2023級(jí)高二下學(xué)期階段性學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1.若曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.－4 B.－3 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】利用切線的斜率列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】，所以.故選：B2.的二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為（）A.560 B.35 C.-35 D.-560【答案】D【解析】【分析】中利用二項(xiàng)式定理可求得的系數(shù)，從而求解.【詳解】由題意知的展開式為，令，得，所以的系數(shù)為，故D項(xiàng)正確.故選：D.3.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則()A.1 B.0 C.2 D.3【答案】B【解析】詳解】∵∴∴，即∴故選B.4.將4名醫(yī)生，3名護(hù)士分配到3個(gè)社區(qū)對(duì)居民進(jìn)行健康體檢，要求每個(gè)社區(qū)至少有1名醫(yī)生和1名護(hù)士，則不同的分配方法共有（）A.64種 B.108種 C.128種 D.216種【答案】D【解析】【分析】先將醫(yī)生分為3組，每組至少1人，然后再將醫(yī)生和護(hù)士分配到3個(gè)社區(qū)即可.【詳解】先將4名醫(yī)生分成3組，每組至少1人，共有種方法，再將3組醫(yī)生分到3個(gè)社區(qū)有種，最后將3名護(hù)士分配到3個(gè)社區(qū)有種，所以，不同的分配方法共有種.故選：D5.設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則當(dāng)時(shí)（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)于AB，利用特殊函數(shù)法，舉反例即可排除；對(duì)于CD，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得在上單調(diào)遞減，從而得以判斷.【詳解】對(duì)于AB，不妨設(shè)，，則，，滿足題意，若，則，故A錯(cuò)誤，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，因?yàn)椋谏系膶?dǎo)函數(shù)存在，且，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，即，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.已知下列各選項(xiàng)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由極小值點(diǎn)定義，導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，即可選出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，要使是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則需，，對(duì)于AB選項(xiàng)，不是函數(shù)的極值點(diǎn)；對(duì)于C選項(xiàng)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；對(duì)于D選項(xiàng)，是函數(shù)的極大值點(diǎn).故選：C7.已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，只需存在區(qū)間，使得當(dāng)時(shí)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)大小分，和討論求解.【詳解】由題意得，要使在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，只需存在區(qū)間，使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然不存在滿足條件的區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的解集為，因?yàn)椋砸乖谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，則，解得；當(dāng)時(shí)，的解集為，因?yàn)椋砸乖谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，則，解得.綜上，的取值范圍為.故選：A.8.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足，若，，使得成立，則的最大值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，結(jié)合已知條件及函數(shù)的圖象即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，即，解得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得最小值為，，對(duì)稱軸為，開口向下，由二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.令，即，解得或，作兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示由圖可得：的最大值為故選：B.二、多選題9.以下求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】本題主要運(yùn)用求導(dǎo)公式：，，但要注意常數(shù)的理解及解析式的轉(zhuǎn)化處理．【詳解】，A不正確；，B正確；，C正確；(為常數(shù))，D不正確．故選：BC．10.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.第2023行中從左往右第1011個(gè)數(shù)與第1012個(gè)數(shù)相等C.記第行的第個(gè)數(shù)為，則D.第20行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A：利用性質(zhì)計(jì)算即可；對(duì)于B：利用的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算；對(duì)于C：代入，利用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可；對(duì)于D：利用的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算【詳解】對(duì)于A：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：第2023行中的數(shù)為的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，則從左往右第1011個(gè)數(shù)為，第1012個(gè)數(shù)為，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：第行的第個(gè)數(shù)為，則，C正確；對(duì)于D：第20行中的數(shù)為的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，則從左往右第12個(gè)數(shù)為，第13個(gè)數(shù)為，則，D正確.故選：AB.11.若、分別是函數(shù)、的零點(diǎn)，且，則稱與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.已知與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】求出函數(shù)的零點(diǎn)為，根據(jù)題中定義額可得出函數(shù)的零點(diǎn)為，令，可知，直線與函數(shù)在上的圖象有公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)是上的增函數(shù)，且，則.因?yàn)榕c互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，所以，即，解得.因?yàn)?，所?，所以在上有解，即在上有解.設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極小值為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有公共點(diǎn)，所以，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.三、填空題12.展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理求解．【詳解】，∵的指數(shù)是3，∴得到，∵的指數(shù)是2，得到，∴項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：13.北京時(shí)間2023年10月26日19時(shí)34分，神舟十六號(hào)航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠(yuǎn)道而來的神舟十七號(hào)航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）入駐“天宮”．隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國人民報(bào)平安．若這6名航天員站成一排合影留念，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有______種．【答案】504【解析】【分析】分景海鵬站最右邊與景海鵬不站最左邊與最右邊兩種情況討論，從而可求解.【詳解】由題意分為兩種情況：第一種情況：景海鵬站最右邊，共有種排法；第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有種排法，故總共有種排法.故答案為：.14.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由正弦型函數(shù)可知：兩個(gè)零點(diǎn)之間必存在極值點(diǎn)，兩個(gè)極值點(diǎn)之間必存在零點(diǎn)，利用正弦型函數(shù)的極值點(diǎn)可得即可求解.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，可知，解得.故答案為：四、解答題15.已知函數(shù).（1）若是極大值點(diǎn)，求在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)是的極大值點(diǎn)求出，再利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，即可求在處的切線方程；（2）求出，分三種情況討論，分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求出的單調(diào)區(qū)間；【小問1詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)镽，令得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，則在點(diǎn)的切線方程為，即；【小問2詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，分3種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，若，解可得或，則的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；③，當(dāng)時(shí)，若，解可得或，則的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為；16.已知二項(xiàng)式展開式中，前二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是11.（1）求n的值；（2）求其二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的差；（3）求上述展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.【答案】（1）（2）1023（3）【解析】【分析】（1）利用指定兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)建立方程求解參數(shù)即可.（2）利用二項(xiàng)式性質(zhì)得到二項(xiàng)式系數(shù)之和，利用賦值法得到各項(xiàng)系數(shù)之和，再作差即可.（3）利用賦值法再作差求解偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和即可.【小問1詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開式中，前二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是11，所以，得到，解得.【小問2詳解】由二項(xiàng)式性質(zhì)得二項(xiàng)式系數(shù)之和，令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的差為.【小問3詳解】令，則所以17.（1）一場(chǎng)班級(jí)元旦晚會(huì)有有2個(gè)唱歌節(jié)目和；2個(gè)相聲節(jié)目1和2．要求排出一個(gè)節(jié)目單，滿足第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目．一共有多少種可能（結(jié)果用數(shù)字表示）？并列出所有可能的排列．（2）7個(gè)人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，有多少不同的種排法？（結(jié)果用數(shù)字表示）（3）從4名男青年教師和5名女青年教師中選出4名教師參加新教材培訓(xùn)，要求至少有2名男教師和1名女教師參加，有多少種不同的選法？（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】（1）共4種；答案見解析（2）432；（3）80．【解析】【分析】（1）利用排列的定義即得；（2）利用捆綁法，插空法即得；（3）由題可分選2名男教師與2名女教師，選3名男教師與1名女教師兩類，即得．【詳解】（1）歌唱節(jié)目記為，相聲節(jié)目記為1，2，滿足第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目的排列為：．共4種（2）甲乙丙3人必須相鄰，把他們捆綁看作一個(gè)元素與除甲乙丙丁戊外的兩個(gè)元素排列，然后排其內(nèi)部順序，再在3個(gè)元素形成的4個(gè)空中插入丁和戊，故甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，共有（種）．（3）選2名男教師與2名女教師，共有(種)，選3名男教師與1名女教師，共有(種)，所以共有60+20=80（種）．18.某企業(yè)在2023年全年內(nèi)計(jì)劃生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為x百件，生產(chǎn)過程中總成本w（x）（萬元）是關(guān)于x（百件）的一次函數(shù)，且，．預(yù)計(jì)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，且當(dāng)年產(chǎn)量為x百件時(shí)，每百件產(chǎn)品的銷售收入（萬元）滿足．（1）寫出該企業(yè)今年生產(chǎn)這種產(chǎn)品的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）今年產(chǎn)量為多少百件時(shí)，該企業(yè)在這種產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤是多少？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）（2）當(dāng)產(chǎn)量為7百件時(shí)，該企業(yè)在這種生產(chǎn)中獲利最大且最大利潤為51萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)利用等于銷售收入減去生產(chǎn)成本即可求解；（2）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系討論利潤函數(shù)的單調(diào)性以及最值.【小問1詳解】設(shè)由，可得，解得，所以，依題意得，．【小問2詳解】由（1）得，，則，令，得，，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有，答：當(dāng)產(chǎn)量為7百件時(shí)，該企業(yè)在這種生產(chǎn)中獲利最大且最大利潤為51萬元．19.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，且在上存在導(dǎo)函數(shù)（其中）.定義：若在區(qū)間上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為凸函數(shù).已知，（）.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上是否為凸函數(shù)，說明理由；（2）已知函數(shù)為上的凸函數(shù)，求的取值范圍，并證明：函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線總在的圖象的上方；（3）若，求函數(shù)（）的最小值.【答案】（1）在區(qū)間上為凸函數(shù)，理由見解析（2），證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）求出，判斷是否小于恒成立；（2）求出，根據(jù)凸函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為恒成立問題，分離參數(shù)求解即可；把“函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線總在的圖象的上方”轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性和最值即可；（3）令，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)、、的范圍確定的單調(diào)性及最值，得到，再去絕對(duì)值即可.【小問1詳解】由可得，∴，∵，∴，∴在區(qū)間上為凸函數(shù).【小問2詳解】①由，，得，.因?yàn)楹瘮?shù)是上的凸函數(shù)，故在上恒成立，即，在上恒成立，故，故，所以實(shí)數(shù)的范圍是.②證明如下：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，，令，，依題意，只需證明即可；，，故函數(shù)在上為減函數(shù)，又，故