2024——2025學年度第二學期第一次月考高二數學一、單選題（共8小題，每小題5分，總分值40分）1.在等比數列中，，，則的值為（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】B【解析】【分析】利用等比數列的通項公式即可求解.【詳解】設等比數列的公比為q，則，因為，所以，解得，所以.故選：B2.直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，求出直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解.【詳解】由直線與直線垂直，得直線的斜率，又直線過點，所以直線的方程為，即.故選：B3.等差數列中是其前項和，，則（）A.27 B.36 C.54 D.81【答案】A【解析】【分析】運用等差數列性質即可.【詳解】由題知：，所以..故選：A.4.某班小張等4位同學報名參加，，三個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，且小張不能報小組，則不同的報名方法有（）種A. B. C.54 D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，分析可得除小張外，每位同學都有3種選擇，小張只有2種選擇，由分步計數原理計算可得答案.【詳解】根據題意，分析可得：除小張外，每位同學都可以報，，三個課外活動小組中任意一個，都有3種選擇，小張不能報小組，只有2種選擇，所以不同報名方法有(種)，故選：C.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出導函數，利用導數與函數單調性之間的關系求出單調區間即可求解.【詳解】由，則，令，解得，令，解得，所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，故時，，而，，所以.故選：D【點睛】本題考查了利用導數求函數的最值，利用導數研究函數的單調性，考查了基本計算能力，屬于基礎題.6.已知正方體的棱長為3，E為CD的中點，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用體積法求點到平面的距離.【詳解】如圖：因為.在中，,.所以邊上的高為：，所以.設點到平面的距離為，由.故選：A7.已知函數存在最大值0，則a的值為（）A.1 B.2 C.e D.【答案】D【解析】【分析】先求導，再分類討論，根據導數和函數最值的關系即可求出.【詳解】，當時，恒成立，故函數單調遞增，不存在最大值；當時，令，得出，所以當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，，解得：.故選：D【點睛】本題考查利用導數求解單調區間與最值，考查分類討論的思想.8.已知雙曲線兩條漸近線與拋物線的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，的面積為，則（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】將雙曲線漸近線方程與拋物線準線方程聯立可求得，由雙曲線離心率可得到，由此可得，利用三角形面積可構造方程求得的值.【詳解】由雙曲線方程知：漸近線方程為；由拋物線方程知：準線方程為；由得：，；雙曲線離心率，，則，，解得：.故選：C二、多選題（共3小題，每小題6分，總分值18分）9.下列等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據排列數公式和組合數公式，以及性質，分別對選項逐一進行分析.【詳解】對于選項A：，，因此，所以A選項正確.對于選項B，根據組合數性質知道，所以B選項錯誤.對于選項C，，因此，所以C選項正確.對于選項D，根據組合數性質知道，所以D選項正確.故選：ACD.10.關于函數，下列說法正確的是（）A.它的極大值為，極小值為B.當時，它最大值為，最小值為C.它的單調遞減區間為D.它在點處的切線方程為【答案】ACD【解析】【分析】求導判斷函數單調性，進一步可判斷函數極值以及它在閉區間上最值情況即可判斷ABC，由導數的幾何意義可判斷D.【詳解】函數，．由，得或，此時函數單調遞增；由，得，此時函數單調遞減，C正確；當時，函數取得極大值，當時，函數取得極小值，A正確；當時，單調遞增，它的最大值為，最小值為，B錯誤；，，它在點處的切線方程為，D正確．故選：ACD.11.(多選題)過點P(2，－6)作曲線f(x)＝x3－3x的切線，則切線方程為（）A.3x＋y＝0 B.24x－y－54＝0C.3x－y＝0 D.24x－y＋54＝0【答案】AB【解析】【分析】先設出切點的坐標，求出導函數，再將切點橫坐標代入導函數求出切線的斜率，結合切點坐標寫出切線方程，再將點P的坐標代入切線方程，進而解出切點橫坐標，最后得到答案.【詳解】設切點為(m，m3－3m)，f(x)＝x3－3x的導數為f′(x)＝3x2－3，則切線斜率k＝3m2－3，由點斜式方程可得切線方程為y－m3＋3m＝(3m2－3)(x－m)，將點P(2，－6)代入可得－6－m3＋3m＝(3m2－3)(2－m)，解得m＝0或m＝3.當m＝0時，切線方程為3x＋y＝0；當m＝3時，切線方程為24x－y－54＝0.故選：AB.三、填空題（共3小題，每小題5分．總分值15分）12.與y軸相切，且圓心坐標為的圓的標準方程為_______．【答案】【解析】【分析】依據題意可得半徑，再根據圓心和半徑寫出圓的標準方程.【詳解】與y軸相切，且圓心坐標為，則半徑為5，故圓的標準方程為.故答案為：13.函數在時有極小值0，則_______．【答案】11【解析】【分析】利用導函數與函數的單調性、極值的關系求解.【詳解】因為，所以，因為函數在時有極小值0，所以，①，②聯立①②解得或，當時，，則函數在上單調遞增，無極值，不滿足題意；當時，，由解得或，由解得，函數在單調遞增，單調遞減，單調遞增，滿足函數在時有極小值，所以，故答案為：11.14.如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種(以數字作答)．【答案】72【解析】【分析】根據使用顏色種數，結合分類加法計數原理、排列組合求解即可.【詳解】若使用了四種顏色，則同色或同色，共有種，若使用了三種顏色，則同色且同色，共有種，所以一共有種.故答案為：72.四、解答題：共5小題，總分值77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的單調區間；【答案】（1）（2）函數的遞增區間為，遞減區間為.【解析】【分析】（1）求函數的導數，得到和，由點斜式得到切線方程；（2）令導數，得到對應區間導數的正負，從而得到函數的單調區間.【小問1詳解】，∴，，∴切線方程為：，即【小問2詳解】由（1）知，令，則或，當時，，函數遞增，當時，，函數遞減，當時，，函數遞增，所以函數的遞增區間為，遞減區間為.16.已知橢圓經過點且離心率為，設直線與橢圓相交于兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線的斜率為1，求線段中點的軌跡方程；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數法求橢圓方程；（2）設直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示中點坐標，消參后，即可求軌跡方程.【小問1詳解】由題可得：，解得：，所以橢圓的標準方程為：；【小問2詳解】因為直線的斜率為1，所以可設直線的方程為，，聯立，化簡得，則，解得：，所以，設弦中點，則，消去，得，而，所以點的軌跡方程為.17.設數列滿足：，且對任意的，都有.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知條件，結合等比數列的定義，即可求得；（2）根據題意，由條件可得，然后結合錯位相減法，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】由題意可得，又，則，其中所以數列是以為首項，為公比的等比數列，則，即，.【小問2詳解】令，由（1）可知，則，則，，兩式相減可得所以.18.如圖1，在平面四邊形中，，，，.將沿折疊至處，使平面平面（如圖2），為的中點，為的中點，是靠近點的四等分點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出平面，再利用面面垂直判定定理可證得結論成立；（2）取的中點，連接，可得出平面，以點為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】因為，點為的中點，所以，因為平面平面ABD，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.因為，，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，即，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】取的中點，連接，則，又因為平面，則平面，因為，以點為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則、，、、、，所以，，.設平面的一個法向量為，則，令，得，，所以，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.19.已知函數．（1）若，求在區間上的最值；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）.【解析】【分析】（1）代入參數值，求導函數，解導函數大于0的不等式，得出增減區間，求出最值；（2）求導函數，得到增減區間，求得最小值；由題意建立不等式，構建對應函數，由導函數求得單調區間得最小值再建立不等關系