高級中學名校試題PAGEPAGE1福建省廈門市2025屆高三二模試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∵，∴.故選：D.2已知向量，滿足，則（）A.0 B.2 C. D.【答案】B【解析】由得，，∵，∴，即.故選：B.3.直線被圓所截得的弦長為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，點到直線的距離，所以所求弦長為.故選：A4.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，故，∵，∴，∴故選：C5.已知數列滿足，，則的前6項和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，當時，，顯然，對于時也成立，所以，則的前6項和為.故選：C.6.已知拋物線的焦點為F，P為C上一點，M為PF的中點，原點，則的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】當點為原點時，，由對稱性不妨令點在第一象限，設點，而，則，因此，當且僅當時取等號，所以的最大值為1.故選：B7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，.∵函數在為減函數，∴，即，∵函數在為增函數，∴，即，∴.∵，，∴，∵，∴，由得，，由得，，綜上得，.故選：A.8.已知正方體的棱長為1，點P在正方體的內切球表面上運動，且滿足平面，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，正方體內切球的球心為正方體的中心，記為點，內切球半徑.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，∵平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面，故點的軌跡是平面與正方體內切球的交線，此交線為圓，記圓心為.如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，.設平面的法向量為，則，令，則，故，∴點到平面的距離為，∴圓的半徑為，由得，，∴，∴的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.是奇函數D.當時，的圖象與軸有2個交點【答案】AD【解析】由圖可知：,故，,故，由于，則，故，故A正確，B錯誤，為偶函數，故C錯誤，令，則，故，當時，此時或故D正確，故選：AD10.某校開展“強國有我，筑夢前行”主題演講比賽，共有6位男生，4位女生進入決賽.現通過抽簽決定出場順序，記事件A表示“第一位出場的是女生”，事件B表示“第二位出場的是女生”，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】A.由題意得，，A錯誤.B.由題意得，，∴，B正確C.對于事件B可分為兩種情況：第一位出場的是男生，第二位出場的是女生；第一位出場的是女生，第二位出場的是女生，∴，∴，C正確.D.，D正確.故選：BCD.11.分別用，表示，中的最小者和最大者，記為，.若，，則（）A.B.函數有2個零點C.函數的圖象關于軸對稱D.關于的方程的所有解的乘積為【答案】ACD【解析】依題意，，當時，；當時，，則，，對于A，，A正確；對于B，，由，解得，B錯誤；對于C，，令，，函數是偶函數，C正確；對于D，由，得或，而，則，即，該方程有且僅有一個正根，或，，該方程有且僅有一個負根，且，，該方程要么無解，要么一解，要么兩個正根，且，所以關于的方程的所有解的乘積為，D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】,則，故答案為：13.在五一小長假期間，要從5人中選若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出現同一人連續值班2天，則可能的安排方法有__________種.【答案】80【解析】根據題意可知，值班的人數為2人或者3個人，若人數為2，則需要一個人值班首尾兩天，一個人值中間的那一天，故,若人數為3，則每人值一天班，故,故總的方法有，故答案為：8014.，，是同一平面內的三條平行直線，，位于兩側，與的距離為1，與的距離為2，點A，B，C分別在，，上運動.若，則面積的最小值為__________.【答案】【解析】過作于,由于,所以是中點，故則，所以，又則，故，當且僅當時，的面積的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數列的前項和為，滿足.（1）證明：數列是等比數列；（2）記數列的前項和為，求滿足的最小正整數的值.（1）證明：由，①當時，，即；當時，，②則①②得，，則，即，所以數列是等比數列，首項為1，公比為.（2）解：由（1）得，，即，則，則，因為在為增函數，則數列為遞增數列，又，，所以滿足的最小正整數的值為11.16.某工廠生產某款產品，根據質量指標值Q對產品進行等級劃分，Q小于60的產品視為不合格品，Q不小于60的產品視為合格品，其中Q不小于90的產品視為優質品.工廠為了提升產品質量，對設備進行升級.為考察設備升級后產品的質量，質檢部門對設備升級前后生產的產品進行簡單隨機抽樣，得到樣本數據，制作如下頻數表：（1）根據所給數據填寫下列2×2列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，分析產品合格與設備升級是否有關聯.不合格品件數合格品件數合計升級前升級后合計（2）以上述樣本中設備升級后的優質品頻率作為升級后產品的優質品率，質檢部門為檢查設備升級后是否正常運轉，每天從該設備生產的產品中隨機抽取10件產品并檢測.（i）記X表示抽取的10件產品中的優質品件數，求（精確到0.001）；（ii）質檢部門規定：若抽檢的10件產品中，至少出現2件優質品，則認為設備正常運轉，否則需對設備進行檢修.請根據的值解釋上述規定的合理性.附：.0.10.050.012.7063.8416.635參考數據：，，解：（1）依題意可得列聯表為：不合格品件數合格品件數合計升級前2080100升級后1090100合計30170200零假設：產品合格與設備升級沒有關聯，由列聯表可計算，依據小概率的獨立性檢驗，我們可以推斷不成立，因此可以認為產品合格與設備升級有關聯，該推斷犯錯誤的概率不超過.（2）（i）根據題意，設備升級后的優質品率為，可以認為從生產線中抽出的10件產品是否為優質品是相互獨立的，則，，所以；（ii）如果設備正常運轉，一天內抽取的10件產品中，優質品件數少于2個的概率只有，發生的概率很小，因此一旦發生這種情況，就有理由認為設備運轉異常，需對設備進行檢修，可見上述規定是合理的.17.如圖，在三棱臺中，平面平面，，，.（1）證明：；（2）當直線與平面所成的角最大時，求三棱臺的體積.（1）證明：在三棱臺中，取的中點，連接，由，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，又，則四邊形是菱形，，而平面，因此平面，又平面，所以（2）解：取中點，則，由平面平面，平面平面，平面，則平面，直線兩兩垂直，以點原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，則，，，設平面的法向量，則，取，得，設直線與平面所成的角為，，當且僅當，即時取等號，所以三棱臺的體積.18.已知雙曲線（，）的左，右頂點分別為，，過C的右焦點的直線與的右支交于兩點.當與軸垂直時，.（1）求C的方程；（2）直線，與直線的交點分別為，為的中點.（i）求的最小值；（ii）證明：點關于直線對稱的點在上.解：（1）對雙曲線，令，得，∴當l與x軸垂直時，.由得，即，故，∵，∴，∴C的方程為.（2）（i）①不合題意.②設，聯立得，，∴，，解得，∵，∴直線方程為：，故，同理，∴.∴當時，.（ii）由，得，∴，直線的方程為.設點關于直線的對稱點為，則，解得，，即.∵，由點在直線上可得∴點在直線上，故點關于直線對稱的點在l上.19.已知函數的定義域為，若在上單調遞增，則稱為“強增函數”.（1）若是“強增函數”，求的取值范圍；（2）若為“強增函數”，且.當時，比較與的大小，并說明理由；（3）已知，，，.證明：.參考結論：當時，.解：（1）設，則，由題