教學設計

課程基本信息學科數學年級高一學期春季課題8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積教學目標1.掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，了解公式推導過程，理解棱柱、棱錐、棱臺體積之間的關系。2.會求簡單組合體的表面積和體積,能用公式解決簡單的實際問題。3.培養數學思想，如轉化思想、類比思想、一般化與特殊化思想等，提高邏輯推理、直觀想象等核心素養。教學重難點教學重點：1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式。

教學難點：1.棱柱、棱錐、棱臺體積公式的理解。教學過程一、情景引入生活中，我們經常會通過送禮物來表達自己的喜愛之情，感恩之情.某天，小明精心為自己的媽媽準備了如下長方體禮物（棱長分別為8cm，15cm，20cm），你能估計小明最少需要用掉多少面積的包裝紙嗎？二、溫故知新初中我們已經學習了直棱柱的側面展開圖并求解了相應直棱柱的表面積(表面積即幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小).所用方法是將長方體表面積轉化為展開圖面積，將空間問題轉化為平面問題.從而情景問題中的答案為.思考1：類比長方體表面積的求解，你能想出求解棱柱、棱錐、棱臺表面積的方法嗎？將求長方體表面積轉化為求其展開圖面積.三、新知學習1、棱柱表面積一般地,有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.根據棱柱定義，得到，兩個底面是多邊形，側面呢？分別看一下直棱柱和斜棱柱.（1）直棱柱（geogebra動畫演示直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱等底面和側面）直棱柱的側面為一個一個的矩形，可以合成一個大矩形.（2）斜棱柱（以斜三棱柱為例，geogebra動畫演示）斜棱柱的側面為一個一個的平行四邊形，只有在特殊的情況下才能合成一個大平行四邊形.2、棱錐表面積一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.根據棱錐定義，得到，底面是多邊形，側面呢？分別看一下正棱錐和斜棱錐.（1）正棱錐（geogebra動畫演示正五棱錐、正六棱錐、正七棱錐等底面和側面）（2）斜棱錐（以一般四棱錐為例，geogebra動畫演示）3、棱臺表面積用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺．根據棱臺定義，得到，上底面和下底面是多邊形，側面呢？分別看一下正棱臺和斜棱臺.（1）正棱臺（geogebra動畫演示正三棱臺、正四棱臺、正五棱臺等底面和側面）（2）斜棱臺（geogebra動畫演示一般四棱臺底面和側面）4、多面體（棱柱、棱錐、棱臺）表面積具體計算方法：求多面體表面積轉化為求展開圖面積，進一步就是求平面多邊形面積.常見平面多邊形面積計算：(1)三角形（2）平行四邊形多邊形可分割成三角形進行計算.特別地，邊長為的正三角形面積為，邊長為的正六角形面積為.注：棱柱、棱錐、棱臺的高和斜高棱柱（棱臺）的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即.棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離，即.棱柱、棱錐、棱臺的斜高是側面多邊形中頂點到底邊的高，即.四、新知應用——表面積例1如圖所示，四面體各棱長均為，求它的表面積.解：因為四面體各棱長均為，所以四面體四個面都是正三角形，因此，四面體的表面積為五、新知學習幾何體的體積即幾何體占有空間部分的大小.你已經學習過哪些體積公式了？小學時，我們分別學習了正方體、長方體，圓柱、圓錐的體積公式，具體如下：類比已學知識，你能猜想一下棱柱、棱錐的一般體積公式嗎？猜想，.下面來驗證下猜想.平面中，等底等高的三角形面積相等,即.它能否推廣到空間，即空間中，等底面積、等高的柱體體積是否相等？六、新知探究如圖，兩沓一模一樣的A4紙（各500張），其中一沓改變形狀，此時兩沓紙體積相同，引出祖暅原理.祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.即冪勢既同，則積不容異.冪指水平截面面積，勢指幾何體的高，積指幾何體體積.利用祖暅原理重新理解剛才做的實驗.這兩個幾何體高是一樣的，被平行于底面的任意平面所截，截得的兩個截面的面積總相等，所以根據祖暅原理，兩個幾何體體積相等，即使它們截面形狀是不一樣的.因此在高和截面總相等的情況下，可以用比較常見的幾何體代替不常見的幾何體，計算體積.嚴格的祖暅原理的證明，需要用到微積分，可以參看本節課學習任務單中推薦的學習資源欄目.另一個實驗.另一沓也拿一張紙，截成兩張一模一樣的紙片，分別放在兩沓紙上，此時符合祖暅原理的條件，體積相等。把一張仍放最上面，一張放在另一沓紙中間，此時兩沓紙體積是一樣的，但不滿足祖暅原理應用條件.因此，祖暅原理是證明幾何體體積相等的充分不必要條件.祖暅原理是由祖暅提出的.祖暅（5世紀6世紀），祖沖之之子，他在劉徽的基礎上和父親的幫助下，巧妙地將難求的幾何體體積問題，轉化為構造截面總相等的幾何體問題.將空間問題轉化為平面問題.將求復雜幾何體體積問題，轉化為求簡單幾何體體積問題.17世紀，意大利數學家卡瓦列里也給出了上述結論，我國比其他國家早一千多年.我們應該為我國的數學家們點贊.1、棱柱體積思考2：等底等高的柱體體積相等嗎？hh根據祖暅原理，等底等高的柱體體積相等.因此.2、棱錐體積推導1：等底等高的錐體體積相等.因此.推導2：從柱體體積得到錐體體積.思考3：你能否找到等底等高的柱體與錐體之間的聯系？從而得到體積的聯系.以如圖的三棱柱為例.hhSS解：如圖將棱柱分割成3個小棱錐，其中，，因此.一般地，.3、棱臺體積解：設，分別為棱臺的上、下底面面積，為棱臺的高，為割去的小棱錐的高.，，，，.綜上，.七、新知應用——體積例2如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體,下面部分是一個四棱錐,兩部分的高都是0.5m，公共面是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米?（計算漏斗的容積時不考慮漏斗的厚度）解：由題意知，，∴這個漏斗的容積為八、新知升華思考4：觀察棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，，