24級高一下學期3月考試（數學）試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求.1.若復數，則（）A. B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】直接將代入計算即可.【詳解】因為，所以，故選：D2.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據向量平行的坐標表示列方程求參數，結合充分、必要性定義即可得.【詳解】若，且，則，解得或，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.在中，，則下列結論一定正確的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：直接利用正弦定理即可得結果.詳解：設對應邊為，，由正弦定理得，，，故選A.點睛：本題主要考查三角形的性質以及正弦定理的應用，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力，屬于簡單題.4.在中，點D在線段BC上，且，E是線段AB的中點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先得到向量，再利用向量減法的三角形法則表示出即可求解.【詳解】因為，所以，則.故選：A5.在中，內角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形【答案】D【解析】【分析】將已知結合二倍角公式，兩角和的正弦公式，化簡可得，從而可以判斷三角形的形狀.【詳解】，，，化簡得，，，即，或，，或，即或，是直角三角形或等腰三角形.故選：D.6.復數滿足，則最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數的幾何意義，作圖，利用點到直線距離公式，可得答案.【詳解】設復數在復平面上的對應點為，則可表示為復平面上點到的距離，可表示為復平面上點到的距離，由題意可知：點在線段的中垂線上，如下圖：線段的中點為，直線的斜率，則的軌跡方程為，整理可得，由可表示為點到的距離，.故選：A.7.某數學興趣小組成員為測量某建筑的高度OP，選取了在同一水平面上的A，B，C三處，如圖.已知在A，B，C處測得該建筑頂部P的仰角分別為，，，，米，則該建筑的高度（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】設，由，結合余弦定理可得，求解即可.【詳解】設，則可得，由，可得B是AC的中點，所以，而，則，，中，由余弦定理可得：，解得：，所以該建筑的高度米.故選：B.8.如圖，在中，，，，邊上的兩條中線于點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察圖象知與的夾角的大小相等，結合向量夾角余弦公式可得結論.【詳解】因為，所以為直角三角形，建立如圖所示的平面直角坐標系，則有，，，又D，E分別為BC，AB中點，所以，，故，，所以，故選：D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數z滿足，則（）A.為純虛數 B.對應的點在第四象限C. D.和是方程的兩個根【答案】BC【解析】【分析】先化簡，然后結合選項可得答案.【詳解】因為，所以，對于A，顯然不是純虛數，A不正確；對于B，，對應的點在第四象限，B正確；對于C，，C正確；對于D，，所以和不是方程的根,D不正確.故選：BC10.在中，，，，若滿足條件三角形有兩個，則的取值可能為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理求得，再根據三角形有兩解的條件可得，且，由此求出的范圍即可得解.【詳解】在中，由正弦定理得，，因滿足條件的三角形有兩個，則必有，且，即，于是得，解得，因為，所以的取值可能為8，9.故選：BC.11.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列結論正確的是（）A.B.在向量上的投影向量為C.若P為ED的中點，則D.若P在線段BC上，且，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】以為軸，為軸建立平面直角坐標系，計算各點坐標，計算，可判斷A；求得在向量上的投影向量判斷B；由P為的中點，求出點P、向量、的坐標，結合，計算可判斷C；計算，計算可判斷D.【詳解】如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標系，設，根據余弦定理可得，，整理得到，設，，設，對選項A：，所以，故A錯誤；對選項B：，，即在向量上的投影向量為，故B正確；對選項C：因為P為的中點，所以，所以，，，故C正確；對選項D：，，所以，所以，整理得到，由題意可知，所以在上單調遞增，當時，，當時，，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則復數z的虛部為______.【答案】【解析】【分析】先化簡復數，再求解虛部.【詳解】因為，所以，所以虛部為.故答案為：13.已知正三角形的邊長為2，動點滿足，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】易知點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，取的中點可得，易得，即可求得的最小值為.【詳解】因為動點滿足，所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，如下圖所示：

設為的中點，則；所以當取最小值時，取得最小值；，所以.故答案為：.14.在中，角所對的邊分別為，且，則的取值范圍是___________.【答案】（1，3）【解析】【分析】由三角形的內角范圍可得0＜A，cosA＜1，運用正弦定理和三角函數的二倍角的正弦公式和余弦公式，結合余弦函數的單調性，可得所求范圍．【詳解】由B＝3A，可得C＝π﹣A﹣B＝π﹣4A，由0＜B＜π，0＜C＜π，可得0＜A，則cosA＜1，==2cos2A+cos2A＝4cos2A﹣1，由cosA＜1，可得cos2A＜1，即有1＜4cos2A﹣1＜3，則的取值范圍為（1，3），故答案為：（1，3）【點睛】關鍵點點睛：關鍵是將利用正弦定理轉化為角A的函數，注意角的范圍四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知平面內兩個不共線的向量，.（1）求；（2）求與夾角.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據條件對的兩邊平方即可得出關于的方程，然后根據題意知，從而解出；（2）進行數量積的運算可求出和的值，然后即可求出的值，從而可求出和的夾角.【詳解】解：（1），，，，且，解得；（2），，，且，.16.如圖，在中，內角，的對邊分別為，，，，過點作，交線段于點，且，．（1）求的大小；（2）求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據條件進行邊角互化，化簡可求出的大小.（2）由第（1）問的結論，可求出，由邊相等可求出，正弦定理可求出結果.【小問1詳解】因，所以由正弦定理得：，因為，所以，所以，即，又因為，所以．小問2詳解】因為，所以，由（1）知，，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，又因為，所以，即.17.在中，角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若為邊上一點，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化簡，結合同角三角函數的商數關系或輔助角公式，求得或，可求角；（2）由已知可得為等邊三角形，則，中由余弦定理求得的值．【小問1詳解】依題意，，由正弦定理可得，因為，所以，所以，法一：即，因為，所以，所以，所以：，所以，即．法二：即，所以，即，因為，所以，所以，即．【小問2詳解】因為，又因為，所以為等邊三角形，則，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），故．18.某高中高一學生成立了課外實踐數學小組，計劃通過數學建模的方法來測量某人工圓形湖泊的直徑，如圖為該人工湖泊的大致俯視圖，該小組成員首先在湖泊邊緣處A點處固定一旗幟，然后從A點沿逆時針方向繞著湖泊邊緣走到B點處固定一旗幟，并在紅外線角度測量儀的幫助下從B點逆時針走至C點處，此時測得∠ABC=120°，且測得BC=20米，AB=10米．（1）求該人工圓形湖泊的直徑；（2）若D為人工圓形湖泊優(yōu)弧上一動點（異于A，C兩點），求四邊形ABCD面積的取值范圍．【答案】（1）該人工圓形湖泊的直徑為米（2）四邊形ABCD面積的取值范圍為（平方米）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直徑；（2）利用三角形面積公式求得，利用四點共圓性質及余弦定理，結合基本不等式求得的最大值(，)，進而得到的最大值，從而得到四邊形ABCD面積的取值范圍.【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，即，故米．設該人工圓形湖泊的半徑為R，故，所以該人工圓形湖泊的直徑為米．（2）易得，因為A，B，C，D四點共圓，所以，設，，由余弦定理可得，所以，當且僅當時取等號，故四邊形ABCD面積的取值范圍為（平方米）．19.銳角的內角的對邊分別為.已知.（1）求；（2）若，求面積的最大值；（3）若，求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由兩角和的正切公式結合題目條件求出，即可