1.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理(3)復習回想:兩個計數原理的內容是什么?解決兩個計數原理問題需要注意什么問題?有哪些技巧?例1一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數字，這4個撥號盤能夠構成多少個四位數字號碼？N＝10×10×10×10＝10000（種）例2要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？第一步：選1人上日班；第二步：選1人上晚班.有3種辦法有2種辦法N＝3×2＝6（種）例3某班有5人會唱歌，另有4人會跳舞，尚有2人能歌善舞，從中任選1人表演一種節目，共可表演多少個節目？N＝5＋4＋2×2＝13（種）第1類：從會唱歌者中選1人唱歌；第2類：從會跳舞者中選1人跳舞；第3類：從能歌善舞者中選1人唱歌 或跳舞；

例4從5人中選4人參加數、理、化學科競賽，其中數學2人，理、化各1人，求共有多少種不同的選法？數學2人化學1人物理1人5種4種3種N＝5×4×3＝60（種）

例4有架樓梯共6級，每次只允許上一級或兩級，求上完這架樓梯共有多少種不同的走法？第1類：走3步第2類：走4步第3類：走5步第4類：走6步1種走法6種走法5種走法1種走法N＝1＋6＋5＋1＝13（種）例6由數字0，1，2，3，4，5能夠構成多少個無重復數字的三位數？百位十位個位5種4種5種N＝5×5×4＝100（種）

例7在1，2，3，…，200這些自然數中，各個數位上都不含數字8的自然數共有多少個？不含8的一位數不含8的二位數不含8的三位數8個8×9=72個9×9+1=82個N＝8＋72＋82＝162（個）例8用5種不同顏色給圖中A，B，C，D四個區域涂色，每個區域只涂一種顏色，相鄰區域的顏色不同，求共有多少種不同的涂色方法？ADCBN＝5×4×3×3＝180（種）5433例9將一種四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點顏色不同，如果只有5種顏色可供使用，求共有多少種不同的染色辦法？SDCBA涂S點涂A點涂D點涂B、C點5437N＝5×4×3×7＝420（種）

例10從－3，－2，－1，0，1，2，3中任取三個不同的數作為拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的系數，如果拋物線過原點，且頂點在第一象限，問這樣的拋物線共有多少條？c取值a取值b取值1種3種3種N＝3×3×1＝9（種）c＝1a＜0b＞0例11某4名田徑運動員報名參加100m，200m和400m三項短跑比賽.（1）每人限報1個項目，共有多少種不同的報名辦法？（2）每人最少報1個項目，且每個項目限報1人，共有多少種不同的報名辦法？（1）34＝81種；（2）43＝96種.例12630的正約數（涉及1和630）共有多少個？630＝2×32×5×7正約數:2a×3b×5c×7d

2×3×2×2＝24（個）例13將20個大小相似的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，規定每個盒子內的球數不不大于該盒子的編號數，求共有多少種不同的放法？15＋14＋…＋2＋1＝120（種）例14某電視節目中有A、B兩個信箱，分別寄存著先后兩次競猜中入圍的觀眾來信，其中A信箱中有30封來信，B信箱中有20封來信.現由主持人從A信箱或B信箱中抽取1名幸運觀眾，再由該幸運觀眾從A、B兩個信箱中各抽取1名幸運伙伴，求共有多少種不同的可能成果？30×29×20＋20×19×30＝17400＋11400＝28800（種）練習：三個比賽項目，六人報名參加。１）每人參加一項有多少種不同的辦法？２）每項１人，且每人至多參加一項，有多少種不同的辦法？３）每項１人，每人參加的項數不限，有多少種不同的辦法？例1用0,1,2,3,4,5這六個數字,(1)能夠構成多少個各位數字不允許重復的三位的奇數?(2)能夠構成多少個各位數字不重復的不大于1000的自然數?(3)能夠構成多少個不不大于3000,不大于5421且各位數字不允許重復的四位數?升華發展一、排數字問題1、將數字1,2,3,4,填入標號為1,2,3,4的四個方格里,每格填一種數字,則每個格子的標號與所填的數字均不同的填法有_____種引申:１號方格里可填２，３，４三個數字，有３種填法。１號方格填好后，再填與１號方格內數字相似的號的方格，又有３種填法，其它兩個方格只有１種填法。因此共有3*3*1=9種不同的辦法。二、映射個數問題:例2設A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},從A到B共有多少種不同的映射?三、染色問題:例3有n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色,規定在①②③④四個區域中相鄰(有公共邊界)區域中不用同一種顏色.(1)若n=6,為(1)著色時共有多少種辦法?(2)若為(2)著色時共有120種不同辦法,求n①③①④③④②②(1)(2) ２、如圖,要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？解:按地圖A、B、C、D四個區域依次分四步完畢,第一步,m1=3種,第二步,m2=2種,第三步,m3=1種,第四步,m4=1種,因此根據乘法原理,得到不同的涂色方案種數共有N=3×2×1×1=6種。２、如圖,要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？若用2色、4色、5色等,成果又如何呢？

答:它們的涂色方案種數分別是0、4×3×2×2=48、5×4×3×3=180種等。思考：３.如圖,用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區域涂色,規定一個區域只涂一種顏色,相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有

種。ABCD分析：如圖，A、B、C三個區域兩兩相鄰，A與D不相鄰，因此A、B、C三個區域的顏色兩兩不同，A、D兩個區域能夠同色，也能夠不同色，但D與B、C不同色。由此可見我們需根據A與D同色與不同色分成兩大類。解：先分成兩類：第一類，D與A不同色，可分成四步完畢。第一步涂A有5種辦法，第二步涂B有4種辦法；第三步涂C有3種辦法；第四步涂D有2種辦法。根據分步計數原理，共有5×4×3×2＝120種辦法。根據分類計數原理，共有120+60＝180種辦法。第二類，A、D同色，分三步完畢，第一步涂A和D有5種辦法，第二步涂B有4種辦法；第三步涂C有3種辦法。根據分步計數原理，共有5×4×3＝60種辦法。４、某都市在中心廣場建造一種花圃，花圃分為6個部分（如右圖）現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種辦法有______種.（以數字作答）（1）②與⑤同色，則③⑥也同色或④⑥也同色，因此共有N1=4×3×2×2×1=48種；因此，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120種.（2）③與⑤同色，則②④或⑥④同色，因此共有N2=4×3×2×2×1=48種；（3）②與④且③與⑥同色，則共N3=4×3×2×1=24種

解法一：從題意來看6部分種4種顏色的花，又從圖形看知必有2組同顏色的花，從同顏色的花入手分類求6、將３種作物種植在如圖所示的５塊實驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的實驗田不能種植同一種作物，不同的種植辦法共有種（以數字作答）425、如圖，是5個相似的正方形，用紅、黃、藍、白、黑5種顏色涂這些正方形，使每個正方形涂一種顏色，且相鄰的正方形涂不同的顏色。如果顏色可重復使用，那么共有多少種涂色辦法？四、子集問題規律：n元集合的不同子集有個。例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集個數為

，真子集個數為

，非空子集個數為

，非空真子集個數為

。五、綜合問題:例4若直線方程ax+by=0中的a,b能夠從0,1,2,3,4這五個數字中任取兩個不同的數字,則方程所示的不同的直線共有多少條?２、75600有多少個正約數?有多少個奇約數?解:由于75600=24×33×52×775600的每個約數都可以寫成的形式,其中,,,

于是,要擬定75600的一種約數,可分四步完畢,即i,j,k,l分別在各自的范疇內任取一種值,這樣i有5種取法,j有4種取法,k有3種取法,l有2種取法,根據分步計數原理得約數的個數為5×4×3×2=120個.解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類辦法,從局部上看每類又需兩步完畢,因此,第一類,m1=1×2=2條第二類,