高級中學名校試題PAGEPAGE1北京市豐臺區2023-2024學年高二下學期期末數學試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，在數軸上表示出集合，如圖所示，則.故選：D.2.在一般情況下，下列各組的兩個變量呈正相關的是（）A.某商品的銷售價格與銷售量 B.汽車勻速行駛時的路程與時間C.氣溫與冷飲的銷售量 D.人的年齡與視力【答案】C【解析】對于A，某商品的銷售價格與銷售量呈負相關關系，故錯誤；對于B，汽車勻速行駛時的路程與時間是函數關系，故錯誤；對于C，氣溫與冷飲的銷售量呈正相關，故正確；對于D，人的年齡與視力呈負相關，故錯誤.故選：C.3.已知命題：，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】方法一：使用命題取否定的通法：將命題的特稱量詞改為全稱量詞，論域不變，結論改為其否定的結論.得到命題的否定是：，.方法二：命題的含義是，存在一個上的實數滿足.那么要使該結論不成立，正是要讓每個上的實數都不滿足.也就是對任意的上的實數，都有.所以的否定是：，.故選：B.4.已知復數，則它的共軛復數（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，∴，故選：B．5.下列求導運算錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A，，正確；B，，B錯；C，，C正確；D，，D正確．故選：B．6.已知復數（，），則“”是“復數對應的點在虛軸上”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】時，對應點在虛軸上，充分性成立，當復數對應的點在虛軸上，一定有，必要性成立，“”是“復數對應的點在虛軸上”的充分必要條件．故選：C．7.已知函數，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數的定義域為，且，所以為偶函數，又，令，則，所以（）在定義域上單調遞增，又，所以當時，所以在上單調遞增，因為，所以，又，所以.故選：D8.若，，且，則的最小值為（）A.1 B.3 C.9 D.10【答案】C【解析】∵，所以，當且僅當時等號成立，，所以，當且僅當時取等號，故選：C．9.在同一平面直角坐標系內，函數及其導函數的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為，則（）A.函數的最大值為1B.函數的最小值為1C.函數的最大值為1D.函數的最小值為1【答案】C【解析】AB選項，由題意可知，兩個函數圖像都在x軸上方，任何一個為導函數，則另外一個函數應該單調遞增，判斷可知，虛線部分為，實線部分為，故恒成立，故在R上單調遞增，則A，B顯然錯誤，對于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調遞增，當，，單調遞減，所以函數在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯誤.故選：C10.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次（無并列情況）．甲、乙、丙去詢問成績．老師對甲說：“你不是最差的．”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍．”對丙說：“你不是第2名．”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數為（）A.44 B.46 C.52 D.54【答案】B【解析】由題意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，有可能是第二、三、四名3種情況；再排乙，也有3種情況；余下3人有種排法，故共有種不同的情況，假如丙是第2名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況，由間接法得：滿足題意的，5名同學可能的名次排列情況種數為種，故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.的展開式中的常數項為_______．【答案】【解析】展開式通項為：；令，解得：，展開式中的常數項為.故答案為：.12.已知線性相關的兩個變量和的取值如下表，且經驗回歸方程為，則______．01342.24.34.86.7【答案】2.6【解析】由已知可得，，∴，∴.故答案為：2.6.13.某校舉辦“品味‘蔬’香，‘勤’滿校園”蔬菜種植活動．某小組種植的番茄出芽率（出芽的種子數占總種子數的百分比）為80%，出苗率（出苗的種子數占總種子數的百分比）為70%．若該小組種植的其中一顆種子已經出芽，則它出苗的概率為______．【答案】【解析】由條件概率可得所求概率為.故答案為：.14.能夠說明“設，，是任意實數．若，則”是假命題的一組實數，，的值依次為______．【答案】（答案不唯一）【解析】從不等式的性質可知中只要有一個非負，則一定成立，因此當均為負數時不等式可能不成立，如，或等，故答案為：（答案不唯一）．15.已知函數（）．給出下列四個結論：①當時，若的圖象與直線恰有三個公共點，則的取值范圍是；②若在處取得極小值，則的取值范圍是；③，曲線總存在兩條互相垂直的切線；④若存在最小值，則的取值范圍是．其中所有正確結論的序號是______．【答案】②④【解析】對于①，當時，，由，解得，則當時，的圖象與直線只有兩個公共點，而，①錯誤；對于②，函數的定義域為，求導得，當時，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當時，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當時，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當時，，函數在上單調遞減，無極值點；當時，，，，，在處取得極小值，符合題意，因此在處取得極小值時，的取值范圍是，②正確；對于③，當時，，假定曲線存在兩條互相垂直的切線，設兩條切線對應的切點分別為，切線斜率分別為，于是與矛盾，③錯誤；對于④，當時，，，即在上單調遞減，此時，而函數在的取值集合為，則在上無最小值，當時，由，得或，由，得，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，則函數在處取得極大值，在處取得極小值，而當時，，則恒成立，因此在處取得最小值，于是存在最小值時，的取值范圍是，所以所有正確結論的序號是②④.故答案為：②④三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.2024年春節期間，全國各大影院熱映《第二十條》、《飛馳人生2》、《熱辣滾燙》、《熊出沒．逆轉時空》4部優秀的影片．現有4名同學，每人選擇這4部影片中的1部觀看．（1）如果這4名同學選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？（2）如果這4名同學中的甲、乙2名同學分別選擇觀看影片《第二十條》、《飛馳人生2》，那么共有多少種不同的選擇方法？（3）如果這4名同學中恰有2名同學選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？解：（1）因為4名同學觀看的影片均不相同，所以不同的選擇方法共有種．（2）因為甲、乙2名同學選擇觀看的影片已確定，所以不同的選擇方法共有種．（3）因為恰有2名同學選擇觀看同一部影片，所以不同的選擇方法共有種．17.在上個賽季的所有比賽中，某支籃球隊的勝負情況及該球隊甲球員的上場情況如下表：勝負情況甲球員上場情況獲勝未獲勝上場40場5場未上場2場3場（1）求甲球員上場時，該球隊獲勝概率；（2）從表中該球隊未獲勝的所有場次中隨機選取3場，記為甲球員未上場的場數，求的分布列和數學期望．解：（1）設事件“甲球員上場參加比賽時，該球隊獲勝”，則．（2）表中該球隊未獲勝的場次共有場，其中甲球員上場的場次有5場，未上場的場次有3場，則的可能取值為0，1，2，3．，，．所以的分布列如下：0123所以．18.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的極值．解：（1）由已知得，所以．因為，所以切點為，故曲線在點處的切線方程為．（2）由（1）知，，．令，得，令，得或，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，．所以有極小值為，極大值為．19.隨著科技的不斷發展，人工智能技術在人類生產生活中的應用越來越廣泛．為了解用戶對，兩款人機交互軟件（以下簡稱軟件）的滿意度，某平臺隨機選取了僅使用款軟件的用戶和僅使用款軟件的用戶各人，采用打分方式進行調查，情況如下圖：根據分數把用戶的滿意度分為三個等級，如下表：分數滿意度非常滿意滿意不滿意假設用頻率估計概率，且所有用戶的打分情況相互獨立．（1）分別估計僅使用款軟件的全體用戶和僅使用款軟件的全體用戶對所使用軟件的滿意度為“非常滿意”的概率；（2）從僅使用款軟件全體用戶中隨機選取人，從僅使用款軟件的全體用戶中隨機選取人，估計這人中恰有人對所使用軟件的滿意度為“非常滿意”的概率；（3）從僅使用，兩款軟件的全體用戶中各隨機選取人進行電話回訪，記為僅使用款軟件的人中對所使用軟件的滿意度為“不滿意”的人數，為僅使用款軟件的人中對所使用軟件的滿意度為“不滿意”的人數，試比較，的方差，的大小．（結論不要求證明）解：（1）設事件“僅使用款軟件的全體用戶對所使用軟件的滿意度為‘非常滿意’”，事件“僅使用款軟件的全體用戶對所使用軟件的滿意度為‘非常滿意’”，則，；（2）設事件“這3人中恰有1人對所使用軟件的滿意度為‘非常滿意’”，則；（3）樣本中使用款軟件不滿意的概率為，使用款軟件不滿意的概率為，且隨機選取的人進行電話回訪，隨機變量服從二項分布，，即方差為,隨機變量服從二項分布，，即方差為,．20.已知函數（）．（1）若在區間上單調遞減，求的取值范圍；（2）當時，求證：．解：（1）由已知得，設，，因為在區間上單調遞減，所以時，恒成立．因為時，，所以在區間上單調遞減，所以的最大值為，即．當時，符合題意．所以．（2）當時，，，則．設，則，所以在區間上單調遞減．因為，，所以，使得，即．當變化時，，，的變化如下表：＋0－＋0－單調遞增極大值單調遞減所以的最大值為．因為，所以，，所以，故．21.已知集合（，且）．若集合，同時滿足下列兩個條件，則稱集合，具有性質．條件（1）：，，且，都至少含有兩個元素；條件（2）：對任意不相等的，，都有，對任意不相等的，，都有．（1）當時，若集合，具有性質，且集合中恰有三個元素，試寫出所有的集合；（2）若集合，具有性質，且，，求證：；（3）若存在集合，具有性質，求的最大值．解：（1）所有的集合為，，；（2）記“對任意不相等的，，都有”為條件①，記“對任意不相等的，，都有”為條件②．由條件②得．由，和條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件①得，即．由條件②得，與矛盾，所以，即（3）的最大值為32．證明如下：一方面，當時，可構造集合，具有性質；另一方面，當時，可證明不存在具有性質的集合，．證明如下：由（2）知，，且當，時，，此時不存在具有性質的集合，．由條件①得2，3不能同時屬于集合．下面討論2和3一個屬于集合，一個屬于集合的情況：（1）當，時，由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即，．因為，，，，由條件②得，，即，．由條件①得，，即，．由條件②得，與矛盾，此時不存在具有性質的集合，．（2）當，時，由條件②得4，5