高一數學必修1各章知識點總第一章集合與函數概念一、集合有關概念集合的含義集合的中元素的三個特性：元素確實定性如：世界上最高的山元素的互異性如：由HAPPY的字母構成的集合{H,A,P,Y}元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表達同一種集合3.集合的表達：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表達集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}集合的表達措施：列舉法與描述法。注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）記作：N正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R列舉法：{a,b,c……}描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表達集合的措施。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn圖:4、集合的分類：有限集具有有限個元素的集合無限集具有無限個元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合間的基本關系1.“包括”關系—子集注意：有兩種也許（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包括于集合B,或集合B不包括集合A,記作AB或BA2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相似則兩集合相等”即：①任何一種集合是它自身的子集。AA②真子集:假如AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③假如AB,BC,那么AC④假如AB同步BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，具有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算類型交集并集補集定義由所有屬于A且屬于B的元素所構成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所構成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．設S是一種集合，A是S的一種子集，由S中所有不屬于A的元素構成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）SA記作，即SACSA=韋恩圖示SSA性質AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．例題：1.下列四組對象，能構成集合的是（）A某班所有高個子的學生B著名的藝術家C一切很大的書D倒數等于它自身的實數2.集合{a，b，c}的真子集共有個3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關系是.4.設集合A=，B=，若AB，則的取值范圍是5.50名學生做的物理、化學兩種試驗，已知物理試驗做得對的得有40人，化學試驗做得對的得有31人，兩種試驗都做錯得有4人，則這兩種試驗都做對的有人。6.用描述法表達圖中陰影部分的點（含邊界上的點）構成的集合M=.7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數的有關概念1．函數的概念：設A、B是非空的數集，假如按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一種數x，在集合B中均有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一種函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．注意：1．定義域：能使函數式故意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的重要根據是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不不不小于零；(3)對數式的真數必須不小于零；(4)指數、對數式的底必須不小于零且不等于1.(5)假如函數是由某些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分均故意義的x的值構成的集合.(6)指數為零底不可以等于零，(7)實際問題中的函數的定義域還要保證明際問題故意義.相似函數的判斷措施：①體現式相似（與表達自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致(兩點必須同步具有)(見書本21頁有關例2)2．值域:先考慮其定義域(1)觀測法(2)配措施(3)代換法3.函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法描點法：圖象變換法常用變換措施有三種平移變換伸縮變換對稱變換4．區間的概念（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間（2）無窮區間（3）區間的數軸表達．5．映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，假如按某一種確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一種元素x，在集合B中均有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一種映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：A→B來說，則應滿足：(1)集合A中的每一種元素，在集合B中均有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不一樣的元素，在集合B中對應的象可以是同一種；(3)不規定集合B中的每一種元素在集合A中均有原象。6.分段函數(1)在定義域的不一樣部分上有不一樣的解析體現式的函數。(2)各部分的自變量的取值狀況．(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補充：復合函數假如y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。二．函數的性質1.函數的單調性(局部性質)（1）增函數設函數y=f(x)的定義域為I，假如對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，均有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.假如對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2時，均有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局部性質；（2）圖象的特點假如函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區間與單調性的鑒定措施(A)定義法：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)變形（一般是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,4)定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；eq\o\ac(○,5)下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數的單調性復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性親密有關，其規律：“同增異減”注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相似的區間和在一起寫成其并集.8．函數的奇偶性（整體性質）（1）偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一種x，均有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．（2）．奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一種x，均有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．（3）具有奇偶性的函數的圖象的特性偶函數的圖象有關y軸對稱；奇函數的圖象有關原點對稱．運用定義判斷函數奇偶性的環節：eq\o\ac(○,1)首先確定函數的定義域，并判斷其與否有關原點對稱；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關系；eq\o\ac(○,3)作出對應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數．注意：函數定義域有關原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域與否有關原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義鑒定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來鑒定;(3)運用定理，或借助函數的圖象鑒定.9、函數的解析體現式（1）.函數的解析式是函數的一種表達措施，規定兩個變量之間的函數關系時，一是規定出它們之間的對應法則，二是規定出函數的定義域.（2）求函數的解析式的重要措施有：湊配法待定系數法換元法消參法10．函數最大（小）值（定義見書本p36頁）eq\o\ac(○,1)運用二次函數的性質（配措施）求函數的最大（小）值eq\o\ac(○,2)運用圖象求函數的最大（小）值eq\o\ac(○,3)運用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：假如函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；假如函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：1.求下列函數的定義域：⑴⑵2.設函數的定義域為，則函數的定義域為__3.若函數的定義域為，則函數的定義域是4.函數，若，則=5.求下列函數的值域：⑴⑵(3)(4)6.已知函數，求函數，的解析式7.已知函數滿足，則=。8.設是R上的奇函數，且當時,,則當時=在R上的解析式為9.求下列函數的單調區間：⑴⑵⑶10.判斷函數的單調性并證明你的結論．11.設函數判斷它的奇偶性并且求證：．第二章基本初等函數一、指數函數（一）指數與指數冪的運算1．根式的概念：一般地，假如，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當是奇數時，，當是偶數時，2．分數指數冪正數的分數指數冪的意義，規定：，0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒故意義3．實數指數冪的運算性質（1）·；（2）；（3）．（二）指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R．注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．2、指數函數的圖象和性質a>10<a<1定義域R定義域R值域y＞0值域y＞0在R上單調遞增在R上單調遞減非奇非偶函數非奇非偶函數函數圖象都過定點（0，1）函數圖象都過定點（0，1）注意：運用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，則；取遍所有正數當且僅當；

（3）對于指數函數，總有；二、對數函數（一）對數1．對數的概念：一般地，假如，那么數叫做認為底的對數，記作：（—底數，—真數，—對數式）闡明：eq\o\ac(○,1)注意底數的限制，且；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)注意對數的書寫格式．兩個重要對數：eq\o\ac(○,1)常用對數：以10為底的對數；eq\o\ac(○,2)自然對數：以無理數為底的對數的對數．指數式與對數式的互化冪值真數＝N＝b底數指數對數（二）對數的運算性質假如，且，，，那么：eq\o\ac(○,1)·＋；eq\o\ac(○,2)－；eq\o\ac(○,3)．注意：換底公式 （，且；，且；）．運用換底公式推導下面的結論（1）；（2）．（二）對數函數1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．注意：eq\o\ac(○,1)對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．eq\o\ac(○,2)對數函數對底數的限制：，且．2、對數函數的性質：a>10<a<1定義域x＞0定義域x＞0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數圖象都過定點（1，0）函數圖象都過定點（1，0）（三）冪函數1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數．2、冪函數性質歸納．（1）所有的冪函數在（0，+∞）均有定義并且圖象都過點（1，1）；（2）時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數．尤其地，當時，冪函數的圖象下凸；當時，冪函數的圖象上凸；（3）時，冪函數的圖象