則，，所以，故周長(zhǎng)的取值范圍是.19．（1）或（2）【分析】（1）設(shè)向量=（x，y），由已知中向量=（1，1），向量與向量夾角為，且=﹣1．根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得到關(guān)于x，y的方程組，解方程可得向量的坐標(biāo)；（2）由向量=（1，0）向量，其中(，)，其中，，若＝0，我們可以求出2的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)向量=（x，y），∵向量=（1，1），則=x+y=﹣1…①=||?||?cos=﹣1，即x2+y2=1解得x=0，y=﹣1或x=﹣1，y=0故=（﹣