還原法（重點(diǎn)）還原法本質(zhì)：運(yùn)用羅爾定理的逆過程比如：可導(dǎo)函數(shù)滿足記，則有，運(yùn)用羅爾定理得存在，使得那么怎么根據(jù)結(jié)論得到輔助函數(shù)？將上面的過程逆過來即可！的就是我們要構(gòu)造的函數(shù)注：很多時(shí)候需要對式子兩邊取指數(shù)設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得設(shè)在上二階可導(dǎo)，得設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：（1）存在，使得（出題人隱藏了導(dǎo)數(shù)）（2）存在，使得設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明：存在，使得設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)且，又證明：存在，使得（1995年）類似題設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明：存在，使得設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)且，證明：存在，使得微分方程法（重點(diǎn)）把結(jié)論看作方程，將方程通解化成這樣的式子！1）比如結(jié)論是通解，適當(dāng)變形得到2）比如結(jié)論是通解適當(dāng)變形得到3）比如結(jié)論是通解，求導(dǎo)得聯(lián)立消得（或消得）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得奇函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（1）存在，使得（2）存在，使得（2013（亦可以用萬能構(gòu)造）設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且求證：存在，使得（亦可以用萬能構(gòu)造）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，且，證明：1）存在，使得21（余炳森五套卷）（亦可以用萬能構(gòu)造）檢測題設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明1）存在，使得（提示：零點(diǎn)定理）2）存在，使得（第一屆決賽）形如的微分方程可降階處理令，則二階微分方程變成一階微分方程設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且證明：存在，使得（亦可運(yùn)用萬能構(gòu)造）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，，證明：（1）方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根（2）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)實(shí)根（2017年）（亦可運(yùn)用萬能構(gòu)造）萬能構(gòu)造（重點(diǎn)）若結(jié)論形如，則構(gòu)造輔助函數(shù)設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且證明：存在，使得設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明：存在，使得設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，證明：對于任意的，存在，使得有時(shí)候出題人會故意隱藏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)，證明：（1）存在，使得（2）存在，使得（2020設(shè)函數(shù)在（湯家鳳八套卷）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，，試證：1）存在不同的，使得2）對任意的整數(shù)，存在，使得（超越卷）注：構(gòu)造出來的輔助函數(shù)利用不上條件，有如下三種可能1）需要對條件作一些處理，才能利用（后面講的推廣的羅爾定理就屬于這種情形）2）需要二次構(gòu)造輔助函數(shù)，才能利用3）無法利用，只能再重新構(gòu)造其他輔助函數(shù)下面這題如出一轍設(shè)在上可導(dǎo)，，，證明：1）在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)2）存在，使得（第十五屆初賽B類）下面這些題目前面都是解方程來構(gòu)造輔助函數(shù)的，實(shí)際上也可以用萬能構(gòu)造奇函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（1）存在，使得（2）存在，使得（2013（亦可以用萬能構(gòu)造）設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且求證：存在，使得（亦可以用萬能構(gòu)造）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，且，證明：（1）存在，使得（2（余炳森五套卷）（亦可以用萬能構(gòu)造）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且證明：存在，使得（亦可運(yùn)用萬能構(gòu)造）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，，證明：（1）方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根（2）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)實(shí)根（2017年）（亦可運(yùn)用萬能構(gòu)造）需要二次構(gòu)造輔助函數(shù)的情形（重點(diǎn)）設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，（湯家鳳八套卷）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，證明：（1）存在，使得（2）存在，使得（3）存在，使得（湯家鳳八套卷）設(shè)在在，使得（湯家鳳八套卷）檢測題（這個(gè)題還有第一問的提示，比前面三道更簡單）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且1）證明：存在互不相同的點(diǎn)，使得2）證明：存在，使得（第十二屆決賽）萬能構(gòu)造在不等式和極限中的應(yīng)用（次重點(diǎn)）若條件或結(jié)論中出現(xiàn)了形如的式子，則構(gòu)造輔助函數(shù)解題大方向：將關(guān)于的條件和結(jié)論轉(zhuǎn)換成關(guān)于的條件和結(jié)論這種處理手法的作用：簡化條件或結(jié)論！聯(lián)系條件和結(jié)論！如何轉(zhuǎn)換？利用和可導(dǎo)函數(shù)滿足，求設(shè)是常數(shù)，連續(xù)函數(shù)滿足是微分方程的解，求設(shè)在上連續(xù)可微，且，，求證：設(shè)在上連續(xù)可微，且，，求證：設(shè)在上連續(xù)可微，且，，求證：設(shè)在上連續(xù)，，求證：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，對于任意的，，，證明：（目標(biāo)140以下可跳過）設(shè)在上非負(fù)連續(xù)，且，求證：對于任意的，有（目標(biāo)140以下可跳過）推廣的羅爾定理（次重點(diǎn)）1）設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，在上連續(xù)，若，則存在，使得2）設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，若，則存在，使得設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，滿足，證明：存在，使得（超越五套卷）設(shè)在上可導(dǎo)，且，證明：存在，使得設(shè)在上可導(dǎo)，證明：存在，使得常數(shù)值法（次重點(diǎn)）注：用來處理中值部分可分離的中值問題常數(shù)值法也是基于羅爾定理的一個(gè)找原函數(shù)的方法，該方法簡單粗暴，有兩類用法！第一類常數(shù)值法使用條件：（1分離一端只含有中值（2）可化為零式：如果把式子中的換成時(shí)，呈現(xiàn)的形式，就稱它是零式構(gòu)造步驟：（1）把原式化成分離形式，令等式一端的常數(shù)等于（2換成把所得的式子記作，這就是構(gòu)造的輔助函數(shù)。（3的取法及的作法便知，必有，由原式可化為零式便知，必有，所以有（4）對在上運(yùn)用羅爾定理第二類常數(shù)值法分離，另一端只含有中值構(gòu)造步驟：（1）把原式化成分離形式，令等式一端的常數(shù)等于（2構(gòu)成的代數(shù)式，右端為由構(gòu)成的代數(shù)式（3換成得到函數(shù)，此時(shí)有（4）對在上運(yùn)用羅爾定理羅爾定理。對運(yùn)用一次羅爾定理得到運(yùn)用一次羅爾定理。（1在（2在存在且（2009年）證明開區(qū)間的積分中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：（1）存在，使得（2）存在，使得設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)且證明：存在，使得設(shè)函數(shù)在上三階可導(dǎo)，證明：存在，使得利用柯西中值定理（重點(diǎn)）中值部分可分離的中值問題除了可以用常數(shù)值法，還可以運(yùn)用柯西中值定理來做如果結(jié)論中的區(qū)間端點(diǎn)與中值可分離，即原式可化成這樣一個(gè)等式：等式的一端只含有區(qū)間端點(diǎn)，另一端只含有中值，可以考慮運(yùn)用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。解題步驟第一步：將與分離第二步：可以從兩個(gè)角度入手從含有的式子入手：將含有的式子化成或（即局部分離）從含有的式子入手：將含有的式子化成或，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：（1）存在，使得（2）存在，使得當(dāng)含有兩個(gè)中值時(shí)（并且不要求的放一起，然后化成或，將含有的放一起，然后化成或，然后在區(qū)間上運(yùn)用柯西中值定理或拉格朗日中值定理即可！注：不要求的中值問題不是真正的雙中值問題！這類問題一般都很簡單！設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，證明：存在，使得設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得多次運(yùn)用柯西中值定理（非重點(diǎn)）當(dāng)結(jié)論中出現(xiàn)有二階或二階以上導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要多次運(yùn)用柯西中值定理處理手法的核心就是下面這個(gè)結(jié)論若具有階導(dǎo)數(shù)，且則存在，使得解題步驟第一步：分離中值部分第二步：設(shè)函數(shù)泰勒中值定理在的某個(gè)鄰域內(nèi)具有，有，其中，這里是與之間的某個(gè)值泰勒中值定理：如果函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，那么對任一，有，這里是與之間的某個(gè)值設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)且證明：存在，使得設(shè)函數(shù)在上三階可導(dǎo)，證明：存在，使得設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，證明：對充分小的，存在，使得拉格朗日中值定理的幾何意義（重點(diǎn)）左邊是某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，右邊是某一條弦的斜率所以我們可以把某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)看作某一條弦的斜率來分析問題！如何去找到這條弦呢？就是要找到弦的兩個(gè)端點(diǎn)！設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，且，令，證明：存在，使得（超越五套卷），使得（2013年）在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，其中且證明：存在，使得函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，在上的最大值，使得（超越五套卷）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，又不是線性函數(shù)，試證：存在，使得（目標(biāo)140以下可跳過此題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，證明：（1）存在，使得（2）若對任意，使得，則（2020年）三個(gè)方法虐殺雙中值問題（次重點(diǎn)）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，證明：存在，使得設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得前面講的這三道題目不要求，不是真正的雙中值問題！這類問題一般都很簡單！在整個(gè)區(qū)間上運(yùn)用柯西中值定理和拉格朗日中值定理就可以做出來！要求，才是真正的雙中值問題！這類問題又該如何去處理呢？方法一：利用拉格朗日中值定理幾何意義方法二：在整個(gè)區(qū)間插入分點(diǎn)，分成兩個(gè)小區(qū)間，分別運(yùn)用拉格朗日中值定理或柯西中值定理雙中值問題變成把它打回原形）三種方法的比較方法一是幾何法代數(shù)法，缺少直觀，但是更加細(xì)膩，能夠處理更復(fù)雜的結(jié)論！方法一和方法二中的產(chǎn)生是沒有先后和上運(yùn)用拉格朗日中值定理或柯西中值定理得到，從而有。而方法三中的產(chǎn)生是有先后順序的，上運(yùn)用拉格朗日中值定理或柯西中值定理得到，從而有。（或者在上運(yùn)用拉格朗日中值定理或柯西中值定理得到，從而有）方法一：根據(jù)拉格朗日中值定理幾何意義，某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可以看作某一條弦的斜率定點(diǎn)）兩條弦實(shí)際上就是要確定中間的一個(gè)點(diǎn)！更一般地當(dāng)有看作首尾相連的要確定這條弦實(shí)際上就是要確定中間的個(gè)點(diǎn)注：這些弦不能有重合的區(qū)間，這樣是為了確保中值互不相等！函數(shù)在（其中不同的點(diǎn)，使得在，使得設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得（2010在，使得（其中）在，使得（其中）在，使得在，使得在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在個(gè)不同的點(diǎn)，使得（其中）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在個(gè)不同的點(diǎn)得（其中）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在個(gè)不同的點(diǎn)，使得在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在個(gè)不同的點(diǎn)，使得設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間不同的點(diǎn)，使得設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，且，使得（第十二屆初賽）方法二：在區(qū)間上插入?yún)^(qū)間分點(diǎn)，分成兩個(gè)區(qū)間和，接下來去確定分點(diǎn)。將結(jié)論中換成，換成關(guān)于的等式或關(guān)于的等式或與的關(guān)系式，從而確定出分點(diǎn)。確定出分點(diǎn)后，對兩個(gè)區(qū)間和分別運(yùn)用拉格朗日中值定理即可。設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間不同的點(diǎn)，使得設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，且，使得（第十二屆初賽）在，使得在，使得（其中）在，使得（其中）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明：存在，使得直接換成（或者（雙中值問題變成法構(gòu)造出輔助函數(shù)！去產(chǎn)生！的產(chǎn)生是有先后順序的：先產(chǎn)生，然后在上運(yùn)用拉格朗日中值定理得到在，使得在，使得（其中在，使得（其中設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間不同的點(diǎn)，使得設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，且，使得（第十二屆初賽）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：存在兩個(gè)不同的點(diǎn)（方法失效，不過讓兩個(gè)中值不相等的原理和方法三一樣）有時(shí)候出題人為了提升題目難度，故意隱藏導(dǎo)數(shù)，給我們設(shè)置障礙！出題人是如何隱藏導(dǎo)數(shù)的呢？把函數(shù)取成或者取成（其中是某個(gè)具體的函數(shù)，比如）大家首先要做的事情就是要把找出來！那么導(dǎo)數(shù)自然就浮現(xiàn)出來了！設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得（第八屆初賽）設(shè)函數(shù)在上存在三個(gè)不同的點(diǎn)（第九屆決賽）利用泰勒中值定理（重點(diǎn)）注：因?yàn)橐恍┎坏仁揭部梢杂眠@個(gè)方法來解，所以順便把一些不等式也講了運(yùn)用泰勒中值定理就是：將在處泰勒展開其中無非是這些點(diǎn)：區(qū)間端點(diǎn)或區(qū)間中點(diǎn)的或極值點(diǎn)（包括最值點(diǎn)）或任意點(diǎn)。要取什么點(diǎn)，遵循下面兩個(gè)原則1）條件和結(jié)論中出現(xiàn)什么展開什么2）條件和結(jié)論中不存在的式子要消去！函數(shù)在上有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在，使得（李艷芳三套卷）函數(shù)在上有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在，使得（1999設(shè)函數(shù)在上有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在，使得設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且滿足，在內(nèi)取到最大值，證明：設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，，，證明：設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且，證明：存在，使得（湯家鳳八套卷）設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且，證明：設(shè)函數(shù)在設(shè)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明1）當(dāng)時(shí)，有2）（2024設(shè)函數(shù)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：1）若，則存在，使得2）若在內(nèi)取得極值，則存在，使得（2023年）設(shè)函數(shù)在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，證明：有界設(shè)函數(shù)在內(nèi)三階可導(dǎo)，且，證明：有界帶積分的處理（重點(diǎn)）令這個(gè)函數(shù)“天生”有個(gè)零點(diǎn)，大家做題千萬不要漏了這個(gè)條件！設(shè)函數(shù)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)1）證明：存在，使得2）若，證明（余炳森五套卷）設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明：1）存在，使得2在（李林六套卷）設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且設(shè)函數(shù)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在，使得（2001年）設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，，令證明：存在，使得（湯家鳳八套卷）利用泰勒中值定理求中值極限（非重點(diǎn)）萬能解題模版一如果條件等式中的中值部分是且有條件則可按下面步驟解題步驟一：將條件等式中的和在處展開到（帶佩亞諾余項(xiàng)的展開）步驟二：等式兩邊除以，然后等式兩端求極限萬能解題模版二（全新解法）條件等式中的中值部分是且有條件的計(jì)算：把視為一個(gè)整體得的計(jì)算：利用條件替換中，然后再計(jì)算更一般的條件等式中的中值部分是且有條件的計(jì)算：利用條件替換中，然后再計(jì)算設(shè)，連續(xù)，且，求設(shè)，連續(xù)，且，求設(shè)在區(qū)間內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，求設(shè)在內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，且，證明中的滿足注：實(shí)際