21.3實際問題與一元二次方程

第1課時實際問題與一元二次方程（1）

【知識與技能】

會根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程并求解，能根據(jù)問題中的

實際意義，檢驗所得結(jié)果的合理性.

【過程與方法】

經(jīng)過“問題情境——建立模型——求解——解釋與應(yīng)用”的過程中，進(jìn)一步

鍛煉學(xué)生的分析問題，解決問題的能力.

【情感態(tài)度】

通過建立一元二次方程解決實際問題，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

的興趣.

【教學(xué)重點(diǎn)】

構(gòu)建一元二次方程解決實際問題.

【教學(xué)難點(diǎn)】

會用代數(shù)式表示問題中的數(shù)量關(guān)系，能根據(jù)問題的實際意義，檢驗所得結(jié)果

的合理性.

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

問題在上一節(jié)的習(xí)題21.2中，我們遇見過一些用列方程來求解的實際應(yīng)用

問題，你能說說列方程解應(yīng)用問題的步驟是怎樣的？

學(xué)生在相互討論交流中可得出結(jié)論為：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列方程；④

解方程；⑤答.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生在回顧解實際問題過程中的思路方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)新

的問題作好鋪墊，導(dǎo)入新課.

二、思考探究，獲取新知

探究1有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染

中平均1個人傳染了幾個人？

【教學(xué)說明】教師展示出問題后，先讓學(xué)生仔細(xì)分析題意，嘗試著尋求解決

問題的方法.為了讓學(xué)生更好地理解題意，不妨設(shè)置如下幾個問題：（1）若設(shè)平

均每輪傳染中一個人可傳染x個人，則第一輪傳染后共有人患了流感；

（2）第二輪傳染后，被傳染的人數(shù)為人，故第二輪傳染后共人

患了流感.

最后師生共同完成解答過程：

解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染后共有（1+x）

人患了流感，第二輪傳染后共［1+x+(1+x)·x］人患流感，依題意可列方程為

1+x+(1+x)·x=121

2

方程可整理為(1+x)(1+x)=121,即(1+x)=121.∴x1=10,x2=-12(不合題意，應(yīng)舍

去)，

故平均一個人傳染了10個人.

想一想（1）照上述傳染速度，三輪傳染后患流感的人數(shù)共有多少人？

（2）通過對上述問題的探究，你對類似的傳播問題中的數(shù)量關(guān)系，有新認(rèn)

識嗎？

【教學(xué)說明】（1）的問題學(xué)生可通過前面的分析獲得結(jié)論，進(jìn)一步加深對傳

播問題中數(shù)量關(guān)系的理解和認(rèn)識；（2）中問題應(yīng)讓學(xué)生相互交流，總結(jié)規(guī)律.

探究2兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本為

6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本為3000元，生產(chǎn)1t

乙種藥品的成本為3600元.哪種藥品成本的年平均下降率較大？

思考（1）甲種藥品成本的年平均下降額與乙種藥品的年平均下降額分別是

多少？它與年平均下降率是否是一回事？

（2）若設(shè)甲種藥品的年平均下降率為x，則第一年后的成本為元，

第二年后的成本為元，你能列出相應(yīng)的方程并求出問題的解嗎？對于乙

種藥品呢？

【教學(xué)說明】思考（1）旨在讓學(xué)生感受成本下降問題中，成本下降額和成

本下降率這兩個接近而不同的概念，前者表示絕對變化量，單位是元，后者表示

相對變化量，是表示比率的數(shù)字，從而全面比較對象的變化狀況；思考（2）則

進(jìn)一步讓學(xué)生感受到兩個時間段的平均變化率，如經(jīng)濟(jì)增長率、人口增長率等，

設(shè)平均變化率為x，則有變化前數(shù)量×(1+x)2=兩年后的數(shù)量，由此可得到一元二

次方程的數(shù)學(xué)模型，并確定方程和問題的解，教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極

思考，尋求出實際問題中所蘊(yùn)含的等量關(guān)系，讓學(xué)生體會到尋找等量關(guān)系是解決

問題的關(guān)鍵，最后師生共同完成解答過程.

三、典例精析，掌握新知

例1某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分

支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個支干長出多少個小分支？

解：設(shè)每個支干長出x個小分支，由題意可列方程為

2

1+x+x=91,解得x1=9,x2=-10(不合題意，應(yīng)舍去),即每個支干長出9個小分支.

例2某銀行經(jīng)過最近的兩次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至

1.98%，平均每次降息的百分率是多少？

解：設(shè)平均每次降息的百分率為a%，依題意可列方程為：

2.25%（1-a%）2=1.98%

解得a1≈6.19,a2≈193.81(不合題意，應(yīng)舍去).

即平均每次降息的百分率約為6.19%.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主探究，找出題目中的等量關(guān)系，并能構(gòu)

建合適的一元二次方程來解決問題，加深對知識的領(lǐng)悟，其中例2可借助計算器

來幫助解決問題.教學(xué)時，教師在學(xué)生探究期間應(yīng)巡視全場，幫助困難學(xué)生找出

解決問題的思路方法，最后給出完整解答過程，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣.

四、運(yùn)用新知，深化理解

1.一臺電視機(jī)的成本價為a元，原銷售價比成本價增加25%，因庫存積壓，

兩次降價處理，若每次降價的百分率為x%，則最后銷售價應(yīng)為.

2.某養(yǎng)雞場一只患禽流感的小雞經(jīng)過兩天的傳染后，使養(yǎng)雞場共有169只小

雞感染禽流感，那么在每一天的傳染中平均一只小雞傳染了幾只小雞？

3.某校堅持對學(xué)生進(jìn)行近視眼的防治，近視眼人數(shù)逐年減少.據(jù)統(tǒng)計，2013

年和2012年的近視眼人數(shù)只占2011年人數(shù)的75%，這兩年平均每年近視眼人數(shù)

下降的百分率是多少?

【教學(xué)說明】

設(shè)置這幾道題有利于學(xué)生進(jìn)一步掌握一元二次方程應(yīng)用題的解法，題目稍

難，老師應(yīng)巡視給予指導(dǎo)，然后共同完成.

【答案】1.（1+25%）a·(1-x%)2元

2.設(shè)每一天的傳染中平均一只小雞傳染了x只小雞，由題意，得（1+x）

+(1+x)·x=169，解得x1=12,x2=-14(不合題意，舍去)，故每一天平均一只小雞傳

染了12只小雞.

3.設(shè)平均每年的近視眼人數(shù)下降的百分率為x，2011年的近視眼人數(shù)為a人，

2

由題意有（1-x）a+(1-x)·a=75%a，解得x1=0.5,x2=2.5，顯然x=2.5不合題意，

應(yīng)舍去，即平均每年近視眼人數(shù)下降的百分率為50%.

五、師生互動，課堂小結(jié)

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對傳播類和增長率（下降率）的應(yīng)用問題的處理有哪

些體會和收獲？談?wù)勀愕目捶?

【教學(xué)說明】教師可向?qū)W生提問，以進(jìn)一步鞏固列方程解應(yīng)用題的方法和解

題步驟，為后續(xù)學(xué)習(xí)作好鋪墊.

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.