高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省衡水聯考2024-2025學年高一下學期3月月考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知某扇形的面積為，圓心角為，則該扇形的半徑為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】設該扇形的半徑為，因為某扇形的面積為，圓心角為，所以，解得，故C正確.故選：C.2.設命題，函數為奇函數，則：（）A.，函數為偶函數B.，函數為偶函數C.，函數不為奇函數D.，函數不為奇函數【答案】D【解析】若命題，函數為奇函數，則為，函數不為奇函數，故D正確.故選：D.3.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，由向量模長公式得，，由向量夾角公式得，因為，所以，故A正確.故選：A.4.已知銳角滿足．則（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】因為，所以，因為是銳角，所以，令，則，解得或，當時，不符合題意，故舍去，當時，符合題意，故B正確.故選：B.5.已知函數的值域為，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為，所以，則，因為函數的值域為，所以，此時，因為，所以，解得，則，故C正確.故選：C.6.記的內角的對邊分別為．已知，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】因為，所以，則，即，得到，即，則，即，由勾股定理逆定理得為直角三角形，故B正確.故選：B.7.已知某種計算機程序處理數據量為的數據時，處理時間為（單位：），其中均為常數．當時，；當時，，則約為（）（附：）A.3 B.3.5 C.4 D.4.5【答案】C【解析】由題意得當時，，將其代入公式得到，而當時，，將其代入公式得到，兩個式子作比得，化簡得，因為，所以，解得，則代入可得，因為，所以，故C正確.故選：C.8.已知平面向量滿足，，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】①由于，所以.這就得到，故.②另一方面，對，，，原條件全部滿足，此時.綜合①②兩方面，可知的最小值為．故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設計一款平面游戲，玩家可以控制角色以或的方向運動，角色會沿該方向自發前進．角色活動區域在一塊正方形區域內，將角色視為一點，每當角色觸碰到正方形區域邊緣時便會沿反方向按原路返回，已知角色可以運動到正方形區域內的任一位置，若修改玩家控制角色時的運動方向，則修改后角色依然可以運動到正方形區域內的任一位置的方向有（）A.和的方向 B.和的方向C.和的方向 D.和的方向【答案】AD【解析】根據題意，符合條件的兩個方向相反即可，對于A選項，因為，故和的方向相反，A滿足條件；對于B選項，設與共線，則存在，使得，可得，則、共線，矛盾，故與不一定共線，B不滿足條件；對于C選項，設和共線，則存在，使得，所以，則、共線，矛盾，故和不一定共線，C不滿足條件；對于D選項，因為，所以和的方向相反，D滿足條件.故選：AD.10.已知函數，則（）A.的定義域為 B.為奇函數C.在內單調遞減 D.【答案】AD【解析】對于A，令，解得，則的定義域為，故A正確，對于B，因為，所以，得到為偶函數，故B錯誤，對于C，因，，所以，則在內不可能單調遞減，故C錯誤，對于D，因為，所以，，則，故D正確.故選：AD.11.記的內角、、的對邊分別為、、．已知，則（）A.B.CD.若、、均為正整數，則周長的最小值為【答案】BC【解析】對于A選項，在中，由，解得，所以，A錯；對于B選項，，則，故，B對；對于C選項，由B選項可知，，所以，由余弦定理可得，故，C對；對于D選項，由C選項可知，，可得，所以，因為，則，可得，因為、、均為正整數，且，即，則，①當時，則，此時，整數不存在；②當時，則，所以，整數，則，可得，由，解得，，此時，；③當時，則，則整數，則，可得，由，解得，不合乎題意；④當時，則，則或，若，則，可得，由，解得，，此時，；若，則，可得，由，解得，不合乎題意；⑤當時，，則或，若，則，可得，由，解得，不合乎題意；若，則，可得，由，解得，不合乎題意；⑥當時，由，則，，此時，，即，此時，.綜上所述，若、、均為正整數，則周長的最小值為，D錯.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數在定義域內單調遞增，則___________．【答案】【解析】因為冪函數在定義域內單調遞增，所以，解得或，當時，，由冪函數性質得在定義域內單調遞減，不符合題意，當時，，由冪函數性質得在定義域內單調遞增，符合題意.13.已知平面向量，，且，則的最小值為_______．【答案】【解析】因為平面向量，，且，則，即，所以，，若取最小值，必有，此時，，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故當時，，故的最小值為.14.在檢測文本相似度時常以杰卡德距離作為衡量工具．稱為集合內元素的個數，定義為集合之間的杰卡德距離．現有兩個文本集合，若，則的最小值為___________．【答案】【解析】由題意可知當最大且最小時，最小，因為，所以最大為，此時，且此時最小為，此時，若，則且，此時，故的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知為一組基底向量，其中．（1）探究三點是否共線，若共線，給出證明；若不共線，說明理由；（2）若與共線，求的值．解：（1）因為，所以由平面向量的加法法則得，因，所以，即，故三點共線.（2）若與共線，則，得到，而為一組基底向量，則不共線，得到，解得或.16.記的內角，，的對邊分別是，，，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.解：（1）在中，由正弦定理及，得，又在中，，∴，∴，∵，∴.（2）在中，由余弦定理可知，又∵，∴，解得或（舍去），故面積為.17.已知函數．（1）用定義法證明在上的單調性；（2）若函數，且在區間上的最小值為，求．解：（1）在上單調遞減，證明如下：任取且，所以，，，則，所以，即，所以在上單調遞減.（2）當時，在上單調遞減，由（1）可知在上單調遞減，所以函數在上單調遞增，所以時，函數取得最小值，即，解得；當時，在上單調遞增，由（1）可知在上單調遞減，所以函數在上單調遞減，所以時，函數取得最小值，即，解得；綜上所述，在區間上的最小值為，則的取值為或．18.如圖，已知半徑為2扇形的圓心角為，為的中點，是上一動點．（1）求的取值范圍；（2）當為的中點時，用表示；（3）若，求的最大值．解：（1）如圖，設，連接，而，因為，故，所以的取值范圍為．（2）因為為的中點，所以，由平面向量加法法則得，則在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，得到，故，將代入，得．（3）因為，，所以，又由（2）知，故，則，因為，所以當且僅當時，取得最大值1，故的最大值為．19.已知函數的定義域為，且的圖像是一條連續不斷的曲線，設，若對于任意的，均有，則稱是等和積函數．（1）若是等和積函數；（i）證明：；（ii）證明：；（2）若是等和積函數，證明：函數在上至少有1350個零點．解：（1）（i）因為是等和積函數，所以，即，所以；（ii）由（i）得①，則有②，②①可得：，因為，所以，即