學年度第二學期期中考試高一數學試題（考試時間分鐘試卷滿分分）一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數滿足，則的虛部為（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】利用復數的除法運算求出，進而求出其共軛的虛部.【詳解】衣題意，，，所以的虛部為.故選：B2.已知向量則兩向量之間的夾角為（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的夾角公式求解.【詳解】解：因為，所以，，所以，因為，所以，第1頁/共15頁故選：C3.在中，內角的對邊分別為，已知，則的形狀為（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】B【解析】【分析】在中利用余弦定理化簡題干信息即可.【詳解】在中利用余弦定理，則，得，則為直角三角形.故選：B4.下列關于向量，說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則與夾角為鈍角D.【答案】D【解析】【分析】對于，當時與不一定共線；對于，當時不一定等于；對于，當時，滿足；對于，根據向量的運算性質即可判斷.【詳解】對于，當時，滿足，但與不一定共線，故錯誤；對于，當時，，但不一定等于，故錯誤；對于，當時，滿足，此時與夾角不是鈍角，故錯誤；對于，根據向量的運算性質可知，故正確.故選：D.5.已知函數，則的值域為（）A.B.C.D.第2頁/共15頁【答案】C【解析】分析】利用二倍角公式化簡函數，再利用余弦函數及二次函數求出值域.【詳解】函數，而，則當時，有；當時，有，所以的值域為.故選：C6.如圖，在矩形中，均為邊長2的等邊三角形，為六邊形的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據給定的幾何圖形，求出在方向上投影的數量，再利用數量積的定義求出范圍.【詳解】令在方向上投影的數量為，當點在線段上時，；當點在線段上（不含點）時，；當點在線段上（不含點）時，，則當點在折線上時，，同理當點在折線上時，，因此點為六邊形邊上運動時，，于是，所以的取值范圍為.故選：B第3頁/共15頁7.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分別平方后相加即可求，再用二倍角公式求解即可.【詳解】①②①＋②得：，，故選：8.在中，角的對邊分別為的面積為，且滿足條件，為邊上一點，，則的邊長為（）A.2B.C.3D.4【答案】D【解析】正弦定理求解.【詳解】在中，由及余弦定理、面積公式得：，則，而，故，第4頁/共15頁在中，，則，，中，，由正弦定理得.故選：D二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，其中為實數，為虛數單位，則（）A.若為純虛數，則或B.若復平面內表示復數的點位于第四象限，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】由純虛數的定義，求出的值，即可判斷A；由復數表示的點所在象限，求出的范圍，即可判斷BC可判斷D.【詳解】對于A，因為為純虛數，第5頁/共15頁所以，解得，故A錯誤；對于B，因為復平面內表示復數的點位于第四象限，所以，解得，故B正確；對于C，當時，，所以，故C錯誤；對于D，因，所以，解得，所以，所以，故D正確.故選：BD.10.如圖，在矩形中，，點滿足，其中，設，則下列說法正確的有（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根據給定條件，建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算逐項求解判斷.【詳解】在矩形中，以點為原點，射線分別為軸非負半軸建立平面直角坐標系，則，設，由，得，第6頁/共15頁由，得，，對于AB，，，A正確，B錯誤；對于CD，，C錯誤，D正確.故選：AD作步驟完成幾何圖形的構造.已知中，，現需用尺規作圖作出該三角形，下列說法正確的有（）A.可以作出兩個不同的三角形B.作出的三角形中沒有銳角三角形C.作出的三角形中，三角形的面積不變D.作出的三角形中，可能為銳角，也可能為鈍角【答案】ABD【解析】【分析】根據給定條件，利用正弦定理確定三角形的個數，再逐項判斷.【詳解】在中，，由正弦定理得，由，得，由，得或，因此可以作出兩個不同的三角形，可能為銳角，也可能為鈍角，AD正確；當時，，是鈍角三角形；當時，是鈍角三角形，B正確；當時，；當時，，的面積有兩個不同值，C錯誤.故選：ABD三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分.12.已知向量，則在上的投影向量的坐標為_______.【答案】第7頁/共15頁【解析】【分析】先求出，再由投影向量的坐標表示求出即可.【詳解】由題意可得，在上的投影向量為，所以在上的投影向量的坐標為，故答案為：.13.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】利用平方關系及正余弦齊次式法求得目標值.【詳解】由，得.故答案為：14.在中，是邊上靠近的直線分別交直線于不同的兩點，設，其中，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據給定條件可得，再利用共線向量定理的推論及基本不等式求出最大值.【詳解】在中，由是邊上靠近的四等分點，得，則，而，則，由共線，得，又，因此，當且僅當時取等號，第8頁/共15頁因此，，所以當時，取得最大值.故答案為：四?解答題：本大題共5小題，共分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量滿足與的夾角為.（1）求；（2）當為何值時，向量與垂直？【答案】（1）；（2）.【解析】1）利用數量積的定義求出，再利用數量積的運算律求出模.（2）利用垂直關系的向量表示列式，再利用數量積的運算律求解.【小問1詳解】由與的夾角為，得，所以.【小問2詳解】由向量與垂直，得，解得，所以當時，向量與垂直.16.已知向量，函數.第9頁/共15頁（1）求函數的周期，最大值，最小值；（2）若，求的值.【答案】（1）周期為，最大值為2，最小值為；（2）.【解析】1質求解.（2）由（1）求得，再利用誘導公式及二倍角的余弦公式求解.【小問1詳解】向量，則，所以函數的周期為，最大值為2，最小值為.【小問2詳解】由，得，所以.17.在中，角的對邊分別為，已知.（1）若，求角；（2）若的平分線與邊交于點，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】1）先根據條件限制出的范圍，并求出，然后在中利用正弦定理即可；（2）先證明角平分線定理并得出的值，即可利用面積公式求解.【小問1詳解】第10頁/共15頁因，且，則且，在中利用正弦定理得，，即，得，因，則或，若，則，不符合題意；若，則，故.【小問2詳解】因是的角平分線，且，則，則，在中利用余弦定理得，，得，則，則的面積.18.在中，角的對邊分別為為銳角三角形，已知，且滿足條件.（1）求的大小；（2）求取值范圍；第11頁/共15頁（3）求的內切圓半徑的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】1）根據給定條件，利用余弦定理求出.（2）利用正弦定理，結合和差角正余弦公式求出的范圍.（3）利用三角形面積公式可得，結合（2）中信息求出最大值即可.【小問1詳解】由，得，在銳角中，由余弦定理得，而，所以.【小問2詳解】由（1）知，，則，令，由銳角，得，由正弦定理得，則，因此，由，得，則，，所以的取值范圍是.【小問3詳解】由（2）得，第12頁/共15頁又，則，由，得，則當，即時，，所以的內切圓半徑的最大值.19.設是平面內相交成的兩條射線，分別是與同向的單位向量，定義平面坐標系為仿射坐標系，在仿射坐標系中，若，則記.（1）在仿射坐標系中①若，求；②若且與的夾角為，求；（2）如圖所示，在仿射坐標系中，分別在軸、軸正半軸上，且，點分別為的中點，求的最大值.【答案】（1）①；②（2）.【解析】1）①利用數量積的定義及運算律求出；②由表示出和及，再利用夾角公式建立方程求解.（2）設出點的坐標，用表示，利用數量積的運算律，結合正余弦定理及三角恒等變換求出