PAGEPAGE12.2.2對數函數及其性質第一課時對數函數的圖象及性質1.下列函數是對數函數的是(C)(A)y=logax2(a>0且a≠1)(B)y=12logax(a>0且a≠(C)y=loga2x(a>0且a(D)y=loga|x|(a>0且a≠1)解析:A和D中真數不是自變量x,不是對數函數;B中logax前的系數不是1,故不是對數函數.故選C.2.函數f(x)=loga(2x-3)-4(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(D)(A)(1,0) (B)(1,-4) (C)(2,0) (D)(2,-4)解析:因為總有f(2)=loga(2×2-3)-4=-4,所以函數恒過定點(2,-4).故選D.3.已知函數f(x)=loga(x-m)的圖象過點(4,0)和(7,1),則f(x)在定義域上是(A)(A)增函數 (B)減函數(C)奇函數 (D)偶函數解析:由題意知0=log故f(x)=log4(x-3).因此函數在定義域上是增函數,選A.4.已知f(x)是定義在R上的偶函數,且在區間(-∞,0]上單調遞增,若實數a滿意f(2log3(A)(-∞,3) (B)(0,3) (C)(3,+∞) (D)(1,3)解析:由題知f(2log3a)>f(-2)可得f(即f(2log3又可知f(x)在[0,+∞)上單調遞減,則0<2log3即log3a<12得0<a<5.已知f(x)=log(A)32 (B)1716 (C)log解析:當a≤3時,f(a)=2a-3+1=3?當a>3時,f(a)=log2(a+1)=3?a=7>3,成立,所以f(a-5)=f(2)=22-3+1=326.函數f(x)=a-(A)0 (B)10 (C)1 (D)1解析:由已知,得a-lgx≥0的解集為(0,10],由a-lgx≥0,得lgx≤a,x≤10a,又0<x≤7.已知a<b,函數f(x)=(x-a)(x-b)的圖象如圖所示,則函數g(x)=logb(x+a)的圖象可能為(B)解析:由題圖可知0<a<1<b,故函數g(x)單調遞增,解除A,D,結合a的范圍可知選B.8.函數f(x)=loga|x|+1(a>1)的圖象大致為(C)解析:函數f(x)=loga|x|+1(a>1)是偶函數,所以f(x)的圖象關于y軸對稱,當x>0時,f(x)=logax+1是增函數;當x<0時,f(x)=loga(-x)+1是減函數,又因為圖象過(1,1),(-1,1)兩點,結合選項可知,選C.9.函數f(x)=1-x+lg(1-3x)的定義域為解析:由題得1-x≥答案:(-∞,1310.假如函數f(x)=(3-a)x,g(x)=logax的增減性相同,則a的取值范圍是.

解析:若f(x),g(x)均為增函數,則3-a>1答案:(1,2)11.若函數y=log2x+2的反函數的定義域為(3,+∞),則此函數的定義域為.

解析:函數y=log2x+2的反函數的定義域為(3,+∞),則這個函數的值域為(3,+∞),所以log2x+2>3,得log2x>1,所以x>2.答案:(2,+∞)12.若函數y=f(x)的定義域為(0,+∞),且滿意f(xy)=f(x)+f(y),并且對隨意x1,x2∈(0,+∞)時,f(x1)-解析:由對數函數滿意f(xy)=f(x)+f(y)且依據f(答案:f(x)=log3x(x>0)(只要是底數大于1的對數函數均可)13.已知函數f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函數y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及此時x的值.解:y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+log3x2+2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3,因為f(x)的定義域為[1,9],則y=[f(x)]2+f(x2)中x必需滿意1所以1≤x≤3,所以0≤log3x≤1,所以6≤y≤13.所以當x=3時,ymax=13.14.已知函數f(x)=loga(3+2x),g(x)=loga(3-2x)(a>0,且a≠1).(1)求函數y=f(x)-g(x)的定義域;(2)推斷函數y=f(x)-g(x)的奇偶性,并予以證明.解:(1)要使函數y=f(x)-g(x)有意義,必需有3+2x>0,3-所以函數y=f(x)-g(x)的定義域是{x-32<x<32}(2)y=f(x)-g(x)是奇函數.由(1)知函數y=f(x)-g(x)的定義域關于原點對稱,f(-x)-g(-x)=loga(3-2x)-loga(3+2x)=-[loga(3+2x)-loga(3-2x)]=-[f(x)-g(x)].所以函數y=f(x)-g(x)是奇函數.15.設定義域均為[2,8]的兩個函數f(x)和g(x),其解析式分別為f(x)=log2x-2和g(x)=log4x-12(1)求函數y=f(x)的值域;(2)求函數G(x)=f(x)·g(x)的值域.解:(1)因為y=log2x在[2,8]上是增函數,所以log22≤log2x≤log28,即log2x∈[12,3]故log2x-2∈[-32,1]即函數y=f(x)的值域為[-32,1](2)G(x)=f(x)·g(x)=(log2x-2)(log4x-12=(log2x-2)(12log2x-1=12[(log2x)2-3log2令t=log2x,x∈[2,8],t∈[12,3]則y=12(t2-3t+2)=12(t-32)2-18,t∈[故當t=32時,y取最小值,最小值為-1當t=3時,y取最大值,最大值為1.所以函數G(x)=f(x)·g(x)的值域為[-18,1]16.若函數f(x)=a1-x(a>0,a≠1),且f(-1)=14,則g(x)=loga解析:由f(-1)=14得,a2=14,所以a=所以g(x)=log12由此選A.17.若log(2a-1)(a2-2a+1)的值為正數,則a的取值范圍是(D)(A)(0,2) (B)(0,12)∪(C)(-∞,0)∪(2,+∞) (D)(12,1)∪(2,+∞解析:由于對數值為正,則0<2a-解得a∈(12,1)∪(2,+∞18.函數y=log12(3+2x-x2)的值域是解析:設u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4,因為u>0,所以0<u≤4,又因為y=log12u在(0,+所以y=log12u≥lo答案:[-2,+∞)19.已知函數f(x)=(1-2a解析:由題意得當x≥1時,lnx≥0,要使函數f(x)的值域為R,則需滿意1-2a>0,1-2a+3答案:[-1,1220.函數f(x)=lg(ax)·lgax(1)當a=0.1,求f(1000)的值;(2)若f(10)=10,求a的值;(3)若對一切正實數x恒有f(x)≤98名師點撥:當a=0.1時,干脆代入x=1000可求f(1000)的值,而依據f(10)=10,可轉化為關于lga的二次方程,解方程可求a,當f(x)≤98解:(1)當a=0.1時,f(x)=lg(0.1x)·lg110所以f(1000)=lg100·lg1107(2)因為f(10)=lg(10a)·lga=(1+lga)(lga-2)=lg2a所以lg2a所以(lga-4)(lga+3)=0,所以lga=4或lga=-3.所以a=104或a=10-3.(3)因為對一切正實數x恒有f(x)≤