絕密★考試結束前浙東北聯盟（ZDB）2023－2024學年第二學期期中考試高二數學試卷命題學校：浙江省平湖中學命題老師：汪大秀審卷老師：謝秋杰考生須知：1．本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對數型函數定義域為真數大于0，求解即可.【詳解】函數需滿足，解得，所以函數的定義域為.故選：C.2.一批產品共有7件，其中5件正品，2件次品，現從7件產品中一次性抽取3件，設抽取出的3件產品中次品數為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用組合數分別求出恰好取出一件不合格產品的基本事件數和從7件產品中取出3件產品的基本事件數，再利用古典概型概率計算公式即可求解.【詳解】恰好取出一件不合格產品的基本事件數為：，從7件產品中取出3件產品的基本事件數為：，故選：B3.已知，則使成立的實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數的單調性，再根據函數的單調性得出不等式，最后解一元二次不等式求解.【詳解】因為,所以fx是單調遞增函數，又因為，所以,所以,所以x的取值范圍為.故選：A.4.蘇格蘭數學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中大數之間的計算而發明了對數.利用對數運算可以求大數的位數.已知，則是（）A.5位數 B.6位數 C.7位數 D.8位數【答案】D【解析】【分析】利用對數的運算性質即可得解.【詳解】由于，設，則，則，故是8位數.故選：D.5.函數的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，設函數的兩個極值點分別為、，且，求出，結合二次函數的性質分析、、的符號，又由函數與軸交點在軸上方，則有，綜合可得答案．【詳解】根據題意，由函數圖象易知存在兩個極值點，設兩個極值點分別為、，且，，在區間上，為減函數，此時，在區間上，為增函數，此時，在區間上，為減函數，此時，則是開口向下的二次函數，，有兩個根，即和，則有m+n=?2b3a<0mn=c函數與軸交點在軸上方，則有．故選：A．6.定義“各位數字之和為8的三位數叫幸運數”，比如116，431，則所有幸運數的個數為（）A18 B.21 C.35 D.36【答案】D【解析】【分析】運用分類加法原理計算即可.詳解】按照百位數字進行分類討論：當百位數是1，后兩位相加為7，有8種；當百位數是2，后兩位相加為6，有7種；當百位數是3，后兩位相加為5，有6種；當百位數是4，后兩位相加為4，有5種；當百位數是5，后兩位相加為3，有4種；當百位數是6，后兩位相加為2，有3種；當百位數是7，后兩位相加為1，有2種；當百位數是8，后兩位相加為0，有1種；總共有種.故選：D.7.若是函數的一個極值點，是函數的一個零點，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】先根據極值點及零點得出滿足的等式，再結合函數的單調性得出等式計算即可求值.【詳解】因為是函數的一個極值點，所以，因為是函數的一個零點，所以，設單調遞增，因為，所以.故選：B.8.一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小、質地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球．現進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用超幾何分布和二項分布知識分別計算從中隨機地無放回摸出3個球、從中隨機地有放回摸出3個球的期望、方差，再做比較可得答案．【詳解】試驗一：從中隨機地無放回摸出3個球，記白球的個數為，則的可能取值是0，1，2，3，則，，，故隨機變量的概率分布列為：0123則數學期望為：，方差為：；試驗二：從中隨機地有放回摸出3個球，則每次摸到白球的概率為，則，故，，故，．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分數，有選錯的得0分.9.投擲一枚質地均勻的骰子，事件“朝上一面點數為偶數”，事件“朝上一面點數不超過2”，則下列結論正確的是（）A.事件互斥 B.事件相互獨立C. D.【答案】BCD【解析】【分析】結合互斥事件的概念檢驗選項A，結合相互獨立事件的概念檢驗選項B，結合條件概率公式檢驗選項C，結合并事件的概率公式檢驗選項D．【詳解】投擲一枚質地均勻的骰子，朝上的點數的可能情況有6種，事件朝上一面點數為偶數包含3種情況：2，4，6，事件朝上一面點數不超過2包含2種情況：1，2，顯然，不互斥，A錯誤；故，，，所以,即，相互獨立，B正確；因為，C正確；，D正確．故選：BCD．10.下列等式正確是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據題意，由排列組合數公式依次分析選項，綜合可得答案.【詳解】根據題意，依次分析選項:對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確；故選：ACD11.已知為偶函數，對，且，若，則以下結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用的奇偶性與條件，結合賦值法依次得到，從而判斷AB；利用的相關性質推得的周期性，從而判斷CD，由此得解.【詳解】對于A，因為為偶函數，所以，則，令，得，因為，，令，得，又，所以，故A正確；對于B，在中，令，得，即，得，在中，令，得，故B錯誤；對于CD，因為，所以，所以，又，，則，所以，故，所以函數是周期為6的函數，故，故C錯誤，D正確.故選：AD【點睛】結論點睛：解決抽象函數的求值、性質判斷等問題，常見結論：（1）關于對稱：若函數關于直線軸對稱，則，若函數關于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關于周期：若，或，或，可知函數的周期為.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則______．【答案】7【解析】【分析】利用組合數公式計算即可.【詳解】得到，解得或.故.故答案為：713.利率變化是影響某金融產品價格的重要因素經分析師分析，最近利率下調的概率為60%，利率不變的概率為40%．根據經驗，在利率下調的情況下該金融產品價格上漲的概率為80%，在利率不變的情況下該金融產品價格上漲的概率為40%．則該金融產品價格上漲的概率為__________．【答案】####【解析】【分析】根據概率的乘法公式即可求解.【詳解】有題意可知金融產品價格上漲的概率為：，故答案為：14.已知，直線與曲線有三個不同的交點，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據直線與曲線相切時求出臨界值k，再求有3個交點時k的取值范圍即可得．【詳解】，，直線過點，設過點的直線與曲線相切于點，故切線方程為，將代入方程得，，解得，，，故，，，由直線與曲線有三個不同的交點，故或.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）求在處的切線方程；（2）證明：對.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數求出切線斜率，然后代入點斜式化簡即可求解.（2）作差，把所證不等式變為恒成立，利用導數研究的單調性，求出最值即可證明.【小問1詳解】由題意得：切點，，則，設切線方程：，化簡得：.【小問2詳解】要證：，即證：，令，則，又，則在單調遞減，所以，即，則得證．16.已知展開式中第5項、第6項、第7項的二項式系數成等差數列．（1）求的值；（2）求展開式中的系數．【答案】（1）7或14（2）當時，的系數為35；當時，的系數為1001【解析】【分析】（1）由題意，建立組合數方程，利用組合數的階乘表示式化簡計算即得；（2）根據二項展開式的通項知，的系數為，則由（1）求得的的值，分兩種情況分別求即得.【小問1詳解】由題意得：即化簡得：即，解得或，經檢驗，都符合題意.故或.【小問2詳解】因二項式的展開式通項為：其中的系數為由（1）得：或14，則當時，的系數為；當時，的系數為.綜上，當時，的系數為35；當時，的系數為1001.17.如圖，四棱錐，底面為正方形，平面平面，為的重心．（1）若點在線段上，且，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質定理得平面，建立空間直角坐標系，設正方形的邊長為2，求得和平面的法向量，計算其數量積即可得證；（2）由（1）得：，，設直線與平面所成角為，代入線面角公式即可求解．【小問1詳解】平面平面，平面平面，平面，，平面，以為坐標原點，垂直平面豎直向上為軸，以，所在直線為，軸建立空間直角坐標系，設正方形的邊長為2，則，則，由重心得，，即，由得：，所以，，設平面的一個法向量為，，令，，又不在平面內，平面；【小問2詳解】由（1）得：，，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．18.設函數，其中．（1）求的單調區間；（2）若存在極值點，且，其中，求證：；（3）若，函數，求在上的最大值．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）對求導，分和兩種情況，討論導函數的正負，從而得原函數的單調性；（2）由存在極值點，可得，再根據，經計算可得；（3）根據，分析其單調性，分，，三種情況求其最大值，可得結論.小問1詳解】①當時，，所以在上單調遞增；②當時，在上單調遞增，上單調遞減．【小問2詳解】由（1）知，，即因為所以所以所以又，所以．【小問3詳解】當時，，，所以當時，，當時，所以上單調遞增，上單調遞減，當時，，，所以在上單調遞增，，，，①當時，即時，在上單調遞增，所以；②當時，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以；③當時，即時，所以在上單調遞增，上單調遞減，在上單調遞增，由于，，當時，即，所以，當時，即，所以則綜上，．【點睛】關鍵點點睛：導函數中常用的兩種轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理.19.某手機銷售商為了了解一款手機的銷量情況，對近100天該手機的日銷售量（單位：部）進行了統計，經計算得到了樣本的平均值，樣本的標準差．（1）經分析，可以認為該款手機的日銷售量近似服從正態分布，用樣本的平均值作為的近似值，用樣本的標準差作為的近似值，現任意選取一天，試估計這一天該款手機的銷量恰好在之間的概率；（2）為了促銷，該銷售商推出了“摸小球、送手機”的活動，活動規則為：①每位購買了一部該款手機的顧客參加一次活動；②箱子中裝有紅球2個和白球4個，如果摸到的是白球，則獲得1個積分，如果摸到的是紅球，則獲得2個積分．放回后進行下一次摸取．設顧客的初始積分為0，顧客的積分之和為的概率為，（ⅰ）求的值，并證明：數列是等比數列；（ⅱ）銷售商家規定當積分之和達到19或20時，游戲結束，如果最終積分為19，顧客獲得二等獎，手機的售價減免1000元；如果最終的積分為20，顧客獲得一等獎，手機的售價減免2000元．活動的第一天共有300位顧客各購買了一部該手機，且都參加了活動，試估計獲得一等獎的顧客人數．（結果四舍五入取整數）參考數據：若隨機變量，則，．【答案】（1）0.47725（2）（ⅰ），證明見解析；（ⅱ）獲得一等獎的顧客人數約為75人【解析】【分析】（1）應用正態分布的概率計算求解；（2）根據遞推公式構造數列，計算得出數列為等比