第4

章

線性控制系統的計算機輔助分析薛定宇著《控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用》第二版，清華大學出版社，2006CAI課件開發：張望舒哈爾濱工程大學薛定宇東北大學4/19/20251控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統的分析方法充分利用計算機對線性系統進行分析更新系統分析的觀念求解傳統方法難以求解的問題離散系統穩定性如何分析？Nyquist圖、Nichols圖沒有頻率信息，如何彌補？高階系統的根軌跡如何繪制？多變量系統如何進行頻域分析？4/19/20252控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用本章主要內容線性系統定性分析線性系統時域響應解析解法線性系統的數字仿真分析根軌跡分析線性系統頻域分析4/19/20253控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.1線性系統性質分析主要內容線性系統穩定性分析線性反饋系統內部穩定性分析線性系統的相似變換線性系統可控性分析線性系統可觀測性分析Kalman分解系統狀態方程的標準型系統的范數測度及求解4/19/20254控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.1.1線性系統的穩定性分析給定線性系統模型，如何分析穩定性？由控制理論可知，用Routh

表格可以判定該系統穩定性。EdwardJohnRouth(1831-1907)歷史局限性4/19/20255控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用狀態方程系統的穩定性連續線性狀態方程解析階穩定性：矩陣的特征根均有負實部4/19/20256控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用離散系統的穩定性離散系統狀態方程離散系統時域響應解析階穩定性判定：所有特征根均在單位圓內4/19/20257控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Routh

判據的歷史局限性Routh判據提出時，沒有求多項式根的方法現在求解矩陣特征根、求解多項式方程的根輕而易舉，無需間接方法Routh判據只能得出是否穩定，進一步信息得不出來，如系統是否振蕩離散系統無法由Routh方法直接判定，得借助于Jury判據，更復雜穩定性分析方法不統一4/19/20258控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用基于MATLAB的穩定性判定方法直接判定狀態方程模型由

可以求出所有特征根離散系統：傳遞函數模型：完全同樣方法圖解判定法連續系統：離散系統：，同時畫出單位圓4/19/20259控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-1高階系統穩定性判定直接分析方法零極點模型4/19/202510控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-2高階離散單位負反饋系統模型MATLAB求解4/19/202511控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.1.2線性反饋系統的內部穩定性輸入、輸出穩定是不夠的，因為若內部信號可能過大，對系統作硬件破壞應該引入內部穩定性概念，保證內部信號也是穩定的。4/19/202512控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用由給定穩定輸入到內部信號都穩定的系統稱為內部穩定系統傳遞函數矩陣其中逐一判定每個子傳遞函數的穩定性很煩瑣內部穩定性定理4/19/202513控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用內部穩定性定理閉環系統內部穩定的充要條件為沒有不穩定零點沒有不穩定零極點對消第一個條件等效于輸入輸出穩定性判定第2條件即可可以編寫MATLAB函數判定內部穩定性4/19/202514控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用判定的MATLAB函數4/19/202515控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.1.3線性系統的線性相似變換系統的狀態方程表示稱為系統實現不同狀態選擇下，狀態方程不惟一相似變換非奇異矩陣狀態變換新狀態方程模型4/19/202516控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用狀態變換公式MATLAB求解方法4/19/202517控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-3已知系統和轉換矩陣MATLAB求解4/19/202518控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用變換結果可見，相似變換能改變系統的結構引入相似變換矩陣，可以將已知系統轉換成其他的形式4/19/202519控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.1.4線性系統的可控性分析可控性定義

系統的可控性就是指系統內部的狀態是不是可以由外部輸出信號控制的性質，4/19/202520控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用線性系統的可控性判定可控性判定矩陣

基于MATLAB的判定方法構造可控性判定矩陣4/19/202521控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-4離散狀態方程的可控性MATLAB求解4/19/202522控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用判定矩陣判定矩陣構造方法這樣的判定方法同樣適合于連續系統和離散系統。也適用于多變量模型4/19/202523控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用由Gram矩陣判定可控性引入可控Gram矩陣該矩陣滿足Lyapunov

方程MATLAB求解矩陣構造4/19/202524控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-5求Gram矩陣MATLAB命令Gram矩陣4/19/202525控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用可控性階梯分解對于不完全可控的系統階梯分解階梯標準型MATLAB函數調用若原系統狀態方程完全可控，則不必分解4/19/202526控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-6不完全可控系統4/19/202527控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.1.5線性系統的可觀測性分析可觀測性定義

系統的可觀測性就是指系統內部的狀態是不是可以由系統輸出信號重建起來的性質4/19/202528控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用可觀測性判定判定矩陣等同于系統可控性判定Gram矩陣MATLAB求解4/19/202529控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Gram矩陣滿足Lyapunov

方程對偶問題4/19/202530控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.1.6Kalman

規范分解Kalman

規范分解4/19/202531控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用子空間示意圖4/19/202532控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.1.6系統狀態方程標準型的MATLAB求解常用標準型單變量系統的標準型MATLAB默認的標準型可控標準型實現可觀測標準型實現和Jordan標準型實現多變量系統Leunberge

標準型側重點：如何用MATLAB直接獲取標準型4/19/202533控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用單變量系統的標準型可控標準型可觀測標準型4/19/202534控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用可控可觀測標準型轉換4/19/202535控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用可控標準型和可觀測標準型，對偶關系4/19/202536控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Jordan標準型

MATLAB變換4/19/202537控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用多變量系統的Leunberge

標準型由可控性判定矩陣構造矩陣4/19/202538控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用得出Leunberge

變換矩陣編寫leunberge.m

函數4/19/202539控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB函數清單4/19/202540控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4/19/202541控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用標準型的變換方法總結可控標準型可觀測標準型Jordan標準型Leunberge

標準型4/19/202542控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-7求解可觀測標準型標準型4/19/202543控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-8已知模型4/19/202544控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.1.7系統的范數測度及求解系統也有范數

4/19/202545控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用離散系統的范數定義范數的MATLAB求解4/19/202546控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-9已知離散系統模型4/19/202547控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.2線性系統時域響應解析解法給線性系統一個激勵信號，輸出是什么？有兩大類方法解析解方法求解微分方程、差分方程解析解數值解方法主要內容基于狀態方程的解析解方法基于傳遞函數部分方式展開的解析解方法二階系統的解析解方法4/19/202548控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.2.1基于狀態方程的解析解方法狀態方程模型解析解求解難點4/19/202549控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用狀態增廣方法消除B矩陣，變成自治系統

增廣狀態方程自治系統可以直接求解析解4/19/202550控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用一般輸入信號的系統增廣一般輸入信號模型引入增廣狀態變量4/19/202551控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用增廣狀態方程模型其中解析解4/19/202552控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB實現函數4/19/202553控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用調用格式信號描述4/19/202554控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-10連續系統模型初值輸入信號求解析解4/19/202555控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統增廣增廣模型4/19/202556控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用解析解求解解析解求解結果穩定性4/19/202557控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.2.2基于部分分式展開方法求解連續系統的解析解法

無重根時部分方式展開4/19/202558控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用由Laplace

反變換求解析解有重根時相應項的解析解為4/19/202559控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用部分分式的MATLAB求解例4-11輸入信號為階躍信號輸出信號計算4/19/202560控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB求解解析解解析解精確值4/19/202561控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-12帶有復數極點的系統階躍響應解析解解析解4/19/202562控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用解析解的進一步化簡基于Euler公式的化簡其中新MATLAB函數

4/19/202563控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用新MATLAB函數清單4/19/202564控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-13仍考慮MATLAB求解解析解4/19/202565控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用基于Laplace

變換的求解參附錄A步驟：定義符號變量描述原函數表達式調用laplace()函數或ilaplace()函數求解結果化簡，如simple()函數求解舉例4/19/202566控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例1MATLAB求解解析解4/19/202567控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例2MATLAB求解解析解4/19/202568控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用離散系統的解析解法Z變換無重根時部分分式展開解析解4/19/202569控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用考慮采樣周期例4-144/19/202570控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用輸出信號解析解Z變換求解步驟定義符號變量調用iztrans()函數求解化簡4/19/202571控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用利用符號運算工具箱求解求解結果方法更規范，結果更簡單4/19/202572控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用有重根問題的解析解部分分式表達式的Z反變換例4-15部分分式展開4/19/202573控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用部分分式展開解析解4/19/202574控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用符號運算求解解析解更直觀，不建議用前者求解，而直接采用Z變換的符號運算方法求解4/19/202575控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用時間延遲系統的解析解法

例4-164/19/202576控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用無延遲解析解有延遲解析解4/19/202577控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.2.3二階系統的階躍響應及

階躍響應指標二階系統模型閉環模型記則4/19/202578控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用階躍響應的解析解無阻尼振蕩欠阻尼振蕩臨界阻尼振蕩過阻尼振蕩4/19/202579控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用二階系統階躍響應曲線4/19/202580控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用利用圖形繪制功能，從新角度研究同樣的問題三維曲面繪制4/19/202581控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用階躍響應指標超調量穩態值上升時間調節時間好的伺服控制系統，應該具有穩態誤差小或沒有穩態誤差、超調量小或沒有超調量、上升時間短、調節時間短等性能4/19/202582控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.3線性系統的數字仿真分析線性系統的解析解可以求解的條件4階以上的系統需要求解4階以上的多項式方程，根據Abel定理，無解析解。解析解和數值解結合實際應用需要數值解，需要階躍響應曲線主要內容線性系統的階躍響應與脈沖響應任意輸入下系統的響應降階模型的時域分析及比較4/19/202583控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.3.1線性系統的階躍響應與脈沖響應階躍響應曲線繪制函數多系統曲線繪制4/19/202584控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-17延遲系統MATLAB語句利用MATLAB提供的功能，可以從曲線上得到更多的信息，如超調量等4/19/202585控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB求解解析解解析解數值解精度比較4/19/202586控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-18離散化采樣周期求解得出的曲線可以比較4/19/202587控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用ZOH變換Tustin變換，不同采樣周期4/19/202588控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-19多變量系統，階躍響應

MATLAB求解語句4/19/202589控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統藕合的概念靜態前置補償矩陣不能直接乘法運算Pade

近似4/19/202590控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用補償后系統的模型解藕效果還可以使得多變量系統能直接設計，在設計前必須解藕。后面將介紹解藕的頻域方法4/19/202591控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統的脈沖響應曲線MATLAB下的impulse()函數與step()函數調用結構完全一致MATLAB求解可以容易地研究系統的脈沖響應曲線4/19/202592控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.3.2任意輸入下系統的響應可以利用step()和impulse()函數求解輸出信號計算如R(s)已知，則可以直接求解例4-20斜坡響應4/19/202593控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用

MATLAB求解其他輸入的響應可以由lsim()函數求取4/19/202594控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-21多變量系統輸入信號MATLAB求解4/19/202595控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用多變量系統的時域響應可以這樣求解比較容易理解曲線含義4/19/202596控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.3.3降階模型的時域分析及比較前面介紹了降階方法，但未比較效果例4-22MATLAB求解4/19/202597控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-23非最小相位系統MATLAB求解降階模型4/19/202598控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.4根軌跡分析

單位負反饋閉環系統特征方程對K的不同取值，則可能繪制出每個特征根變化的曲線，這樣的曲線稱為系統的根軌跡。根軌跡用開環信息研究閉環特性4/19/202599控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB求解該函數可以用于單變量不含有時間延遲的連續、離散系統的根軌跡繪制，也可以用于帶有時間延遲的單變量離散系統的根軌跡繪制。4/19/2025100控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-24開環系統MATLAB求解如何求解臨界增益？閉環系統穩定性如何變化4/19/2025101控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-25根軌跡求解求出阻尼在處的增益臨界增益處階躍響應4/19/2025102控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-26離散系統根軌跡根軌跡繪制4/19/2025103控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-27離散系統模型MATLAB求解臨界增益求取4/19/2025104控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用帶延遲的離散系統根軌跡假設延遲為6步，則可以求臨界增益延遲系統臨界增益減小4/19/2025105控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-28延遲狀態方程無延遲系統根軌跡4/19/2025106控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用延遲系統用Pade

近似處理例4-29正反饋系統MATLAB求解4/19/2025107控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.5線性系統頻域分析頻域分析

Nyquist1932Bode，Nichols提出的新圖形方法主要內容單變量系統的頻域分析利用頻率特性分析系統的穩定性系統的幅值裕度和相位裕度多變量系統的頻域分析4/19/2025108控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.5.1單變量系統的頻域分析

三種表示方法

實部與虛部關系曲線即為Nyquist

圖

Nyquist

圖的缺陷：無對應頻率信息

橫軸對數坐標rad/s，縱軸分貝、度，Bode圖幅值與相位關系，Nichols圖，無頻率信息4/19/2025109控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用

Nyquist

曲線繪制

grid命令繪制等M和等N圓4/19/2025110控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Bode圖繪制Nichols圖由nichols()函數繪制可以同樣處理連續、離散、延遲、多變量系統，格式不變4/19/2025111控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-30開環傳遞函數Nyquist

曲線繪制MATLAB曲線特色讀取頻率信息；頻率范圍4/19/2025112控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Bode圖繪制快捷菜單讀取特性

Nichols圖的繪制用鼠標讀取頻率信息彌補了傳統Nichols圖的不同其他頻域響應曲線4/19/2025113控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-31對下面模型離散化，MATLAB求解不同采樣周期的離散模型Bode圖4/19/2025114控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-32離散系統

Nyquist

圖與Nichols圖4/19/2025115控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-33延遲系統模型MATLAB求解4/19/2025116控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.5.2利用頻率特性分析系統

的穩定性

Nyquist

定理可以進一步解釋為

4/19/2025117控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用

可以用開環的系統模型，繪制Nyquist

圖并以此分析閉環系統的穩定性。4/19/2025118控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-34Nyquist

圖閉環階躍響應4/19/2025119控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.5.3系統的幅值裕度和相位裕度幅值裕度和相位裕度相位裕度幅值裕度4/19/2025120控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用穩定性裕度分析如果系統的Nyquist

圖不與負實軸相交，則系統的幅值裕度為無窮大。

如果系統的Nyquist

圖不與單位圓相交，則系統的相位裕度為無窮大。4/19/2025121控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用如果系統的Nyquist

圖在第三象限與單位圓有若干個交點，則系統的相位裕度以與離負實軸最近的為準。MATLAB求解方法如果某個裕度為無窮大，則返回Inf，相應的頻率值為NaN。4/19/2025122控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-35MATLAB求解

由于幅相裕度小，系統閉環響應有強振蕩4/19/2025123控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用4.5.4多變量系統的頻域分析例4-36多變量系統的Nyquist圖用nyquist

函數直接求解4/19/2025124控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用多變量系統分析概述前面的Nyquist

圖對多變量系統分析沒有太大幫助，所以一般不采用這樣的方法英國學派的頻域方法SirHowardHRosenbrock教授提出的逆Nyquist

陣列的方法(INA方法)劍橋大學SirMacFarlane教授特征軌跡方法帝國理工SirDQMayne

教授序貫設計方法

Sheffield大學的Owens教授的并矢算法4/19/2025125控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MFD工具箱英國劍橋大學的Maciejowski

教授開發基于MATLAB的工具箱多變量系統的描述還可以用傳遞函數描述，但需要已知公分母。所以過程煩瑣。可以求出系統的傳遞函數矩陣模型4/19/2025126控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-37多變量模型傳遞函數矩陣變換4/19/2025127控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用得出公分母分子矩陣用這樣的方法可以得出傳遞函數矩陣模型可以得出MFD能使用的模型4/19/2025128控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用對角優勢分析多變量頻域分析的最重要內容是系統模型是不是解藕的模型，如果不是則需要變換如何判定是否解藕？

閉環系統傳遞函數矩陣回差矩陣4/19/2025129控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用利用回差矩陣的逆矩陣性質，所以在頻域分析中用逆的Nyquist

矩陣分析更方便

Rosenbrock

教授采用逆Nyquist

陣列方法單變量系統，Nyquist

圖是研究包圍

(-1,j0)點的周數來研究穩定性的多變量回差矩陣，研究包圍(0,j0)點的情形

Gershgorin

定理可以分析對角占優性質，從而對系統的藕合進行分析，可以用于多變量系統的分析4/19/2025130控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Gershgorin

定理復數矩陣

對角占優矩陣4/19/2025131控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用

進一步減小半徑4/19/2025132控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用假設在w下，多變量系統前向回路INA為

Gershgorin

帶，對不同的w值若對全部的w來說，各個對角元素的Gershgorin帶均不包含圓心，則稱原系統為對角占優系統。顯而易見，對角優勢矩陣的特征根不位于原點處，則單位反饋的閉環系統是穩定的。4/19/2025133控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB求解

MFD工具箱的頻域響應數據

INA繪制4/19/2025134控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB函數編寫4/19/2025135控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用由該函數可以直接繪制多變量系統的INA圖，并分析其對角占優性質。采用更小的半徑，非傳統半徑。4/19/2025136控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-38多變量模型MATLAB求解4/19/2025137控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用前置補償矩陣MATLAB求解對角占優性質明顯4/19/2025138控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用其他頻域響應數據生成方法

其他4/19/2025139控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例4-39多變量延遲系統

MATLAB求解4/19/2025140控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用

校正后特性繪制

Gershgorin

帶的穩定性判定定理4/19/2025141控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用多變量系統的穩定性4/19/2025142控制系統計算機輔助設計---MATLAB語言與應用多變量系統的奇異值曲線繪制單變量系統有Bode圖，多變量系統能否采用這樣的方法分析？

傳遞函數矩陣的奇異值可以作為軌跡繪制出來，稱為奇異值曲線奇異值曲線是多變量系統魯棒控制中的重要指標，由sigma()函數繪制4/19/2025143控制系統計算機輔助設計---MAT