PAGEPAGE1第1講統計、統計案例A組小題提速練一、選擇題1．(2024·荊門調研)將參與數學競賽決賽的500名學生編號為001,002，…，500，采納系統抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003，這500名學生分別在三個考點考試，從001到200在第一考點，從201到355在其次考點，從356到500在第三考點，則第三考點被抽中的人數為()A．14 B．15C．16 D．21解析：系統抽樣的樣本間隔為eq\f(500,50)＝10，第一個號碼為003，依據系統抽樣的規則，抽到的號碼依次為003,013,023,033,043,053，…，493，第三考點抽到的第一個號碼為363，最終一個號碼為493，由等差數列的通項公式得493＝363＋(n－1)×10，解得n＝14，故選A.答案：A2．如圖所示，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各4名學生完成某道數學題的得分狀況，該題滿分為12分．已知甲、乙兩組學生的平均成果相同，乙組某個數據的個位數字模糊，記為x.則下列命題正確的是()A．甲組學生的成果比乙組穩定B．乙組學生的成果比甲組穩定C．兩組學生的成果有相同的穩定性D．無法推斷甲、乙兩組學生的成果的穩定性解析：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,4)×(9＋9＋11＋11)＝10，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4)×(8＋9＋10＋x＋12)＝10，解得x＝1.又seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,4)×[(9－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(11－10)2]＝1，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4)×[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝eq\f(5,2)，∴seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，∴甲組學生的成果比乙組穩定．選A.答案：A3．某同學對某商店一個月內每天的顧客人數進行了統計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本中的中位數、眾數、極差分別是()A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53解析：樣本中數據共30個，中位數為eq\f(45＋47,2)＝46；明顯樣本數據中出現次數最多的為45，故眾數為45；極差為68－12＝56.選A.答案：A4．已知變量x和y滿意關系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關．下列結論中正確的是()A．x與y正相關，x與z負相關B．x與y正相關，x與z正相關C．x與y負相關，x與z負相關D．x與y負相關，x與z正相關解析：因為y＝－0.1x＋1，x的系數為負，故x與y負相關；而y與z正相關，故x與z負相關．答案：C5．一個頻率分布表(樣本容量為30)不當心被損壞了一部分，只記得樣本中數據在[20,60)上的頻率為0.8，則估計樣本在[40,50)，[50,60)內的數據個數為()A．19 B．17C．16 D．15解析：由題意得樣本數據在[20,60)內的頻數為30×0.8＝24，則樣本在[40,50)和[50,60)內的數據個數之和為24－4－5＝15，故選D.答案：D6．某校為了探討“學生的性別”和“對待某一活動的支持看法”是否有關，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗，經計算K2＝7.069，則認為“學生性別與支持活動有關”的犯錯誤的概率不超過()A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%附：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解析：利用臨界值表推斷．因為7.069>6.635，所以至少有99%的把握認為“學生性別與支持活動有關系”，即認為“學生性別與支持活動有關系”出錯的概率不超過1%，故選B.答案：B7．某班的全體學生參與英語測試，成果的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是()A．45 B．50C．55 D．60解析：由頻率分布直方圖可知，低于60分的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以該班的學生人數為eq\f(15,0.3)＝50.答案：B8．由觀測的樣本數據算得變量x與y滿意線性回來方程eq\o(y,\s\up12(^))＝0.6x－0.5，已知樣本平均數eq\x\to(x)＝5，則樣本平均數eq\x\to(y)的值為()A．0.5 B．1.5C．2.5 D．3.5解析：回來直線必經過樣本中心點，于是有eq\x\to(y)＝0.6×eq\x\to(x)－0.5＝0.6×5－0.5＝2.5，故選C.答案：C9．某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：單價x(元)456789銷量y(件)908483807568由表中數據，求得線性回來方程eq\o(y,\s\up12(^))＝－4x＋eq\o(a,\s\up12(^))，若在這些樣本點中任取一點，則它在回來直線左下方的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：由表中數據得eq\x\to(x)＝6.5，eq\x\to(y)＝80.由(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在直線eq\o(y,\s\up12(^))＝－4x＋eq\o(a,\s\up12(^))上，得eq\o(a,\s\up12(^))＝106.即線性回來方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝－4x＋106.經過計算只有(5,84)和(9,68)在直線的下方，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：B10．(2024·濟寧模擬)某班主任對全班50名學生進行了作業量的調查，數據如下表：認為作業量大認為作業量不大總計男生18927女生81523總計262450若推斷“學生的性別與認為作業量大有關”，則這種推斷犯錯誤的概率不超過()A．0.01 B．0.025C．0.10 D．0.05解析：K2＝eq\f(50×18×15－8×92,26×24×27×23)≈5.059>5.024，因為P(K2>5.024)＝0.025，所以這種推斷犯錯誤的概率不超過0.025.答案：B11．一組數據共有7個數，記得其中有10,2,5,2,4,2，還有一個數沒記清，但知道這組數的平均數、中位數、眾數依次成等差數列，這個數的全部可能值的和為()A．9 B．3C．17 D．－11解析：設這個數為x，則平均數為eq\f(25＋x,7)，眾數為2，若x≤2，則中位數為2，此時4＝eq\f(25＋x,7)＋2，x＝－11；若2<x<4，則中位數為x，此時2x＝eq\f(25＋x,7)＋2，x＝3；若x≥4，則中位數為4,2×4＝eq\f(25＋x,7)＋2，x＝17，全部可能值為－11,3,17，故其和為－11＋3＋17＝9.答案：A12．(2024·廣州模擬)如圖是民航部門統計的2024年春運期間十二個城市售出的來回機票的平均價格以及相比去年同期改變幅度的數據統計圖表，依據圖表，下面敘述不正確的是()A．深圳的改變幅度最小，北京的平均價格最高B．深圳和廈門的春運期間來回機票價格同去年相比有所下降C．平均價格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州D．平均價格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門解析：由圖可知深圳對應的小黑點最接近0%，故改變幅度最小，北京對應的條形圖最高，則北京的平均價格最高，故A正確；由圖可知深圳和廈門對應的小黑點在0%以下，故深圳和廈門的價格同去年相比有所下降，故B正確；由圖可知條形圖由高到低居于前三位的城市為北京、深圳和廣州，故C正確；由圖可知平均價格的漲幅由高到低分別為天津、西安和南京，故D錯誤．選D.答案：D二、填空題13.如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各3名同學在期末考試中的數學成果，則方差較小的那組同學成果的方差為________．解析：由題中莖葉圖可得甲、乙兩組同學成果的平均數都是92，方差分別是eq\f(32,3)，eq\f(14,3)，所以方差較小的那組同學成果的方差是eq\f(14,3).答案：eq\f(14,3)14．某校三個年級共有24個班，學校為了了解同學們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現用系統抽樣方法，抽取4個班進行調查，若抽到的最小編號為3，則抽取的最大編號為________．解析：系統抽樣的抽取間隔為eq\f(24,4)＝6，若抽到的最小編號為3，則抽取到的最大編號為6×3＋3＝21.答案：2115．(2024·石家莊模擬)為了推斷中學三年級學生選修文理科是否與性別有關，現隨機抽取50名學生，得到2×2列聯表：理科文科總計男131023女72027總計203050已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.依據表中數據，得到K2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844，則認為選修文理科與性別有關系出錯的可能性約為________．解析：由K2＝4.844＞3.841.故認為選修文理科與性別有關系出錯的可能性約為5%.答案：5%16．(2024·濰坊模擬)2024年11月某校高三2000名同學參與了一次數學調研測試，利用簡潔隨機抽樣從中抽取了部分同學的成果進行統計分析，由于工作人員的失誤，學生成果分析的莖葉圖和頻率分布直方圖均受到不同程序的破壞，但可見部分信息如圖所示，則總體中分數在[80,90)內的人數為__________．解析：由莖葉圖可知分數在[50,60)內的頻數為2，由頻率分布直方圖可知，分數在[50,60)內的頻率為10×0.008＝0.08，所以樣本容量為n＝eq\f(2,0.08)＝25.由莖葉圖可得，分數在[60,70)內的頻數為7，分數在[70,80)內的頻數為10.由頻率分布直方圖可知，分數在[90,100)和[50,60)內的頻率相等，所以頻數也相等，故分數在[90,100)內的頻數為2.所以分數在[80,90)內的頻數為25－(2＋7＋10＋2)＝4，對應的頻率為eq\f(4,25)＝0.16.所以總體中分數在[80,90)內的人數為2000×0.16＝320.答案：320B組大題規范練1．某制造商3月生產了一批乒乓球，隨機抽取100個進行檢查，測得每個球的直徑(單位：mm)，將數據進行分組，得到如下頻率分布表：分組頻數頻率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合計100(1)將頻率分布表補充完整(結果保留兩位小數)，并畫出頻率分布直方圖；(2)將頻率作為概率，已知標準乒乓球的直徑為40.00mm，試求這批乒乓球的直徑誤差不超過0.03mm的概率；(3)統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值(例如區間[39,99,40,01)的中點值是40.00)作為代表，據此估計這批乒乓球直徑的平均值(結果保留兩位小數)．解析：(1)頻率分布表如下：分組頻數頻率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)200.20[39.99,40.01)500.50[40.01,40.03]200.20合計1001頻率分布直方圖如圖所示：(2)誤差不超過0.03mm，即直徑落在[39.97,40.03]內，其概率為0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)這批乒乓球直徑的平均值大約為39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．2．在中學生綜合素養評價某個維度的測評中，分“優秀、合格、尚待改進”三個等級進行學生互評，某校高二年級有男生500人，女生400人，為了了解性別對維度測評結果的影響，采納分層抽樣方法從高二年級抽取了45名學生的測評結果，并作出頻率統計表如下：表一：等級優秀合格尚待改進頻數15x5表二：等級優秀合格尚待改進頻數153y(1)計算x，y的值；(2)由表一、表二中統計數據完成2×2列聯表，并推斷是否有90%的把握認為“測評結果優秀與性別有關”．男生女生總計優秀非優秀總計解析：(1)設從高二年級男生中抽出m人，則eq\f(m,500)＝eq\f(45,500＋400)，m＝25，從高二年級女生中應抽出的人數為45－25＝20，故表一為男生數據，表二為女生數據，所以x＝25－15－5＝5，y＝20－15－3＝2.(2)2×2列聯表如下：男生女生總計優秀151530非優秀10515總計252045因為K2＝eq\f(45×15×5－15×102,30×15×25×20)＝eq\f(45×152×52,30×15×25×20)＝eq\f(9,8)＝1.125＜2.706，所以沒有90%的把握認為“測評結果優秀與性別有關”．3．下表是近幾屆奧運會中國代表團獲得的金牌數之和y(從26屆算起，不包括之前已獲得的金牌數)隨時間x改變的數據.時間x(屆)2627282930金牌數之和y(枚)164476127165作出散點圖如圖所示．由圖可以看出，金牌數之和y與時間x之間存在線性相關關系．(1)求y關于x的線性回來方程；(2)預料第32屆中國代表團獲得的金牌數之和為多少？(3)現已知第31屆中國代表團實際所獲的金牌數為26，求殘差eq\o(e,\s\up12(^)).參考數據：eq\x\to(x)＝28，eq\x\to(y)＝85.6，eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝381，eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2＝10.附：對于一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回來直線eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))的斜率和截