第7章相交線與平行線【3大考點15種題型】【人教版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點1相交線】 1【題型1對頂角的概念與性質的應用】 2【題型2利用垂直的定義求角度】 3【題型3垂線的畫法】 4【題型4利用垂線、垂線段的性質解題】 5【題型5認識“三線八角”】 6【題型6相交線的規律探究問題】 7【考點2平行線】 8【題型7平行線的畫法】 9【題型8平行線的三種判定方法】 10【題型9平行線性質的應用】 11【題型10平行線之間的距離】 12【題型11平行線的判定和性質的綜合應用】 13【題型12平行線間多折點角度問題的探究】 15【考點3平移】 16【題型13生活中的平移現象】 16【題型14平移作圖】 17【題型15應用平移的性質解決實際問題】 19【考點1相交線】（1）對頂角及其性質兩條直線相交所成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊的兩個角叫作對頂角.兩直線相交，對頂角相等（2）垂線如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么就稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足.（3）垂線段最短過直線l外一點P作l的重線，垂足為O，線段PO叫作點P到直線的垂線段.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.在同一平面內，過一點有且只有一條直線與己知直線垂直.（4）點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離.（5）同位角、內錯角、同旁內角兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線同側，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角.兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的兩旁，這樣的一對角叫做內錯角.兩條直線被第三條直線所截兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角.【題型1對頂角的概念與性質的應用】【例1】（23-24七年級·湖北宜昌·期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=86°，求∠BOD的度數；(2)若∠EOC:∠EOD=4:5，求∠BOD的度數．【變式1-1】（23-24七年級·廣東東莞·期中）如圖，∠1與∠2是對頂角的為（

）A． B．C． D．【變式1-2】（23-24七年級·上海·期中）已知，直線AB和直線CD交于點O，∠BOD是它的鄰補角的3倍，則直線AB與CD的夾角是度．【變式1-3】（23-24七年級·河南周口·階段練習）如圖，直線AB和CD相交于點O，OE把∠AOC分成兩部分，且∠AOE:∠EOC=3:5，OF平分∠BOE．(1)若∠BOD=72°，求∠BOE．(2)若∠BOF=2∠AOE+15°，求∠COF．【題型2利用垂直的定義求角度】【例2】（23-24七年級·陜西咸陽·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，則∠BOC的度數為【變式2-1】（23-24七年級·全國·期末）如圖，∠1=12°，OA⊥OC，點B、O、D在同一直線上，則∠2=【變式2-2】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·期中）已知：直線AB與直線CD交于點O，過點O作OE⊥AB．(1)如圖1，∠BOC=2∠AOC，求∠COE的度數；(2)如圖2，在（1）的條件下，過點O作OF⊥CD，射線OM平分∠BOD，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有與∠AOC互余的角．【變式2-3】（23-24七年級·全國·期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE⊥CD且OE平分∠BOF．(1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度數．(2)證明：OC是∠AOF的平分線．【題型3垂線的畫法】【例3】（23-24七年級·全國·課后作業）在數學課上，同學們在練習過點B作線段AC所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，請你數一數，錯誤的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-1】（23-24七年級·福建寧德·期中）過點P向線段AB所在直線畫垂線段，畫圖正確的是（

）A．B．C． D．【變式3-2】（23-24七年級·貴州黔南·期末）過點P作直線l的垂線CD，下面三角板的擺放正確的是（）A． B． C． D．【變式3-3】（23-24七年級·山東濟南·期末）如圖，在紙片上有一直線l，點A在直線l上，過點A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對C．兩人都對 D．兩人都不對【題型4利用垂線、垂線段的性質解題】【例4】（23-24七年級·全國·單元測試）下列說法正確的是（

）A．過線段外一點不一定能作出它的垂線B．過直線m外一點A和直線m上一點B可畫一條直線與m垂直C．只能過直線外一點畫一條直線和這條直線垂直D．過任意一點均可作一條直線的垂線【變式4-1】（23-24七年級·貴州六盤水·期中）六盤水市2023年初中畢業生體育考試實行綜合性結構評價，現目標效果測試項目第一類：立定跳遠（男、女），分值5分．體育課上，老師正在給準備參加體育中考的學生模擬測試立定跳遠，成績的示意圖如圖，即PN的長為麗麗同學的跳遠成績，其依據是（

）A．兩點之間線段最短 B．兩點確定一條直線C．垂線段最短 D．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【變式4-2】（23-24七年級·廣東廣州·開學考試）如圖是某同學在體育課上立定跳遠測試留下的腳印，則她的跳遠成績為米．【變式4-3】（23-24七年級·貴州貴陽·期中）如圖，A，B，C，D四點在直線l上，點M在直線l外，MC⊥l，若MA=5cm,MB=4cm,A．2cm B．3cm C．4cm【題型5認識“三線八角”】【例5】（23-24七年級·廣東潮州·期末）英文字母中，存在同位角、內錯角、同旁內角（不考慮字母寬度），下列字母中含同旁內角最多的是（

）A． B． C． D．【變式5-1】（23-24七年級·寧夏銀川·期中）如圖，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了？其實沒有，這是光的折射現象，光從空氣中射入水中，光的傳播方向發生了改變．(1)請指出∠1的同旁內角與∠2的內錯角；(2)若測得∠AOE=65°，∠BOM=145°，從水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折彎了多少度？請說明理由．【變式5-2】（23-24七年級·廣東珠海·期末）2024年香洲區舉辦了第六屆風箏節．如圖所示的風箏骨架中，與∠3構成同旁內角的是（）A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5【變式5-3】（23-24七年級·上海楊浦·期中）如圖，∠1和∠2是直線與直線被直線所截得到的角．∠1的內錯角有個，∠3的同位角有個．【題型6相交線的規律探究問題】【例6】（23-24七年級·貴州黔東南·期末）如圖，2條直線相交有1個交點，3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點…按這樣的規律若n條直線相交交點最多有28個，則此時n的值為（）A．18 B．10 C．8 D．7【變式6-1】（23-24七年級·全國·單元測試）同一平面內1條直線把平面分成兩個部分（或區域）；2條直線最多可將平面分成幾個部分？3條直線最多可將平面分成幾個部分？4條直線最多可將平面分成幾個部分？請分別畫出圖來．由此可知n條直線最多可將平面分成幾個部分？【變式6-2】（23-24七年級·貴州黔東南·階段練習）觀察以下圖形，尋找對頂角及鄰補角．

(1)圖（1）中共有對對頂角，對鄰補角．(2)圖（2）中共有對對頂角，對鄰補角．(3)圖（3）中共有對對頂角，對鄰補角．(4)根據上面的規律，直線條數與對頂角對數之間的關系為∶若n條直線相交于一點，則可形成對對頂角，對鄰補角．(5)若100條直線相交于一點，則可形成多少對對頂角？多少對鄰補角？【變式6-3】（23-24七年級·全國·課后作業）觀察下面表格，并閱讀相關文字：示意圖

…相交情況1條直線與2條直線相交1條直線與3條直線相交1條直線與4條直線相交…同位角對數（2×1×2）對（2×2×3）對（2×3×4）對…內錯角對數（1×2）對（2×3）對（3×4）對…同旁內角對數（1×2）對（2×3）對（3×4）對…則由上述規律可知：(1)1條直線與6條直線相交產生___________對同位角，___________對內錯角；(2)1條直線與n條直線相交產生___________對同位角，___________對內錯角；(3)利用（2）中的結論，解決下列問題：三條直線兩兩相交（不交于同一點），可構成同位角的對數是（）A．12對

B．8對

C．6對

D．4對【考點2平行線】（1）平行線在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線b互相平行，記作“a∥b”（2）平行線的判定①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.（內錯角相等，兩直線平行）.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，則這兩條直線平行.（同旁內角互補，兩直線平行）.（3）平行線的性質①兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.②兩條平行線被第三條直線所截內錯角相等.簡單說成兩直線平行內錯角相等.③兩條平行線被第三條直線所截同旁內角互補.簡單說成兩直線平行同旁內角互補.【題型7平行線的畫法】【例7】（23-24七年級·北京東城·期末）如圖，平面內有兩條直線l1，l2點A在直線l1上，按要求畫圖并填空：（1）過點A畫l2的垂線段AB，垂足為點B；（2）過點A畫直線AC⊥l1，交直線l2于點C；（3）過點A畫直線AD∥l2；（4）若AB＝12，AC＝13，則點A到直線l2的距離等于．【變式7-1】（23-24七年級·湖南岳陽·期末）如圖，利用三角尺和直尺可以準確的畫出直線AB∥CD，請將下面弄亂的操作步驟按正確的順序排列好應是（

）①沿直尺下移三角尺；

②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③沿三角尺的邊作出直線CD；④作直線AB，并用三角尺的一條邊貼住直線AB．A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②【變式7-2】（23-24七年級·江西上饒·期末）如圖，平面上有一條直線AB以及AB外一點P，請你只用一塊含30°角的三角板經過P點畫直線CD使CD∥AB，簡單說明你的畫法．

【變式7-3】（23-24七年級·河北石家莊·期中）數學課上，老師要求同學們利用三角板畫出兩條平行線，老師展示了甲、乙兩位同學的畫法如下：甲的畫法：①將含30°角的三角尺的最長邊與直線a重合，另一塊三角尺最長邊與含30°角的三角尺的最短邊緊貼；②將含30°角的三角尺沿貼合邊平移一段距離，畫出最長邊所在直線b，則b∥a．乙的畫法：①將含30°角三角尺的最長邊與直線a重合，用虛線作出一條最短邊所在直線；②再次將含30°角三角尺最短邊與虛線重合，畫出最長邊所在直線b，則b∥a．請你判斷兩人的作圖的正確性（

）A．甲正確，乙錯誤 B．甲錯誤，乙正確 C．兩人都正確 D．兩人都錯誤【題型8平行線的三種判定方法】【例8】（23-24七年級·陜西西安·期中）如圖所示，△ABC與△DEF均為直角三角形，其中∠C=∠FDE=90°，∠E=45°，∠B=60°，點D在邊AC上，∠ADF=15°，請判斷兩條斜邊EF與【變式8-1】（23-24七年級·內蒙古包頭·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，在BC的右側作∠BCD=55°，試說明：【變式8-2】（23-24七年級·四川成都·階段練習）如圖，已知△ABC，∠ACB=80°，點E，F分別在AB，AC上，ED交AC于點G，交BC的延長線于點D，∠FEG=32°，∠CGD=48°，求證：EF∥BC．【變式8-3】（23-24七年級·遼寧鐵嶺·期中）如圖，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，BE與CF平行嗎？【題型9平行線性質的應用】【例9】（23-24七年級·廣西貴港·期末）在兩千多年前，我們的先祖就運用杠桿原理發明了木桿秤，學名叫作戥子，如圖，這是一桿古秤在稱物時的狀態，已知∠1=102°，則∠2的度數為（

）A．102° B．72° C．78° D．90°【變式9-1】（23-24七年級·山西朔州·期末）如圖，在一條公路的兩側鋪設了兩條平行管道AB和CD，如果管道AB與縱向聯通管道的夾角∠A=100°，那么管道CD與縱向聯通管道的夾角∠C的度數等于．【變式9-2】（23-24七年級·浙江寧波·期末）光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發生折射．由于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如下圖是從玻璃杯底部發出的一束平行光線經過水面折射形成的光線示意圖，水面與玻璃杯的底面平行．若∠1=45°，∠2=120°，則∠3+∠4的度數是（）A．95° B．100° C．105° D．120°【變式9-3】（23-24七年級·新疆喀什·期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉彎后，仍在原來的方向上平行前進，那么這兩次轉彎的角度可以是（

）A．先右轉80°，再左轉100° B．先左轉80°，再右轉80°C．先左轉80°，再右轉100° D．先右轉80°，再右轉80°【題型10平行線之間的距離】【例10】（23-24七年級·上海楊浦·期末）閱讀、填空并將說理過程補充完整：如圖，已知直線l1∥l2，點A、B在直線l1上，點C、D在直線l2上，AD與BC交于點

解：作AH1⊥l2，垂足為H又因為l1所以______（平行線間距離的意義）．（完成以下說理過程）【變式10-1】（23-24七年級·福建廈門·期末）如圖，直線l1∥l2，點A，B在l1上，點C，DA．AC B．AE C．AD D．BE【變式10-2】（23-24七年級·上海長寧·期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，連接AC、BD，已知梯形ABCD的面積為16，△BDC的面積為12，那么△ADC的面積【變式10-3】（23-24七年級·湖南郴州·期末）如圖，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，圖中和△EBD面積相等的三角形有以下哪些三角形：①△EDA；②△EDC；③△ABE；④△ABD；⑤△ABC．A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤【題型11平行線的判定和性質的綜合應用】【例11】（23-24七年級·陜西咸陽·期末）如圖，在四邊形FEBO中，H為OF上一點，C為BO上一點，連接BH，CH，若∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°．(1)求證：EF∥BH；(2)若BH平分∠EBO，EF⊥OF，∠HCO=64°，求∠CHO的度數．【變式11-1】（23-24七年級·全國·期末）如圖，已知點F,E在BC上，點G在AB上，BA⊥AC于點A，ED⊥AC于點D，若∠1=∠2,∠AEB=110°，求∠GFE的度數．

解：∵BA⊥AC,ED⊥AC（

），∴∠BAC=90°,∠EDC=°（

），∴ABDE（

），∴∠2=∠BAE（（

），又∵∠1=∠2已知，∴∠1=∠BAE（

），∴GF∥（

），∴∠AEB+∠GFE=（

），∵∠AEB=110°（已知），∴∠GFE=．【變式11-2】（23-24七年級·北京西城·期中）如圖是一種躺椅及其結構示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點G和點D，AB與DM交于點N，∠AOE=∠BNM．(1)請對OE∥(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數．【變式11-3】（23-24七年級·寧夏石嘴山·期中）如圖，已知AP∥DM，點B，C分別是射線AP，DM上的點，∠D=∠ABC=60°，AM，AN分別平分∠BAC和∠CAD．(1)求∠MAN的度數；(2)若∠AND=∠ACB，求∠ACB的度數．【題型12平行線間多折點角度問題的探究】【例12】（23-24七年級·全國·期末）直線AB∥CD，P為直線AB上方一點，連接PA、PD．(1)如圖1，若∠A=100°，∠D=130°，求(2)如圖1，設∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度數（用含α、(3)如圖2，N為∠PAB內部一點，∠BAN=3∠PAN，連接CN，若∠DCN=3∠PCN，求∠APC∠ANC【變式12-1】（23-24七年級·遼寧鐵嶺·期末）已知直線AB∥CD，點E在AB、CD之間，點P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、(1)如圖1，直接寫出∠APE、∠PEQ、∠CQE之間的數量關系；(2)如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當∠PEQ=150°時，求出∠PFQ的度數；(3)如圖3，若點E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長線交PF于點F，當∠PEQ=60°時，直接寫出∠PFQ的度數．【變式12-2】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·期中）已知：BE平分∠ABD，∠BED=∠DBE（本題不能直接用三角形內角和）(1)如圖1，求證：AB∥(2)如圖2，點K、F分別在BE、BD的延長線上，點C在線段DE上，且滿足∠FCD=∠FCK，求證：(3)如圖3，在（2）的條件下，∠F?∠K=15°，且DN平分∠CDF，求∠FND的度數．【變式12-3】（23-24七年級·全國·期末）如圖，已知AB∥CD，∠B=36°，∠D=108°，點E、F為AB、(1)如圖1，若∠E=90°，求∠F的度數；(2)如圖2，請探索∠F?∠E的度數是否為定值，請說明理由；(3)如圖3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數．【考點3平移】【題型13生活中的平移現象】【例13】（23-24七年級·湖南長沙·期末）如圖，用一個定滑輪帶動重物上升，則重物上升運動過程的現象是.(填“平移”或“旋轉”)【變式13-1】（23-24七年級·浙江溫州·期中）下列運動屬于平移的是（

）A．冷水加熱過程中小氣泡變成大氣泡 B．乘電梯從一樓到十樓C．隨風飄動的樹葉在空中的運動 D．鐘表上走動的分針【變式13-2】（23-24七年級·廣西河池·期中）現實世界中，平移現象無處不在，中國的方塊字中有些也具有平移性，下列漢字是由平移構成的是（

）A．朋 B．磊 C．森 D．回【變式13-3】（23-24七年級·河南焦作·期中）在圖示的汽車標志圖案中，能用平移變換（不考慮顏色）來分析其形成過程的圖案有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【題型14平移作圖】【例14】（23-24七年級·山東濱州·期末）如圖，圖形在方格（小正方形的邊長為1個單位）上沿著網格線平移，規定：若沿水平方向平移的數量為a（向右為正，向左為負，平移a個單位），沿豎直方向平移的數量為b（向上為正，向下為負，平移b個單位），則把有序數對a,b叫做這一平移的“平移量”．例如：點A按“平移量”1,3（向右平移1個單位，向上平移3個單位）可平移到點B；點B按“平移量”?1,?3可平移到點A．

(1)填空：點B按“平移量”（________，________）可平移到點C；(2)若把圖中三角形M依次按“平移量”3,?4、?1,1平移得到三角形①請在圖中畫出三角形N（在答題卡上畫圖并標注N）；②觀察三角形N的位置，其實三角形M也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形N．【變式14-1】（23-24七年級·浙江·期末）如圖，已知在邊長為1的方格紙中，點A，B，C，A1(1)將三角形ABC經過平移后得到三角形A1B1C1，若點A(2)將三角形ABC先向上平移__________個單位，再向__________平移__________個單位得到三角形A1【變式14-2】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·期中）在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形（頂點是網格線的交點的三角形）ABC在如圖所示的位置．(1)將△ABC向右平移4個單位，向下平移3個單位得△A′B(2)若連接BB′，CC(3)△ABC的面積為．【變式14-3】（23-24七年級·浙江金華·期末）如圖是正在進行的俄羅斯方塊游戲（網格由邊長為1個單位長度的小正方形組成），現出現一“T”形方塊向下運動．

(1)若該“T”形方塊向下平移了5個單位長度，請在圖中畫出平移后的圖形（并畫上陰影）．(2)為了使所有圖案消除，在（1）的平移基礎上還需進行怎樣的平移？（俄羅斯方塊游戲規則：①當方塊排列成完整的一行，該行便可消除；②方塊在下落過程中，若碰到下方已有的方塊便不可移動．）【題型15應用平移的性質解決實際問題】【例15】（23-24七年級·湖南長沙·期末）慶慶是一位特別喜歡學習數學的小朋友，周末這天他做完作業，在手機上找了一款數學相關的益智類游戲《推箱子》，要求將圖中編號為①②③的三個箱子分別推進圖中“回”字的位置．如果慶慶要想一次性通關，且盡可能讓自己步數少，應該先推()號箱子，再推()號箱子，最后推()號箱子．【變式15-1】（23-24七年級·北京·階段練習）某數學興趣小組開展動手操作活動，設計了如圖所示的三種圖形，現計劃用鐵絲按照圖形制作相應的造型，則所用鐵絲的長度l甲、l【變式15-2】（23-24七年級·重慶九龍坡·期中）某酒店準備進行裝修，把樓梯鋪上地毯．已知樓梯的寬度是2米，樓梯的總長度為8米，總高度為6米，其側面如圖所示．已知這種地毯每平方米的售價是50元．請你幫老板算下，購買地毯至少需要花費元．【變式15-3】（23-24七年級·河南南陽·期末）如圖所示，某公園里有一處長方形風景欣賞區ABCD，AB長50米，BC寬25米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路(圖中非陰影部分)，小明同學在假期沿著小路的中間行走(圖中虛線)，小路寬1米，則小明同學所走的路徑長為（

）A．98米 B．100米 C．123米 D．75米

第7章相交線與平行線【3大考點15種題型】【人教版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點1相交線】 1【題型1對頂角的概念與性質的應用】 2【題型2利用垂直的定義求角度】 4【題型3垂線的畫法】 8【題型4利用垂線、垂線段的性質解題】 10【題型5認識“三線八角”】 12【題型6相交線的規律探究問題】 15【考點2平行線】 18【題型7平行線的畫法】 19【題型8平行線的三種判定方法】 22【題型9平行線性質的應用】 24【題型10平行線之間的距離】 27【題型11平行線的判定和性質的綜合應用】 30【題型12平行線間多折點角度問題的探究】 34【考點3平移】 43【題型13生活中的平移現象】 43【題型14平移作圖】 45【題型15應用平移的性質解決實際問題】 49【考點1相交線】（1）對頂角及其性質兩條直線相交所成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊的兩個角叫作對頂角.兩直線相交，對頂角相等（2）垂線如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么就稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足.（3）垂線段最短過直線l外一點P作l的重線，垂足為O，線段PO叫作點P到直線的垂線段.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.在同一平面內，過一點有且只有一條直線與己知直線垂直.（4）點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離.（5）同位角、內錯角、同旁內角兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線同側，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角.兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的兩旁，這樣的一對角叫做內錯角.兩條直線被第三條直線所截兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角.【題型1對頂角的概念與性質的應用】【例1】（23-24七年級·湖北宜昌·期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=86°，求∠BOD的度數；(2)若∠EOC:∠EOD=4:5，求∠BOD的度數．【答案】(1)43°(2)40°．【分析】本題考查了角平分線的定義、對頂角相等、一元一次方程的應用，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）先由角平分線的定義可得∠AOC=1（2）設∠EOC=4x°，【詳解】（1）解：∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=1∴∠BOD=∠AOC=43°；（2）解：∵∠EOC:∠EOD=4:5，∴設∠EOC=4x°，根據題意得4x+5x=180，解得x=20，∴∠EOC=4x∴∠AOC=1∴∠BOD=∠AOC=40°．【變式1-1】（23-24七年級·廣東東莞·期中）如圖，∠1與∠2是對頂角的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據對頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角，由此對各選項作出判斷即可．本題考查對頂角的定義，解題的關鍵是理解對頂角的定義．【詳解】解：根據對頂角的定義可知：只有選項C是對頂角，其它都不是．故選C．【變式1-2】（23-24七年級·上海·期中）已知，直線AB和直線CD交于點O，∠BOD是它的鄰補角的3倍，則直線AB與CD的夾角是度．【答案】45【分析】本題考查了鄰補角，一元一次方程的應用，關鍵是掌握鄰補角互補．設∠BOD=3x°，則它的補角為x°，根據鄰補角互補可得3x°+x°=180°，再解方程即可．【詳解】解：設∠BOD=3x°，則它的補角為x°，由題意得：3x°+x°=180°，解得：x=45，即直線AB與CD的夾角是45度，故答案為：45．【變式1-3】（23-24七年級·河南周口·階段練習）如圖，直線AB和CD相交于點O，OE把∠AOC分成兩部分，且∠AOE:∠EOC=3:5，OF平分∠BOE．(1)若∠BOD=72°，求∠BOE．(2)若∠BOF=2∠AOE+15°，求∠COF．【答案】(1)153°(2)25°【分析】本題考查了對頂角、鄰補角，（1）利用了對頂角相等，鄰補角互補，（2）利用了角平分線的定義，鄰補角互補的性質，角的和差．（1）根據對頂角相等，可得∠AOC的度數，根據∠AOE:∠EOC=3:5，可得∠AOE，根據鄰補角，可得答案；（2）根據角平分線的定義，可得∠BOE=2∠BOF=4∠AOE+30°，根據鄰補角的關系，可得關于∠AOE的方程，求出∠AOE的度數，可得答案．【詳解】（1）由對頂角相等，得∠AOC=∠BOD=72°，由OE把∠AOC分成兩部分且∠AOE:∠EOC=3:5，得∠AOE=∠AOC×3由鄰補角，得∠BOE=180°?∠AOE=180°?27°=153°；（2）∵OF平分∠BOE，∴∠BOE=2∠BOF=4∠AOE+30°．由鄰補角，得∠BOE+∠AOE=180°，即4∠AOE+30°+∠AOE=180°，解得∠AOE=30°．∴∠EOC=50°，∠EOF=∠BOF=75°，∴∠COF=75°?50°=25°．【題型2利用垂直的定義求角度】【例2】（23-24七年級·陜西咸陽·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，則∠BOC的度數為【答案】18°或162°【分析】此題主要考查了垂線的定義，角的和差運算．結合圖形是做這類題的關鍵．根據垂直關系知∠AOC=90°，由∠AOB:∠AOC=4:5，可求∠AOB=72°，根據∠AOB與【詳解】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠AOB:∴∠AOB=72°．∠AOB的位置有兩種：一種是在∠AOC內，一種是在∠AOC外．①當在∠AOC內時，∠BOC=90°?72°=18°；②當在∠AOC外時，∠BOC=90°+72°=162°．故答案為：18°或162°．【變式2-1】（23-24七年級·全國·期末）如圖，∠1=12°，OA⊥OC，點B、O、D在同一直線上，則∠2=【答案】102【分析】本題考查了垂直的定義，求一個角的余角、補角，數形結合是解題的關鍵．根據垂直的定義可求得∠BOC，進而即可求解．【詳解】∵∠1=12°，∴∠BOC=90°?∠1=78°，∴∠2=180°?∠BOC=102°，故答案為：102．【變式2-2】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·期中）已知：直線AB與直線CD交于點O，過點O作OE⊥AB．(1)如圖1，∠BOC=2∠AOC，求∠COE的度數；(2)如圖2，在（1）的條件下，過點O作OF⊥CD，射線OM平分∠BOD，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有與∠AOC互余的角．【答案】(1)30°(2)∠2，∠4，∠5，∠6【分析】本題主要考查了幾何圖中角度的計算，求角的余角，角平分線的有關計算等知識．（1）先利用平角的定義以及∠BOC=2∠AOC即可得出3∠AOC=180°，進而可求出∠BOC=120°，由垂直的定義即可求出∠BOE=90°，最后根據角的和差關系即可得出答案．（2）根據互余兩角的和為90度一一計算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵∠BOC+AOC=180°，∠BOC=2∠AOC，∴3∠AOC=180°，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°，∴∠CEO=∠BOC?∠BOE=120°?90°=30°（2）解：由（1）知∠AOC=∠1=60°，∠COE=∠2=30°∵∠1+∠2=90°，∴∠1和∠2互余．∵OF⊥CD，OE⊥AB∴∠2+∠3=90°，∠4+∠5+∠6=90°，∠3+∠4=90°，∴∠3=60°，∴∠4=30°，∴∠5+∠6=60°，∵OM平分∠BOD∴∠5=∠6=30°，∴∠4+∠1=90°，∠5+∠1=90°，∠6+∠1=90°，則∠1和∠4互余，∠1和∠5互余，∠1和∠6互余，綜上：與∠AOC互余的角有∠2，∠4，∠5，∠6．【變式2-3】（23-24七年級·全國·期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE⊥CD且OE平分∠BOF．(1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度數．(2)證明：OC是∠AOF的平分線．【答案】(1)50°(2)證明見解析【分析】本題主要考查了垂線的性質，角平分線的性質及角的計算，熟練掌握垂線的性質，角平分線的性質及角的計算的方法進行計算是解決本題的關鍵．（1）根據垂線的性質可得∠DOE=90°，由∠DOB+∠EOB=90°，可得∠DOB=∠EOB+10°，即可算出∠EOB的度數，再根據角平分線的性質可得∠EOF=∠BOE的度數，再根據∠COF=90°?∠EOF代入計算即可得出答案；（2）根據角平分線的性質，可得∠EOF=∠BOE，由垂線的性質可得∠DOB+∠EOB=∠EOF+∠COF=90°，即可得出∠BOD=∠COF,∠BOD=∠AOC,∠AOC=∠COF，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵OE⊥CD，∴∠DOE=∠COE=90°，即∠DOB+∠EOB=90°，∵∠DOB=∠EOB+10°，∴∠EOB=40°，∵OE平分∠BOF，∴∠EOF=∠BOE=40°，∴∠COF=90°?∠EOF=50°；（2）解：∵OE平分∠BOF，∴∠EOF=∠BOE，∵OE⊥CD，∴∠DOB+∠EOB=∠EOF+∠COF=90°，∴∠BOD=∠COF，∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=∠COF，∴OC為∠AOF平分線．【題型3垂線的畫法】【例3】（23-24七年級·全國·課后作業）在數學課上，同學們在練習過點B作線段AC所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，請你數一數，錯誤的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】此題考查了垂線段的畫法的判斷，根據垂線段的畫法依次判斷即可．【詳解】解：四個圖形中，只有第一個圖形是過點B作線段AC所在直線的垂線段，其余均錯誤，故選：C．【變式3-1】（23-24七年級·福建寧德·期中）過點P向線段AB所在直線畫垂線段，畫圖正確的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題考查垂線段的畫法，掌握垂線段的定義是解題的關鍵．【詳解】解：對于A，過點P的直線與AB不垂直，故不合題意；對于B，垂線不過點P，故不符合題意；對于C，垂線段應為線段，而不是射線，故C不符合題意.故選D．【變式3-2】（23-24七年級·貴州黔南·期末）過點P作直線l的垂線CD，下面三角板的擺放正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了垂線，根據垂線的定義，即可解答．【詳解】解：過點P作AB的垂線CD，三角板的放法正確的是故選：A．【變式3-3】（23-24七年級·山東濟南·期末）如圖，在紙片上有一直線l，點A在直線l上，過點A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對C．兩人都對 D．兩人都不對【答案】C【分析】根據垂直的定義即可解答．【詳解】解：嘉嘉利用量角器畫90°角，可以畫垂線，方法正確；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a垂直直線l，方法正確，故選：C．【點睛】本題主要考查了作圖、垂線的定義，掌握垂直的定義是解答本題的關鍵．【題型4利用垂線、垂線段的性質解題】【例4】（23-24七年級·全國·單元測試）下列說法正確的是（

）A．過線段外一點不一定能作出它的垂線B．過直線m外一點A和直線m上一點B可畫一條直線與m垂直C．只能過直線外一點畫一條直線和這條直線垂直D．過任意一點均可作一條直線的垂線【答案】D【分析】根據垂線的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、過線段外一點一定能作出它的垂線，原說法錯誤，不符合題意；B、過直線m外一點A和直線m上一點B不一定能畫一條直線與m垂直，原說法錯誤，不符合題意；C、過任意一點都可以畫一條直線和已知直線垂直，原說法錯誤，不符合題意；D、過任意一點均可作一條直線的垂線，原說法正確，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了垂線的定義，熟知過任意一點均可作一條直線的垂線是解題的關鍵．【變式4-1】（23-24七年級·貴州六盤水·期中）六盤水市2023年初中畢業生體育考試實行綜合性結構評價，現目標效果測試項目第一類：立定跳遠（男、女），分值5分．體育課上，老師正在給準備參加體育中考的學生模擬測試立定跳遠，成績的示意圖如圖，即PN的長為麗麗同學的跳遠成績，其依據是（

）A．兩點之間線段最短 B．兩點確定一條直線C．垂線段最短 D．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】C【分析】此題主要考查了垂線段的性質，關鍵是掌握性質定理．根據垂線段的性質：垂線段最短進行解答即可．【詳解】解：PN的長為麗麗同學的跳遠成績，其依據是根據垂線段最短．故選：C．【變式4-2】（23-24七年級·廣東廣州·開學考試）如圖是某同學在體育課上立定跳遠測試留下的腳印，則她的跳遠成績為米．【答案】2.05【分析】本題考查的是點到直線的距離的定義及跳遠比賽的規則．由點到直線的距離的定義及跳遠比賽的規則做出分析和判斷．【詳解】解：根據題意以及生活常識可知，跳遠的成績為離起跳線較近的那只腳的后腳跟到起條線的距離．∵點到直線的最短距離為垂線段．∴跳遠成績為起跳線的垂線段2.05米．故答案為：2.05【變式4-3】（23-24七年級·貴州貴陽·期中）如圖，A，B，C，D四點在直線l上，點M在直線l外，MC⊥l，若MA=5cm,MB=4cm,A．2cm B．3cm C．4cm【答案】A【分析】本題主要考查了點到直線的距離，根據垂線的性質：直線外一點到這條直線的垂線段最短，結合條件進行解答即可，解題關鍵是熟練掌握點到直線的距離的定義和垂線的性質．【詳解】如圖所示：∵直線外一點到這條直線的垂線段最短，MC⊥l，∴點M到直線l的距離是垂線段MC的長度，為2cm故選：A．【題型5認識“三線八角”】【例5】（23-24七年級·廣東潮州·期末）英文字母中，存在同位角、內錯角、同旁內角（不考慮字母寬度），下列字母中含同旁內角最多的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角，同位角的邊構成“F”形，內錯角的邊構成“Z”形，同旁內角的邊構成“U”形．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角．根據同旁內角的定義進行選擇即可．【詳解】解：A．字母A中含有4對同旁內角；B．字母F中含有1對同旁內角；C．字母M中含有0對同旁內角；D．字母Z中含有0對同旁內角；故選：A【變式5-1】（23-24七年級·寧夏銀川·期中）如圖，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了？其實沒有，這是光的折射現象，光從空氣中射入水中，光的傳播方向發生了改變．(1)請指出∠1的同旁內角與∠2的內錯角；(2)若測得∠AOE=65°，∠BOM=145°，從水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折彎了多少度？請說明理由．【答案】(1)∠1的同旁內角是∠MOE，∠AOE，∠ADE；∠2的內錯角是∠MOE，∠AOE；(2)水下部分向上折彎了30度，理由見解析【分析】本題考查同旁內角，內錯角，角的計算，關鍵是掌握同旁內角，內錯角的定義，鄰補角的性質．（1）兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角，由此即可得到答案；（2）由鄰補角的性質求出∠AOM的度數，由∠MOE=∠AOE?∠AOM，即可得到答案．【詳解】（1）解：∠1的同旁內角是∠MOE，∠AOE，∠ADE；∠2的內錯角是∠MOE，∠AOE；（2）解：∵∠BOM=145°，∴∠AOM=180°?∠BOM=35°，∴∠MOE=∠AOE?∠AOM=65°?35°=30°，∴水下部分向上折彎了30度．【變式5-2】（23-24七年級·廣東珠海·期末）2024年香洲區舉辦了第六屆風箏節．如圖所示的風箏骨架中，與∠3構成同旁內角的是（）A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】本題考查的是同旁內角的定義，關鍵是知道哪兩條直線被第三條直線所截．根據同旁內角的定義解答即可，即兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內的兩角．【詳解】解：與∠3構成同旁內角的是∠1．故選：A．【變式5-3】（23-24七年級·上海楊浦·期中）如圖，∠1和∠2是直線與直線被直線所截得到的角．∠1的內錯角有個，∠3的同位角有個．【答案】a；c；d；內錯；2；4【分析】根據同位角，內錯角的定義，依次判斷，即可求解，本題考查了，同位角，內錯角，解題的額關鍵是：熟練掌握同位角，內錯角的特征．【詳解】解：如圖：設直線a與直線d相交于點A，直線b與直線c相交于點B，∠1和∠2是直線a與直線c被直線d所截得到的內錯角．∠1的內錯角是∠4和∠2，∠3的同位角是∠5，∠7，∠6，∠ABC，共有3個，故答案為：a；c；d；內錯；2；4．【題型6相交線的規律探究問題】【例6】（23-24七年級·貴州黔東南·期末）如圖，2條直線相交有1個交點，3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點…按這樣的規律若n條直線相交交點最多有28個，則此時n的值為（）A．18 B．10 C．8 D．7【答案】C【分析】由2條直線相交時最多有1個交點、3條直線相交時最多有1+2＝3個交點、4條直線相交時最多有1+2+3＝6個交點，…；可知n條直線相交，交點最多有1+2+3+…+n﹣1＝n(n?1)2【詳解】解：∵2條直線相交時，最多有1個交點；3條直線相交時，最多有1+2＝3個交點；4條直線相交時，最多有1+2+3＝6個交點；…n條直線相交，交點最多有1+2+3+…+n﹣1＝n(n?1)2因為7×故選C．【點睛】本題主要考查圖形的變化規律，根據已知圖形中相交點數量得出：n條直線相交，交點最多有1+2+3+…+n﹣1個是解題的關鍵．【變式6-1】（23-24七年級·全國·單元測試）同一平面內1條直線把平面分成兩個部分（或區域）；2條直線最多可將平面分成幾個部分？3條直線最多可將平面分成幾個部分？4條直線最多可將平面分成幾個部分？請分別畫出圖來．由此可知n條直線最多可將平面分成幾個部分？【答案】2條直線最多可將平面分成4個部分；3條直線最多可將平面分成7個部分；4條直線最多可將平面分成11個部分；分別畫出圖見解析．由此可知n條直線最多可將平面分成n(n+1)2【分析】根據題意，畫圖分類討論，由此即可求解．【詳解】解：2條直線最多可將平面分成4個部分，如圖：；3條直線最多可將平面分成7個部分，如圖：；4條直線最多可將平面分成11個部分，如圖：，∴n條直線最多分成可將平面分成2+2+3+4+…+n=n(n+1)【點睛】本題主要考查平面內直線的位置關系的規律，掌握畫圖分類討論，直線的位置關系的規律是解題的關鍵．【變式6-2】（23-24七年級·貴州黔東南·階段練習）觀察以下圖形，尋找對頂角及鄰補角．

(1)圖（1）中共有對對頂角，對鄰補角．(2)圖（2）中共有對對頂角，對鄰補角．(3)圖（3）中共有對對頂角，對鄰補角．(4)根據上面的規律，直線條數與對頂角對數之間的關系為∶若n條直線相交于一點，則可形成對對頂角，對鄰補角．(5)若100條直線相交于一點，則可形成多少對對頂角？多少對鄰補角？【答案】(1)2，4(2)6，12(3)12，24(4)n(n?1)，2n(n?1)(5)可形成9900對對頂角；19800對鄰補角【分析】本題考查有規律性的數學問題，關鍵是由特殊情況總結出一般規律．由特殊情況總結出一般規律，應用規律即可求解．（1）根據圖形直接得出答案即可；（2）根據圖形直接得出答案即可；（3）根據圖形直接得出答案即可；（4）由特殊情況總結出一般規律；（5）再由（4）得出的規律進行解答即可．【詳解】（1）圖①中共有2對對頂角，4對鄰補角，故答案為：2，4；（2）圖②中共有6對對頂角，12對鄰補角，故答案為：6，12；（3）圖③中共有12對對頂角，24對鄰補角，故答案為：12，24；（4）根據上面的規律，直線條數與對頂角對數之間的關系為：若有n條直線相交于一點，則可形成n(n?1)對對頂角．2n(n?1)對鄰補角，故答案為：n(n?1)，2n(n?1)；（5）若100條直線相交于一點，則可形成9900對對頂角，19800對鄰補角．【變式6-3】（23-24七年級·全國·課后作業）觀察下面表格，并閱讀相關文字：示意圖

…相交情況1條直線與2條直線相交1條直線與3條直線相交1條直線與4條直線相交…同位角對數（2×1×2）對（2×2×3）對（2×3×4）對…內錯角對數（1×2）對（2×3）對（3×4）對…同旁內角對數（1×2）對（2×3）對（3×4）對…則由上述規律可知：(1)1條直線與6條直線相交產生___________對同位角，___________對內錯角；(2)1條直線與n條直線相交產生___________對同位角，___________對內錯角；(3)利用（2）中的結論，解決下列問題：三條直線兩兩相交（不交于同一點），可構成同位角的對數是（）A．12對

B．8對

C．6對

D．4對【答案】(1)60，30；(2)2n(3)A．【分析】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角問題中的規律問題，旨在考查學生的抽象概括能力．（1）根據表格數據即可求解；（2）根據表格數據即可確定一般規律；（3）當n+1條直線兩兩相交時，產生2×n?1【詳解】（1）解：從表中的規律可知1條直線與6條直線產生：2×5×6=60對同位角，5×6=30對內錯角；故答案為：60，30；（2）解：1條直線與n條直線相交產生：2nn?1對同位角，n故答案為：2n（3）解：根據第（2）問的結論可知，當n+1條直線兩兩相交時，產生2×n?1故當n+1=3時，即：n=2，產生12對同位角．故選：A．【考點2平行線】（1）平行線在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線b互相平行，記作“a∥b”（2）平行線的判定①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.（內錯角相等，兩直線平行）.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，則這兩條直線平行.（同旁內角互補，兩直線平行）.（3）平行線的性質①兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.②兩條平行線被第三條直線所截內錯角相等.簡單說成兩直線平行內錯角相等.③兩條平行線被第三條直線所截同旁內角互補.簡單說成兩直線平行同旁內角互補.【題型7平行線的畫法】【例7】（23-24七年級·北京東城·期末）如圖，平面內有兩條直線l1，l2點A在直線l1上，按要求畫圖并填空：（1）過點A畫l2的垂線段AB，垂足為點B；（2）過點A畫直線AC⊥l1，交直線l2于點C；（3）過點A畫直線AD∥l2；（4）若AB＝12，AC＝13，則點A到直線l2的距離等于．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）12．【分析】（1）根據垂線段的定義畫出即可；（2）根據垂線的定義畫出即可；（3）根據平行線的定義畫出即可；（4）根據點到直線間的距離求解即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖所示；（2）如圖所示；（3）如圖所示；（4）點到直線間的距離，即垂線段的長度，所以，點A到直線l2的距離等于12，故答案為：12．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，垂線，平行線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式7-1】（23-24七年級·湖南岳陽·期末）如圖，利用三角尺和直尺可以準確的畫出直線AB∥CD，請將下面弄亂的操作步驟按正確的順序排列好應是（

）①沿直尺下移三角尺；

②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；③沿三角尺的邊作出直線CD；④作直線AB，并用三角尺的一條邊貼住直線AB．A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②【答案】B【分析】本題考查了畫平行線，根據同位角相等兩直線平行判斷即可．【詳解】解：根據同位角相等兩直線平行則正確的操作步驟是④②③①，故選：B．【變式7-2】（23-24七年級·江西上饒·期末）如圖，平面上有一條直線AB以及AB外一點P，請你只用一塊含30°角的三角板經過P點畫直線CD使CD∥AB，簡單說明你的畫法．

【答案】見解析【分析】將三角板30°角的一邊與直線AB重合，另一邊過點P，沿著這邊作直線EF，平移三角板，當30°角的頂點與點P重合時，沿著30°角的另一邊畫直線CD即可．【詳解】解：如下圖所示，將三角板30°角的一邊與直線AB重合，另一邊過點P，沿著這邊作直線EF，平移三角板，當30°角的頂點與點P重合時，沿著30°角的另一邊畫直線CD，根據同位角相等，兩直線平行可得CD∥AB，∴直線CD即為所求．

【點睛】此題考查的是作已知直線的平行線，掌握同位角相等，兩直線平行是解決此題的關鍵．【變式7-3】（23-24七年級·河北石家莊·期中）數學課上，老師要求同學們利用三角板畫出兩條平行線，老師展示了甲、乙兩位同學的畫法如下：甲的畫法：①將含30°角的三角尺的最長邊與直線a重合，另一塊三角尺最長邊與含30°角的三角尺的最短邊緊貼；②將含30°角的三角尺沿貼合邊平移一段距離，畫出最長邊所在直線b，則b∥a．乙的畫法：①將含30°角三角尺的最長邊與直線a重合，用虛線作出一條最短邊所在直線；②再次將含30°角三角尺最短邊與虛線重合，畫出最長邊所在直線b，則b∥a．請你判斷兩人的作圖的正確性（

）A．甲正確，乙錯誤 B．甲錯誤，乙正確 C．兩人都正確 D．兩人都錯誤【答案】C【分析】根據平移的性質以及平行線的性質進行判斷即可．【詳解】甲的畫法依據是：同位角相等，兩直線平行．乙的畫法依據是：內錯角相等，兩直線平行．故選C【點睛】此題主要考查了平行的畫法，平行線的性質以及平移變換，正確應用平行線的性質是解題關鍵．【題型8平行線的三種判定方法】【例8】（23-24七年級·陜西西安·期中）如圖所示，△ABC與△DEF均為直角三角形，其中∠C=∠FDE=90°，∠E=45°，∠B=60°，點D在邊AC上，∠ADF=15°，請判斷兩條斜邊EF與【答案】EF∥AB，理由見詳解【分析】本題主要考查平行線的判定，涉及三角形內角和定理、三角形外角和以及平行線的判定，根據題意求得∠A，∠BMD和∠F，即可判定∠BMD=∠F，利用平行線的性質即可知EF∥AB．【詳解】解：EF∥AB，理由如下，設DF與AB的交點為M，如圖，∵∠C=90°，∠E=45°，∠B=60∴∠A=30°，∵∠ADF=15°，∴∠BMD=∠A+∠ADF=45°，∵∠FDE=90°，∠E=45°，∴∠F=45°，∴∠BMD=∠F，則EF∥AB．【變式8-1】（23-24七年級·內蒙古包頭·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，在BC的右側作∠BCD=55°，試說明：【答案】解答詳見解析【分析】本題考查平行線的判定，涉及三角形內角和定理、平行線的判定定理：同位角相等兩直線平行；內錯角相等兩直線平行；同旁內角互補兩直線平行，熟記平行線的判定定理是解決問題的關鍵．方法1：由內錯角相等，兩直線平行，即可證明問題；方法2，由同旁內角互補，兩直線平行，即可證明問題．【詳解】證明：方法1，∵∠ACB=90°，∴∠B=90°?35°=55°，∵∠BCD=55°，∴∠B=∠BCD，∴CD∥方法2，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=∠A+∠ACB+∠BCD=90°+35°+55°=180°，∴CD∥【變式8-2】（23-24七年級·四川成都·階段練習）如圖，已知△ABC，∠ACB=80°，點E，F分別在AB，AC上，ED交AC于點G，交BC的延長線于點D，∠FEG=32°，∠CGD=48°，求證：EF∥BC．【答案】見解析【分析】本題主要考查平行線的判定，涉及到對頂角性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定方法．先根據三角形內角和定理以及對頂角的定義求出∠GFE=100°，再根據同旁內角互補，直線平行，即可證明結論．【詳解】證明：∵∠CGD=48°，∴∠EGF=∠CGD=48°，∵∠FEG=32°，∴∠GFE=180°?∠EGF?∠FEG=180°?48°?32°=100°，∵∠ACB=80°，∴∠GFE+∠ACB=180°，∴EF∥【變式8-3】（23-24七年級·遼寧鐵嶺·期中）如圖，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，BE與CF平行嗎？【答案】BE∥CF，理由見解析【分析】本題考查了平行線的判定，垂直的定義，得到∠EBC=∠BCF是解題的關鍵．由AB⊥BC，CD⊥BC得到∠ABC=∠BCD=90°，繼而∠EBC=∠BCF，即可求證．【詳解】解：BE∥CF，理由如下，證明，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵∠1=∠2，∴∠EBC=∠BCF，∴BE∥CF．【題型9平行線性質的應用】【例9】（23-24七年級·廣西貴港·期末）在兩千多年前，我們的先祖就運用杠桿原理發明了木桿秤，學名叫作戥子，如圖，這是一桿古秤在稱物時的狀態，已知∠1=102°，則∠2的度數為（

）A．102° B．72° C．78° D．90°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，內錯角相等，即可求解．【詳解】解：如圖所示，依題意，AB∥DC，

∴∠2=∠BCD，∵∠BCD+∠1=180°，∠1=102°，∴∠BCD=180°?∠1=78°，∴∠2=78°．故選：C．【變式9-1】（23-24七年級·山西朔州·期末）如圖，在一條公路的兩側鋪設了兩條平行管道AB和CD，如果管道AB與縱向聯通管道的夾角∠A=100°，那么管道CD與縱向聯通管道的夾角∠C的度數等于．【答案】80°/80度【分析】本題考查平行線的性質的應用，根據平行線的性質，進行求解即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°，∴∠C=180°?∠A=80°；故答案為：80°．【變式9-2】（23-24七年級·浙江寧波·期末）光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發生折射．由于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如下圖是從玻璃杯底部發出的一束平行光線經過水面折射形成的光線示意圖，水面與玻璃杯的底面平行．若∠1=45°，∠2=120°，則∠3+∠4的度數是（）A．95° B．100° C．105° D．120°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質．先利用平行線的性質可得：∠1=∠3=45°，∠4=60°，然后利用角的和差關系進行計算即可解答．【詳解】解：如圖：∵AC∥∴∠1=∠3=45°，∵CD∥∴∠2+∠4=180°，∵∠2=120°，∴∠4=180°?∠2=60°，∴∠3+∠4=105°，故選：C．【變式9-3】（23-24七年級·新疆喀什·期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉彎后，仍在原來的方向上平行前進，那么這兩次轉彎的角度可以是（

）A．先右轉80°，再左轉100° B．先左轉80°，再右轉80°C．先左轉80°，再右轉100° D．先右轉80°，再右轉80°【答案】B【分析】本題考查平行線的性質，根據題意畫出圖形是解答此題的關鍵．根據題意畫出圖形，根據平行線的性質判定即可．【詳解】解：如圖所示：A、故本選項錯誤；B、故本選項正確；C、故本選項錯誤；D、故本選項錯誤．故選B．【題型10平行線之間的距離】【例10】（23-24七年級·上海楊浦·期末）閱讀、填空并將說理過程補充完整：如圖，已知直線l1∥l2，點A、B在直線l1上，點C、D在直線l2上，AD與BC交于點

解：作AH1⊥l2，垂足為H又因為l1所以______（平行線間距離的意義）．（完成以下說理過程）【答案】相等，理由見解析．【分析】作AH1⊥l2，垂足為H1，作BH2⊥【詳解】解：相等，理由如下：作AH1⊥l2，垂足為H又因為l1所以AH因為S△ACD=1所以S△ACD=S所以S△ACE所以△ACE與△BDE【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟知平行線間間距相等是解題的關鍵．【變式10-1】（23-24七年級·福建廈門·期末）如圖，直線l1∥l2，點A，B在l1上，點C，DA．AC B．AE C．AD D．BE【答案】C【分析】本題考查了平行線之間的距離，根據平行線之間的距離的定義即可判斷求解，理解平行線之間的距離的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵∠ADE=90°，∴AD⊥l∵l1∥l2，點A在l1∴AD的長度是l1到l故選：C．【變式10-2】（23-24七年級·上海長寧·期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，連接AC、BD，已知梯形ABCD的面積為16，△BDC的面積為12，那么△ADC的面積【答案】4【分析】本題考查了平行線間的距離處處相等，先根據題意得出△ABD的面積=4，即可求解．【詳解】解：∵梯形ABCD的面積為16，△BDC的面積為12，∴△ABD的面積=16?12=4，∵AD∥∴點B到AD的距離等于點C到AD的距離，∴△ADC的面積=△ABD的面積=4，故答案為：4．【變式10-3】（23-24七年級·湖南郴州·期末）如圖，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，圖中和△EBD面積相等的三角形有以下哪些三角形：①△EDA；②△EDC；③△ABE；④△ABD；⑤△ABC．A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤【答案】C【分析】本題考查平行線之間距離相等，同底等高的三角形面積相等．根據ED∥BC，AE∥BD，AB∥【詳解】解：∵ED∥BC，平行線之間距離相等，∴△EDC與△EBD同底等高，∴△EDC與△EBD面積相等，∵AE∥∴△ABD與△EBD同底等高，∴△ABD與△EBD面積相等，∵AB∥∴△ABD與△ABC同底等高，∴△ABD與△ABC面積相等，∴S∴與△EBD面積相等的三角形為：△EDC、△ABD、△ABC，故選：C．【題型11平行線的判定和性質的綜合應用】【例11】（23-24七年級·陜西咸陽·期末）如圖，在四邊形FEBO中，H為OF上一點，C為BO上一點，連接BH，CH，若∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°．(1)求證：EF∥BH；(2)若BH平分∠EBO，EF⊥OF，∠HCO=64°，求∠CHO的度數．【答案】(1)見解析；(2)58°．【分析】本題考查了平行線的性質和判定、角平分線的性質等知識點，理解題意學會分析是解決此類問題的關鍵．（1）要證明EF∥BH，可通過∠E與∠EBH互補求得，利用平行線的性質說明∠EBH=∠CHB可得結論；（2）要求∠CHO的度數，可通過平角和∠FHC求得，利用（1）的結論及角平分線的性質求出∠FHB及∠BHC的度數即可．【詳解】（1）證明：∵∠HCO=∠EBC，∴EB∥HC，∴∠EBH=∠CHB．∵∠BHC+∠BEF=180°，∴∠EBH+∠BEF=180°．∴EF∥BH；（2）解：∵∠HCO=∠EBC，∴∠HCO=∠EBC=64°，∵BH平分∠EBC，EB∥HC，∴∠EBH=∠CHB=1∵EF⊥OF，EF∥BH，∴∠BHA=180°?∠EFO=180°?90°=90°，∴∠FHC=∠BHA+∠CHB=122°．∴∠CHO=180°?∠FHC=180°?122°=58°．【變式11-1】（23-24七年級·全國·期末）如圖，已知點F,E在BC上，點G在AB上，BA⊥AC于點A，ED⊥AC于點D，若∠1=∠2,∠AEB=110°，求∠GFE的度數．

解：∵BA⊥AC,ED⊥AC（

），∴∠BAC=90°,∠EDC=°（

），∴ABDE（

），∴∠2=∠BAE（（

），又∵∠1=∠2已知，∴∠1=∠BAE（

），∴GF∥（

），∴∠AEB+∠GFE=（

），∵∠AEB=110°（已知），∴∠GFE=．【答案】見解析【分析】本題考查平行線的判定和性質，根據平行線的判定定理和性質定理，進行作答即可．【詳解】解：解：∵BA⊥AC,ED⊥AC（已知），∴∠BAC=90°,∠EDC=90°（垂直的定義），∴AB∥DE（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=∠BAE（兩直線平行，內錯角相等），又∵∠1=∠2已知，∴∠1=∠BAE（等量代換），∴GF∥AE（同位角相等，兩直線平行），∴∠AEB+∠GFE=180°（兩直線平行，同旁內角互補），∵∠AEB=110°（已知），∴∠GFE=70°．【變式11-2】（23-24七年級·北京西城·期中）如圖是一種躺椅及其結構示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點G和點D，AB與DM交于點N，∠AOE=∠BNM．(1)請對OE∥(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數．【答案】(1)見解析；(2)105°【分析】（1）結合題意，根據對頂角相等推出∠AOE=∠BNM，根據“同位角相等，兩直線平行”即可得解；（2）根據平行線的性質及角平分線定義求解即可；本題主要考查了平行線的判定與性質的運用，角平分線的定義，平行公理推論，掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：理由如下：∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，∴∠AOE=∠AND，∴OE∥（2）解：∵AB與底座CD都平行于地面EF，∴AB∥∴∠BOD=∠ODC=30°，∵∠AOF+∠BOD=180°，∴∠AOF=150°，∵OE平分∠AOF，∴∠EOF=1∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105°，∵OE∥∴∠ANM=∠BOE=105°．【變式11-3】（23-24七年級·寧夏石嘴山·期中）如圖，已知AP∥DM，點B，C分別是射線AP，DM上的點，∠D=∠ABC=60°，AM，AN分別平分∠BAC和∠CAD．(1)求∠MAN的度數；(2)若∠AND=∠ACB，求∠ACB的度數．【答案】(1)60°(2)80°【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義：（1）先由平行線的性質得到∠BAD=180°?∠D=120°，再由角平分線的定義得到∠CAN=12∠CAD（2）先證明∠BAD+∠ABC=180°，得到AD∥BC，則∠ACB=∠CAD，再證明∠CAD=∠BAN，得到∠DAN=∠BAC，則∠DAN=∠BAC=∠NAC=13∠BAD=40°【詳解】（1）解：∵AP∥DM，∴∠BAD=180°?∠D=120°，∵AM，AN分別平分∠BAC和∠CAD，∴∠CAN=1∴∠MAN=∠CAN+∠CAM=1（2）解：∵∠BAD=120°，∠ABC=60°，∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∵AP∥DM，∴∠AND=∠BAN，∵∠AND=∠ACB，∴∠CAD=∠BAN，∴∠DAN=∠BAC，∴∠DAN=∠BAC=∠NAC=1∴∠ACB=∠CAD=∠DAN+∠CAN=80°．【題型12平行線間多折點角度問題的探究】【例12】（23-24七年級·全國·期末）直線AB∥CD，P為直線AB上方一點，連接PA、PD．(1)如圖1，若∠A=100°，∠D=130°，求(2)如圖1，設∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度數（用含α、(3)如圖2，N為∠PAB內部一點，∠BAN=3∠PAN，連接CN，若∠DCN=3∠PCN，求∠APC∠ANC【答案】(1)50°(2)∠APD=α+β?180°(3)4【分析】本題考查了平行線的性質以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，數形結合思想的應用．（1）過點P向右PE∥AB，則AB∥PE∥CD，得出∠APE=80°，進而求出結論；（2）過點P向右PE∥AB，則AB∥PE∥CD，得出∠APE=180°?α，進而求出結論；（3）過點P向左作PF∥AB，過N向左作NM∥AB，則PF∥MN∥AB∥CD，設∠PAN=x，∠PCN=y，則∠BAN=3x，【詳解】（1）解：過點P向右PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠DPE=∠D=130°，∵∠A=100°，∴∠APE=80°，∴∠APD=∠DPE?∠APE=130°?80°=50°；（2）過點P向右PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠A=180°，∵∠A=α，∴∠APE=180°?α，∴∠APD=∠DPE?∠APE=β?180°?α（3）過點P向左作PF∥AB，過N向左作NM∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥MN∥AB∥CD，與（2）同理，得∠APC=∠PAB?∠PCD，∠ANC=∠BAN?∠DCN.