試論常微分方程解的存在唯一性定理及其應用目錄前言 11預備知識 22解的存在唯一性定理的證明 32.1解的存在唯一性定理 32.2解的存在唯一性定理的證明 52.3利普希茨條件與解的存在唯一性 3解的存在唯一性定理的應用 3.1判斷解的存在性與唯一性 3.2確定解的存在區間 3.3近似計算和誤差估計 4總結與展望 4.1論文總結 4.2進一步的研究工作 摘要：解的存在唯一性定理是常微分方程理論中最基本的泛，可用于判斷解的存在與唯一性，確定解的存在區間，進行近似計算.本文首先介紹并證明解的存在唯一性定理，其次分析利普希茨條件與解的存在唯一性的關后從解的存在性與唯一性、解的存在區間、近似計算與誤差估應用.目前，很少有微分方程能夠獲取到精確解，此類方程的現實意義，如數值解法等，近似計算離不開解的存在與唯一要求.假設唯一但沒有2解，則代表對問題實行近似求解不存在意義和價值；假設有解求，那就無法確定具體解的對象，想要盡可能的與之近是重要前提.對于求近似解的方法，在定理的證明中就有所體現，由此可見唯一性定理對求近似解的重要意義.本文運用逐步逼近法、壓縮映射原理以及邵德爾不動的存在唯一性定理進行證明.在此之前，有許多人曾對解的存在唯一性進行了證明，但他們大多都只運用了逐步逼近法進行證明，這種方法相對于另看較為簡單些，理解起來也較為容易，但其過程繁多，這就需其他方法.通過對文獻的研究，將其與泛函分析的知識聯系在一起，運用其中的壓縮映射原理、邵德爾不動點定理等相關知識加以證明法大大減少，但理解起來較為困難.通過對這幾種方法的了解、學習，在前人結晶的基礎上，本文把他們放在一起，這就初步完成了對解的存明.對于解的存在唯一性定理的證明除了以上方法外，還有很多其他的方法，這就需要進一步研究發現.定義11設定函數f(x,y)是連續函數、位于矩形域R:|x-x,|≤a,|y-y。|≤b上，假設有常數L>0,使對任意(x,y?),(x,y?)∈R都滿足不等式則稱f(x,y)在R上關于y滿足Lipschitz條件，稱L為Lipschitz常數.3定義221逐步逼近法微分方程)等價于積分方程而y=φ(x)滿足積分方程.個不動點(換句話來說，方程Tx=x有只有一個解).Bellman引理4設y(x)為區間[a,b]上非負的連續函數，a≤x?≤b.如果存在y(x)≤δe*x-xl,x∈[a,b].Ascoli-Arzela定理61設F是一個函數族，并且F在[a,b]上是一致有界、等度連續的，則可以在F找到函數列{f}在[a,b]是一致收斂的.是全連續算子，那么存在x∈K,使得Tx=x.2解的存在唯一性定理的證明的右端函數f(x,y)在閉的矩形區域R:|x-x,|≤a,|y-y。|≤b上滿足如下兩個條件：4(2)f(x,y)關于變量y在R上滿足利普希茨條件，也就是存在常數L,在R上對在區間x?-h≤x≤x?+h上存在唯一解y=φ(x),φ(x?)=yo,這里存在唯一性定理中數h的幾何意義(如圖):這里區間|x-x,|≤h上，定理證明方程(2.1)過點(x?,yo)的積分曲線y=φ(x)確定，由于積分曲線的切線斜率介于直線BC?、B?C的斜率M與-M之間，因此，當換句話說，積分曲線弧夾在域B?PC?及BPC的內部，也就是不超出矩陣R.5對于Cauchy問題解來說，存在唯一性定理有較多證法，本文將從不同角度證明解的存在性與唯一性，該定理的證明分為兩個部分：一個是用性，另一個是用不同的方法證明唯一性.2.2.1存在性的證明方法一：這里只討論了x?≤x≤x?+h,對于x?-h≤x≤x?的討論是一樣的.為了突1)證明Cauchy問題等價于積分方程首先指出，求(2.2)式的解y=φ(x),x?-h≤x≤x?+h,等價于求(2.3)式在區間x?-h≤x≤x?+h上的連續解.實際上，若y=φ(x)是(2.2)式的解，即下列等式成立φ(x)=f(x,φ(x)),(2.4)其中φ(x?)=y?.再將(2.4)式兩邊取積分積分區域為x?到x,故有(2.5)即y=φ(x)也是(2.3)式的解.反之，假設連續函數y=φ(x)是(2.3)式的解，那么表面恒等式(2.5)成立.因為函數f(x,φ(x))是連續的，所以從(2.5)式知y=φ(x)能連續可導，(2.5)兩端求導就可以得到(2.4)式，且有φ(x?)=yo,這表明y=φ(x)也是(2.2)式的解.所以，只需要證明(2.3)式的連續解在|x-x,|≤h上存在且唯一.2)構造逐次近似函數序列6近似，即再把q?(x)代入(2.3)式的右端就可得到二次近似由此類推，可得到n次近似為了保證上述逐次逼近的過程可一直進行下去，需證當x?-h≤x≤x?+h時，有|φ?(x)-y。|≤b,n=1,2,…,即曲線y=qn(x)應保持在矩形R中，因為若某個的圖像超出了矩形R,由于函數f(x,y)只在矩形R上有定義，由(2.6)式可知n+1次近x。-h≤x≤x?+h上滿足|a(x)-y。|≤b,則由(2.6)式有再由積分的絕對值小于等于絕對值的積分由假設知在x?-h≤x≤x?+h上，該不等式成立|φ(x)-得在區間[x?-h,x?+h]中，利用逐次逼近法就得到一個連續函數列：3)證明{φn(x)}在x?-h≤x≤x?+h上一致收斂.考慮7Sn+1(x)=4o+[4?(x)-4%(x)]+…+[φn(若(2.7)式在[x?-h,x?+h]上一致收斂，則)存在，由或因此對任意n∈N都成立.上面已證明n=1,2時(2.8)式成立，假設為n時(2.8)式成立，所以由歸納假設(2.8)有8當|x-x,|≤h,級數(2.7)自第二項起各項的絕對值小于正項級數的對應項，而上式是收斂的，所以由M判別法知，[x?-h,x?+h]上(2.7)式不僅收斂，而且一致收斂.設S(x)=φ(x),從而{φn(x)}在[x?-h,x?+h]一致收斂于φ(x),因為{φn(x)}在[x?-h,x?+h]上連續，所以φ(x)也是連續的.4)證明)是(2.3)式的解.獲取恒等式(2.6)的極限，通過先對利普希茨條件估算：區間[x?-h,x?+h]上序列{φn(x)}一致收斂，因此ε>0后有自然數n?,當n≥n?時，對區間[x?-h,x?+h]上的x都有從而由此類推也就是說可以得到對恒等式(2.6)兩端取極限，得到9即這就表明函數φ(x)是(2.3)的解.綜上所述，證畢.方法二：設C[x?-h,x?+h]表示I=[x?-h,x?+h]上的連續函數，所構成的距離空間，則C[x?-h,x?+h]是完備的.定義C[x?-h,x?+h]到自身的映射T:在[x?,x]對Cauchy問題等式兩邊積分，則C壓縮映射能發現，T的不動點是y=φ(x).證畢.方法三：設C(I)表示區間I=[x?-h,x?+h]上的連續函數全體，定義則C1)是Banach空間.令K={y∈C(D|y-y|≤b}和T:K→C(I),使得1)K是凸閉的，任取y?,y?,…yn∈K,則只要λ∈R+,i=1,2,…,n,1,有是閉的.2)T:K→K,對任意的y∈K有3)T在K上是全連續的，設ym,yn∈K,n∈N,y→ym,于是對任意的ε>0,因此中令n→0,得到所以T∈C(I),對任意的y∈有是相對緊的.法進行證明.皮卡爾逐步逼近法建立在壓縮映射原理之上，就度量空間研究泛函方程解而言，該原理是最佳方式，能夠在不動點定理中使用.2.2.2唯一性的證明證法一：已知y=φ(x)是積分方程(2.3)的一個連續解，即設y=ψ(x)是(2.3)式在I上的連續解，則類似于證明存在性證法一，能夠通過歸納法證實，可知在I中成立，區間I上的Picard序列{y,(x)}一致收斂于ψ(x),因此可得φ(x)=y(x),所以積分方程(2.3)的連續解唯一.證完.證法二：根據唯一性中的證法一，將φ(x)與y(x)兩式作差，并利用Lipschitz條件，有令y(x)=|o(x)-4(x)|,δ=0,k=L,由Bellman引理可知，在區間I有y(x)=0,有令y(x)=|φ(x)-y(x)|,k=0,g(x)=L,所以由Gronwall引理可知，在區間I有證法四：由于y滿足Lipschitz條件，所以當x∈I時，再令θ=Lh,則由h的定義可得0<θ<1,有由壓縮映射可得T在I上存在唯一一個不動點.證完.唯一性的證明是結合存在的證明而來的，它在證明過程中同樣用到了逐步逼近法、壓縮映射等原理；只是在此過程中，它還運用了Bellman引理、Gronwall引理以及一定的深度.理、賦范空間等.結合上述證明可知，通過數學分析理論對“解的存在唯一性定理”證實需要經過眾多步驟，理解上相對簡單；由泛函分析理論作為證明的方法簡化了流程，卻增加了理解上的難度.因檢驗利普希茨條件較難，故選擇f(x,y)在R上有對y的連續偏導數替換，假設R存在、連續，那么表面有界.位于R,則(x,y?),(x,y?)∈R,0<θ<1,反之滿足利普希茨條件的函數f(x,y)不保證有偏導數，舉例來看，任意區域上函數f(x,y)=|y滿足利普希茨條件，然而其在y=0中不存在導數.經過xoy平面上任一點的解都是唯一的.證明右端函數除x軸外的上、下平面都滿足定理的條件，所以對于ox軸外任何點(x?,yo),該方程滿足y(x?)=y。的解都存在且唯一，于是，只有對于ox軸上的點，還需要討論其過這樣點的解的唯一性.由題意知y=0是方程的解.當y≠0時，由y=±ee.上半平面與下半平面通解分別為y=ee、y=-e,不相交于y=0,因此ox軸上的點(x?,0)僅通過y=0,初值解的唯一性才有保障.因為,所以不可能存在N>0使得這一觀點得到證實.基于佩亞諾定理之上能夠發現，假設方程(2.1)的右端函數f(x,y)連續，則有初值問題的解.假設R上連續的只有方程(2.1)的右端函數f(x,y),并不能保證初值問題 (2.2)的解總是唯一的.3解的存在唯一性定理的應用如果方程(2.1)在某個區間上存在唯一解，那么它必滿足兩個條件：在R上連續且在R上關于變量y滿足利普希茨條件，下面通過兩個例子來加以判斷：例1試判斷方程y在區域上的解是否存在，若存在是否唯一.解1)不存在.因為在區域R?上，方程右端函數時不連續，所以方程在區域R?上解不存在.2)存在且唯一.因為在區域R?上，函數f(x,y)=xtany連續且有界，所以方程在區域R?上的解存在且唯一.例2在xoy平面上，判斷下列方程的初值解是否存在，若存在，是否唯一.解1)是，在整個xoy平面上，f(x,y)=x+siny、f,(x,y)=cosy連續，由此可見，在整個xoy平面上滿足存在唯一性定理條件，這表明方程能夠保證初值解存在且唯一.2)否，因為方程右端函數在除去y軸外的整個xoy平面上連續且f,(x,y)=0,所以在去除y軸外的整個xoy平面上初值解存在且唯一.3)否，因為方程右端函數在整個xoy平面上連續，而且具備唯一性.具體討論.解右端函數對y的偏導數為顯然它在任何一個不包含x軸(y=0)上的產生若干解的可能性.其中x-C≥0.此外有特解y=0,因此過點(0,0)有無窮多個解(如圖所示)題(2.2)的解的存在區間為[x?-h,x?+h],中.如果M=max|f(x,y)又因為有界，由定理可知，解的存在區間是|的解為y=tgx,在內是存在的，這里這說明由定理所確定的解的存在區間是可能擴大的.3.3近似計算和誤差估計存在唯一性定理在證明過程中采用逐步逼近法實際上是求方程近似解的一種方法，示為這樣，當對近似計算時，可按照誤差的要求，選取適當的逐步逼近函數φ(x)和迭代次例1矩形區域內，一階微分方程是定義在R:-1≤x≤1,-1≤y則通過存在唯一性定理確定過原點(0,0)的解的存在區間，并計算該區間上和真正解的誤差在0.05以下的近似解的表達式.解因為,則可取L=2是R上連續函數取n=3.因為，,則可推出如下的近似表達式43(x)等同于計算獲取到的近似解，其在上和真正解的誤差較小，在0.05以例2試求微分方程初值問題存在區間和誤差估計進行探討.在區域D可取,a=0.5,b=1,.利普希茨常數可取于是在存在區間|x-x,|≤h=0.5上第1、2次近似解的誤差為例3求初值問題在區域R:|x-1|≤1,|y|≤1上的解的存在區間，進一步求第二次近似解，并對解在該區間上的誤差進行估計.解1)根據存在唯一性定理知，解的存在區間為其中,取a=1,b=1,從而即得解的定義區間為2)求初值問題的二次近似解則二次近似解為3)由誤差估計公式其中L是利普希茨常數，因為,可取L=2,則有所以第二次近似解在區間上的誤差不超過4總結與展望4.1論文總結本文用不同的方法對解的存在唯一性定理進行證明，其中包含了兩個方面：一是存在性，二是唯一性.存在性的證明運用了三種方法，分別是逐步逼近法、壓縮映射原理和邵德爾不動點定理；而唯一性的證明是在存在性的基礎上借助泛函分析中的Bellman引理、Gronwall引理以及Schauder不動點定理等相關知識進行證明.由此可見，在對解的存在唯一性進行證明時，其方法不是唯一的.在實際運用過程中，可以用解的存在唯一性對解的存在區間、近似計算、誤差估計等幾個方面進行應用，可以看出解的存在唯一性定理在微分方程中的應用是十分廣泛的，所以掌握此知識在提升專業素養的同時也能提高解決實際問題的能力.4.2進一步的研究工作有待繼續探討研究的問題具體如下：在方程)的初值解唯一保證方面，還存在弱于利普希茨條件的，然而直至今日依舊沒有確定保證初值解唯一的充分必要條件