2.3.2兩點間的距離公式教學設計教學內容兩點間的距離公式.本節課地位本節課節選自人教社普通高中教科書《數學》（A版）選擇性必修第一冊第二章2.3.2兩點間的距離公式，距離問題是歐氏幾何的基本問題之一，歐式幾何中把兩點間線段的長度定義為距離，兩點間的距離公式是平面解析幾何中刻畫距離的基本公式，它在平面解析幾何的學習中具有基礎的地位，是幾何圖形代數化的起點和重要工具，點到直線的距離公式的獲得，圓、橢圓、雙曲線、拋物線方程的建立等都是以此為基礎的.思想方法學科素養本節內容是在直角坐標系下，利用代數方法解決平面幾何問題的初步基礎，是溝通“數”與“形”、建立解析幾何理論的基礎，兩點間的距離公式是解析法巨大作用的初步體現.課本上首先用向量方法得出平面上兩點間的距離公式，之后設置問題引導學生思考兩點間的距離公式是否可以使用勾股定理來解決，使學生了解推導兩點間距離公式的不同方法，并且能夠評價對不同方法的體會.運用坐標法解決平面幾何問題主要是培養學生數形結合的數學思想，幫助學生體會建系的方法不是唯一的，但計算結果都是一致的，在解決問題時選擇最方便的建系方法即可.將坐標語言的表述應用于平面幾何問題有助于培養學生的直觀想象、數學運算素養，通過對平面幾何問題的解決，使得學生首先會用原理、公式，并通過練習學生達到熟練掌握運算方法、技巧的能力.本節內容的探究、應用等過程，滲透了數形結合、分類討論等數學基本思想方法，對發展學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等素養起著重要的推動作用.教學目標1.經歷兩點間距離公式的推導過程，體會向量法和坐標法的運用，深入理解兩點間的距離公式，提高邏輯推理，數學運算素養.2.通過用坐標法將幾何問題代數化，明確建系的本質，體會數形結合的思想方法，提高邏輯推理，直觀想象素養.學習目標通過自主探究，利用向量模長推導兩點間距離公式；通過合作互助，利用構造直角三角形推導兩點間距離公式，并進行比較。培養邏輯推理、數學運算素養。通過例題與練習，達到對兩點間距離公式的初步應用。通過用“坐標法”證明平行四邊形的勾股定理，將幾何問題代數化，歸納出解決平面幾何問題的基本步驟，明確建系的本質，體會數形結合的思想方法。重點與難點1.教學重點：平面上兩點間距離公式的推導過程及應用.2.教學難點：運用坐標法證明簡單的平面幾何問題.教學過程引導語：我們知道，在各種幾何量中，線段的長度是最基本的.所以，在解析幾何中，最基本的公式自然是用平面內兩點的坐標表示這兩點間距離的公式.下面我們就來研究這個公式.【環節一】提出問題，探究公式圖1【問題1】如圖1，已知平面內兩點P1x1,y圖1【預設】方法一：向量法——模長公式在學習向量及其運算的坐標表示時，定義有向線段P1P2,利用平面向量的模長公式求P1P2因此，P1x1方法二：幾何法——勾股定理圖2學習平面幾何時，我們往往通過構造直角三角形，利用勾股定理求線段的長度.基于點坐標的意義，構造恰當的直角三角形來推導兩點間的距離公式.圖2（1）若直線P1P2平行于x若直線P1P2平行于y（2）若直線P1P2在x若直線P1P2在y圖3（3）若直線P1P2不與坐標軸平行(垂直圖3點A的坐標為x2P1A=則P1用勾股定理推導兩點間距離公式需要分情況討論，三種情況下的公式是一致的.【追問1】原點O0，0與任一點Px,y【預設】OP【追問2】此公式與兩點的先后順序有關嗎？【預設】此公式與兩點的先后順序無關.【追問3】能否用文字語言表述兩點間的距離公式？【預設】兩點間的距離等于這兩點橫縱坐標差的平方和的算術平方根.設計意圖：提出問題讓學生自由思考解決，讓課堂更有活力.學生已經學過向量及其運算的坐標表示，這里已知了兩點的坐標，聯系向量知識不難得出兩點間的距離公式.幾何法中對于一般的情形，學生容易想到構造直角三角形利用勾股定理解決問題，然而可能忽略點P1【環節二】初步應用公式例3：已知點A?1,2,B2,7，在x軸上求一點P，使PA分析：到兩點距離相等的點的軌跡是線段的垂直平分線所在的直線，該軌跡與x軸交點的即為點.由題可知，到點A和點B距離相等的動點M的軌跡滿足M|MA設點Mx,y，則MA=x+1由已知MA=MB建立點M3則動點M與x軸交點的坐標即為點P,3x?所以所求點為P1,0，且PA設計意圖：通過設點P的坐標，借助兩點距離公式建立關于P點橫坐標的方程，通過解方程來解決問題.完成課后練習【環節三】通過例4歸納“坐標法”解決平面幾何問題的基本步驟例4：用坐標法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.（平行四邊形的勾股定理或廣義勾股定理）圖5分析圖5【追問1】平行四邊形的4個點是否需要設出8個不同的參數呢？如何建立平面直角坐標系使得未知量盡量少且不失一般性呢？【預設】不需要設8個不同的參數，為了方便計算，可以利用平行四邊形的對稱性等幾何性質以及讓平行四邊形的四條邊或對角線落在坐標軸上以減少參數.【追問2】建立直角坐標系解決問題，比較不同建系方法的優劣.（學生展示）【預設】可令頂點A為坐標原點，邊AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.圖6設Ba,0，Db,c圖6AC2=a+b2+c2所以，AC2+BD2=所以，AC2將代數表達轉化為幾何關系：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條領邊的平方和的兩倍.圖圖7師生總結：建立坐標系的方法很多，但在不同坐標系下的計算結果是相同的，因此在選擇坐標系時，盡量選擇有利于計算的.設計意圖：讓學生展示自己的建系方法，通過比較不同的建系方法，引導學生體會建立直角坐標系的方法不是唯一的，但不同坐標系下的計算結果是一樣的，因此選擇坐標系應讓盡可能多的點落在坐標軸上，讓參數少一些以方便計算.【追問3】你能概括用“坐標法”解決平面幾何問題的基本步驟嗎？【預設】1.建立坐標系，用圖形點的坐標表示有關的量；2.進行相關代數運算；3.把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論.圖8圖8【預設】1.取AB，2.用AB，3.代數結果“翻譯”成幾何結論.【環節四】回顧過程，小結提升知識點一：兩點間距離公式的推導與內容知識點二：兩點間距離公式的簡單應用知識點三：“坐標法”解決平面幾何問題的基本步驟設計意圖：引導學生回顧梳理本節課所學內容，對知識進行再記憶，對能力進行再提升，對存在的問題進行再答疑。作業設計1.點關于y軸的對稱點到原點的距離為（）A.2B.1C.5D.52.設點在x軸上，點在y軸上，的中點是，則（）A．5B.42C.23.求下列兩點間的距離.(1)(2)(3)4.已知平面上兩點，，則AB的最小值為（）A.1B.