名校真題測試卷12（方程篇）時間：15分鐘滿分5分姓名_________測試成績_________1（06年清華附中考題）10名同學參加數學競賽，前4名同學平均得分150分，后6名同學平均得分比10人的平均分少20分，這10名同學的平均分是________分.2（06年西城實驗考題）某文具店用16000元購進4種練習本共6400本。每本的單價是：甲種4元，乙種3元，丙種2元，丁種1．4元。如果甲、丙兩種本數相同，乙、丁兩種本數也相同，那麼丁種練習本共買了_________本。（02年人大附中考題）某商店想進餅干和巧克力共444千克，后又調整了進貨量，使餅干增加了20千克，巧克力減少5%，結果總數增加了7千克。那么實際進餅干多少千克？4（03年北大附中考題）六年級某班學生中有的學生年齡為13歲，有的學生年齡為12歲，其余學生年齡為11歲，這個班學生的平均年齡是_________歲。5(06年西城外國語考題)某個五位數加上20萬并且3倍以后，其結果正好與該五位數的右端增加一個數字2的得數相等，這個五位數是__________。【解】：設這個五位數為x，則由條件(x+200000)×3＝10x+2，解得x＝85714。6（06年北京二中題）某自來水公司水費計算辦法如下：若每戶每月用水不超過5立方米，則每立方米收費1.5元，若每戶每月用水超過5立方米，則超出部分每立方米收取較高的定額費用，1月份，張家用水量是李家用水量的，張家當月水費是17.5元，李家當月水費27.5元，超出5立方米的部分每立方米收費多少元？【附答案】1【解】：設10人的平均分為a分，這樣后6名同學的平均分為a-20分，所以列方程：[10a-6×（a-20）]÷4=150解得：a=120。2【解】：設甲、丙數目各為a，那么乙、丁數目為，所以列方程4a+3×+2a+1．4×=16000解得：a=1200。3【解】：設餅干為a，則巧克力為444-a，列方程：a+20+（444-a）×（1+5%）-444=7解得：a=184。4【解】：因為是填空題，所以我們直接設這個班有16人，計算比較快。所以題目變成了：1個學生年齡為13歲，有12個學生年齡為12歲，3個學生學生年齡為11歲，求平均年齡？(13×1+12×12+11×3)÷16＝11.875，即平均年齡為11.875歲。如果是需要寫過程的解答題，則可以設這個班的人數為a，則平均年齡為：＝11.875。5【解】：設這個五位數為x，則由條件(x+200000)×3＝10x+2，解得x＝85714。6【解】：設出5立方米的部分每立方米收費X，（17.5-5×1.5）÷X+5=[（27.5-5×1.5）÷X+5]×（2/3）解得：X=2。希望考入重點中學？奧數網是我們成就夢想的地方！希望考入重點中學？奧數網是我們成就夢想的地方！一、小升初考試熱點及命題方向應用題是數學和實際聯系最密切的問題，它的內容豐富，形式多樣，是培養學生分析能力和解決問題能力的重要內容。列方程解應用題就是常用的方法之一。在小升初考題中，當題目條件過于復雜時，我們會選擇利用方程作為解題手段。二、2007年考點預測應該說利用方程解題是一種解題的方法，而這種方法我們在考試中會時常運用，相信在07年的考試中我們依然會用到方程幫助我們輕松解題，作為解題的重要手段之一方程是必須掌握的。三、知識要點列方程解應用題的一般步驟是：1）審題2）設未知數，一般“問啥設啥”3）找出相等關系，列方程4）解方程，檢驗作答。其中列方程是關鍵的一步，其實本質是將同一個量或等量用兩種方式表達出來，而要建立這種相等關系必須對題目作細致分析，有些相等關系比較隱蔽，必要時要應用圖表或圖形進行直觀分析。建議老師要求本節都練習用方程來求解，編者的幾個班級學生列方程都是最大的薄弱點，應該其他班級也是差不多，所以建議一題多解得前提下主要練方程思想。建議老師要求本節都練習用方程來求解，編者的幾個班級學生列方程都是最大的薄弱點，應該其他班級也是差不多，所以建議一題多解得前提下主要練方程思想。四、典型例題解析【例1】：（★★）商店在銷售二種售價一樣的商品時，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件商品總的是盈利還是虧損.【解】：設這兩件商品售價都為x元因為進價為,x/(1+25%)+x/(1-25%)=4/5x+4/3x=32/15x售價為，x+x=2x32/15x>2x即進價>售價所以虧損【例2】：（★★）一筆獎金分一、二、三等獎，每個一等獎的獎金是每個二等獎獎金的2倍，每個二等獎的獎金是每個三等獎獎金的2倍。如果評一等獎1人，二等獎2人，三等獎3人，那么一等獎的獎金是120元；如果評一等獎1人，二等獎3人，三等獎5人，那么一等獎的獎金是多少元？【解】：提示：先求出獎金總數。設一等獎獎金x元。由題意得：x＋·3＋·5=120+60×2+30×3解得x=88【例3】：（★★★）高中學生的人數是初中學生人數的5/6，高中畢業生的人數是初中畢業生人數的12/17。高、初中的畢業生離校后，高、初中留下的人數都是520。那么，高、初畢業生共有多少人？[思路]：要想求出高、初中畢業生共有的人數，可以先分別求出高中畢業生與初中畢業生各是多少．已知條件中高中畢業生是初中畢業生人數的12/17，又知高、初中畢業生離校后都留下520人．如果設初中畢業生為x人，則原初中生有(x+520)人，高中畢業生為（12/17）x人，原高中生有（12/17x+520）人。根據高中學生人數是初中學生人數的5/6找出等量關系．【解】：設初中畢業生有x人，依題意，有(x+520)=(x+520)x=x=680高中畢業生共有x=×680=480(人)高、初中畢業生共有：680+480=1160(人)．【例4】：（★★★）學校早晨6：00開校門，晚上6：40關校門。下午有一同學問老師現在的時間，老師說：從開校門到現在時間的1/3加上現在到關校門時間的1/4，就是現在的時間。那么現在的時間是下午幾點？[思路]：根據“從開校門到現在時間的1/3加上現在到關校門時間的1/4，就是現在的時間”列方程。【解】：設現在的時間是下午x點。由從早上6：00到現在的時間是12-6+x=6+x小時，從現在到晚上6：40的時間是20/3-x小時。根據題意得方程：解得：x=4。答：現在的時間是下午4點。【例5】：（★★★）從A市到B市的客車，規定每位旅客可免費攜帶一定質量的行李，超過的部分按其質量收取行李費。甲乙丙三人乘汽車從A到B，甲乙均無行李，只有丙帶有150公斤的行李，若只扣除丙可免費攜帶的部分，則需交行李費8元，若按把甲乙丙三人可免費攜帶的部分扣除，則只需交4元行李費，每人可免費攜帶行李多少千克【解】：設可免費帶a千克，超過的每千克交b元。（150-a）×b=8(150-3a)×b=4【例6】：（★★★）小剛和小明參加一個會議，在會議室中小剛看到不戴眼鏡的同學是戴眼鏡同學的2倍，小明看到戴眼鏡的同學是不戴眼鏡的，會議室中共有多少名同學？【解】：由題意知，小剛戴眼鏡，小明不戴眼鏡。設戴眼鏡的有x人，由小剛看到的情況知不戴眼鏡的有2（x-1）人。再由小明看到的情況可列方程X=[2（X-1）]。解得X=6，即戴眼鏡的有6人，不戴眼鏡鏡的有10人，共16人。【例7】：（★★）修一條水渠，若每天多修8米，則可提前4天完成；若每天少修8米，則要推遲8天完成。求這條水渠的長度。解：設計劃x天完工。如果每天少修8米，則x天共少修8x米。由題意，為完成這8x米，還需8天完成，所以每天實際修x米，推知原計劃每天修（x+8）米。如果每天多修8米，則(x-4）天多修了8（x-4）米，相當于原計劃4天的工作量4（x+8）米。由8(x-4）=4（x+8）解得x=16。原計劃每天修16+8=24（米），所以水渠長24×16=384（米）。【例8】：（★★）某生產小組計劃修一條長40米的水渠，橫截面（等腰梯形）的面積為1.5平方米，計劃在一定時間內完成，按計劃工作2天后，增加了設備，提高了工效，每天比原計劃多挖土6立方米，結果提前4天完成了任務，為原計劃每天挖土多少立方米？【解】：總方數是40×1。5=60設原來每天挖土x，原來天數是60/x2x+(60/x-2-4)×(x+6)=60解得：x=6【例9】：（★★★）有一籃子雞蛋分給若干人，第一人拿走1個雞蛋和余下的1/9，第二人拿走2個和余下的1/9，第三個人拿走3個雞蛋和余下的1/9……，最后恰好分完，并且每人分到的雞蛋數相同。問：共有多少雞蛋？分給幾個人？所以分給了8人。【例10】：（★★★）三角形ABC被分割成6個大小不等的三角形，如圖，求這三角形的總面積？【解】：設其他兩個小三角形的面積分別為X和Y，則解得X=120Y=140總面積為160+60+70+80+120+140=630【例11】：（★★★）現有濃度為15﹪的鹽水400克，老師要求將濃度變成12﹪，某同學由于計算錯誤，加進了110克水，請你利用列方程的方法說明這位同學加進的水是多了還是少了，并指出多加了多少或少加了多少？【解】：設將濃度變成12﹪應該加水為X克，得（400+X）×12﹪=400×15﹪X=100110-100=10克【例12】：（★★★）夏季,為節約用電,常對空調采取調高設定溫度和清洗設備兩種設施.某賓館先把甲乙兩種空調的設定溫度都調高1度,結果甲種空調比乙種空調每天多節電27度,再對乙種空調清洗設備，使得乙種空調每天的總電量是只將溫度調高1度后的節電量的1.1倍,而甲種空調節電量不變.這樣兩種空調每天共節電405度,求只將溫度調高1度后兩種空調每天各節電多少度?【解】：設只將溫度調高1度后，甲乙兩種空調每天各節電X，Y度X-Y=27，X+1.1Y=405X=207Y=180甲乙兩種空調每天各節電207,180度【例13】（★★★）購買10種貨物：A1，A2，A3，……，A10如果在這10種中購買的件數依次是1，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民幣1992元；如果購買的件數依次是1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民幣3000元。那么在這10種貨物中各買一件時，共需人民幣多少元？[思路]：題中給出了十種貨物以及兩種組合搭配的價格，顯然不可能求出每種貨物的單價．因此我們需從所求的十種貨物各一樣為整體出發，觀察數字的特點來求得答案解：設十種貨物的單價分別為x1、x2、．x3、x4……x10元．依題意，有將(1)式乘以2，得(3)(3)式減(2)式，得=984．【例14】（★★★★）六（1）班舉行一次數學測驗，采用5級計分制（5分最高，4分次之，以此類推）。男生的平均成績為4分，女生的平均成績為3.25分，而全班的平均成績為3.6分。如果該班的人數多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測驗？【解】：設該班有x個男生和y個女生，于是有4x+3.25y=3.6（x+y），化簡后得8x=7y。從而全班共有學生在大于30小于50的自然數中，只有45可被15整除，所以推知x＝21，y=24。答：該班有21個男生和24個女生。[教師版選擇補充]：不定方程的“四原則”引言：所謂不定方程，就是未知數的個數多于方程的個數，一般我們在求解的時候主要是討論未知數的取值可能性，但是在討論是我們可以根據題目給出的條件提高解題速度，下面是筆者總結的幾個原則：下面我們以“11屆迎春杯試題”來講解四個原則,題目見下：現商店有7分，4分鉛筆，現花6角錢各買若干只，問兩種鉛筆各買幾只？根據題意，我們很容易得出7x+4y=60，這樣我們來討論解法：[原則一]：系數大的開始討論很容易發現：如果討論x，我們只要討論從1～8總共8種可能取值；如果討論y，我們要討論從1～14總共14種可能取值，所以我們選擇未知數前面系數大的開始討論。[原則二]：奇偶性討論很容易發現：60是個偶數，4y也是個偶數，這樣我們就要求7x也必須是個偶數，所以x只能取偶數，這樣我們只要討論x取2、4、6、8四種取值。[]原則三]：倍數原理我們容易發現，方程中有三個常數60、4、7，這樣我們發現60是4的倍數，4y是4的倍數，這樣7x=60-4y=4（15-y）肯定也是4的倍數，所以x也只能是4的倍數，所以x只能取4、8。[原則四]：尾數原理（運用條件：出現5的倍數）下面我們再來看：9x+5y=735y的尾數只有0、5，如果5y尾數為0，那么9x的尾數只能是3，所以x=7，如果5y尾數為5，那么9x的尾數只能是8，所以x=2。從上面我們可以發現方法得當可以大大減少計算時間，建議學生多練習。附：1、圓珠筆每支5角,彩色日記本每本8角現在有6元3角錢.問圓珠筆和彩色日記本各買多少,才使錢正好用光?答案：圓珠筆11支，筆記本1本。2、六年級某班同學48人到公園里去劃船,如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人,那么需要小船和大船各幾只?(大船小船都有)答案：小船x大船y列方程：3x+5y＝48x，y都是正整數解得：x＝1，y＝9x＝6，y＝6x＝11，y＝33、裝水瓶的盒子有大小兩種,大的能裝7個,小的能裝4個,要把41個水瓶裝入盒內.問需大、小盒子個多少個？答案：設大的x個，小的y個，有：7x+4y=41根據奇偶關系知道：x只能取奇數x=1,y=8.5舍去

x=3,y=5滿足

x=5,y=1.5舍去小結本講方程解題我們沒有按照題型進行分類，因為方程是解題過程中的一種解題方法。【課外知識】哥德巴赫猜想

哥德巴赫（GoldbachC.，1690.3.18~1764.11.20）是德國數學家；在1742年6月7日給歐拉的信中，哥德巴赫提出了一個命題：任何大于5的奇數都是三個素數之和。

但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗都得到了上述結果，但是不可能把所有的奇數都拿來檢驗，需要的是一般的證明，而不是個別的檢驗。"

歐拉回信又提出了另一個命題：任何一個大于2的偶數都是兩個素數之和。但是這個命題他也沒能給予證明。現在通常把這兩個命題統稱為哥德巴赫猜想

二百多年來，盡管許許多多的數學家為解決這個猜想付出了艱辛的勞動，迄今為止它仍然是一個既沒有得到正面證明也沒有被推翻的命題。作業題1、（★★★）若一個長方體的表面積為54厘米2，為了使長方體的體積最大，長方體的長、寬、高各應為多少厘米？【解】：設長、寬、高分別為x，y，z厘米，體積為V厘米3。2（xy＋yz+zx）=54，xy＋yz+zx=27。因為V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx），故當xy=yz=zx即x=y=z=3時，V2有最大值，從而V也有最大值。2、（★★★）A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現要將化肥運往C、D兩村，其中運往C村220噸，D村280噸。已知從A城運往C，D兩村的運價分別是每噸20元和25元，從B城運往C，D兩村的運價分別是每噸15元和22元。某個體戶承包了這項運輸任務，請你幫他算一算，如何調運才能使運費最省？【解】：設A城化肥運往C村x噸，則運往D村（200-x）噸；B城化肥運往C村（220-x）噸，運往D村（80+x）噸，總運費y元，則y=20x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060。又易知0≤x≤200，故當x=0時，運費最省，為10060元。運輸方案如下：A城化肥運往C村0噸，運往D村200噸；B城化肥運往C村220噸，運往D村80噸。3、（★★★）有兩個學生參加4次數學測驗，他們的平均分數不同，但都是低于90分的整數。他們又參加了第5次測驗，這樣5次的平均分數都提高到了90分，求第5次測驗二人的得分（滿分為100分）。【解】：設某一學生前4次的平均分為x分，第5次的得分為y分，則其5次總分為4x+y=5×90=450。于是y=450-4x。顯然90＜y≤100，故90＜450-4x≤100，解得87.5≤x＜90。于是兩個學生前4次的平均分分別為88分和89分。第5次得分分別為450-4×88=98（