3.4實際問題與一元一次方程（單元教學設計）一、【單元目標】本節課通過以生活中常見的一個問題展開，提高學生的興趣，讓學生們認識到數學知識與我們的實際生活息息相關．然后通過例題教學，為學生提供了探索空間，通過猜測、驗證、質疑、討論、解疑等一系列活動，充分調動學生學習的積極性．讓學生在實踐中獲得解決問題的方法，得到學習的樂趣．（1）從和我們的生活息息相關的利潤問題入手，讓學生在具體情境中感受到數學在生活實際中的應用，從而激發他們學習數學的興趣．根據“實際售價＝進價＋利潤”等數量關系列一元一次方程解決與打折銷售有關的實際問題．審清題意，找出等量關系是解決問題的關鍵．另外，商品經濟問題的題型很多，讓學生觸類旁通，達到舉一反三，靈活的運用有關的公式解決實際問題，提高學生的解題能力；（2）通過小組合作探究，讓學生參與教學過程，加深對基礎概念的理解，提升了學生的數學抽象素養，進一步發展了學生的類比推理素養；（3）通過典型例題的訓練，加強學生的做題技巧，訓練做題的方法，提升學生的邏輯推理素養；（4）在師生共同思考與合作下，學生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉化的數學思想，同時提升了學生的數學抽象素養，并發展了學生的邏輯推理素養；二、【單元知識結構框架】1．配套問題：找出等量關系2．工程問題：(1)工程總量＝效率×時間．(2)各部分的工程和＝工作總量＝1.銷售問題中的兩個基本關系式：(1)利潤＝售價－進價；(2)利潤率＝eq\f(利潤,商品進價)×100%.(1)式中等式左邊的“利潤”若為正，就是盈利；若為負，就是虧損．(2)式還可以變形為利潤率×進價＝售價－進價．1．球類比賽中的積分問題2．表格信息類問題3．方案選擇性問題4．分段計費問題三、【學情分析】1．認知基礎本節知識是比較重要的，需要學生將題目中的數量關系找出來列出方程，并用一元一次方程的解法來解方程，最后還需要驗證一下答案；方程是解決實際問題的重要方法之一，一定要學會找數量關系，同時解方程也很重要；2.認知障礙不同的實際問題，解決思路是不一樣的，同時還要考慮到實際問題的存在性，即所求的結果是否符號具體情況，如果不符合，要進行排除；另外就是有一些實際問題是需要進行分類討論的，根據題意的分析，合理的進行分類，是解決此類問題的重要方法；四、【教學設計思路/過程】課時安排：約4課時教學重點：體會一元一次方程與實際生活的密切聯系，加強數學建模思想的應用意識；理解商品銷售中的進價、售價、標價、折扣、利潤、利潤率等數量之間的關系；學會解決信息圖表問題的方法；驗建立方程模型解決問題的一般過程；教學難點：培養運用一元一次方程分析和解決實際問題的能力．根據“實際售價＝進價＋利潤”等數量關系列一元一次方程解決與打折銷售有關的實際問題．經歷探索球賽積分中數量關系的過程，進一步體會方程是解決實際問題的數學模型．體會分類思想和方程思想，增強應用意識和應用能力．；五、【教學問題診斷分析】【情景引入1】近來我們市要修一條公路，公路大約長120千米，今天一早，有兩個工程隊找到了局長，甲工程隊說：“包給我們，保證30天完成”；乙工程隊說：“包給我們，保證20天就完成”．如果你是局長，會怎么辦呢？【情景引入2】1．展現日常生活中的銷售實例，學生回憶知識．打折后的商品售價＝商品的原標價×折扣數．2．展示常用數量關系：①利潤＝售價－進價；②利潤率＝利潤/進價×100%；③利潤＝進價×利潤率；④售價＝進價＋利潤＝進價＋進價×利潤率．【情景引入3】某次男籃聯賽常規賽最終積分榜：隊員比賽場次勝場負場積分前進1410424東方1410424光明149523藍天149523雄鷹147721遠大147721衛星1441018鋼鐵1401414問題1：從這張表格中，你能得到什么信息？問題2：這張表格中的數據之間有什么樣的數量關系？問題3：請你說出積分規則．(既勝一場得幾分？負一場得幾分？)你是怎樣知道這個比賽的積分規則的？【情景引入4】在科技迅猛發展的今天，移動電話成為了人們生活中非常普及的通訊工具，選擇經濟實惠的資費方式成為了我們所關心而且具有實際意義的問題，你知道你的家人都選擇了哪種資費嗎？3.4.1產品配套問題與工程問題某車間有工人660名，生產一種由一個螺栓和兩個螺母組成的配套產品，每人每天平均生產螺栓14個或螺母20個．如果你是這個車間的車間主任，你應分配多少人生產螺栓，多少人生產螺母，才能使生產出的螺栓和螺母剛好配套？【破解方法】此題考查了一元一次方程的應用，得到螺栓和螺母數量的等量關系是解決本題的關鍵．【解析】本題找出等量關系為：生產的螺栓數×2＝生產的螺母數，把相關的代數式代入即可列方程．解：設分配x人生產螺栓，(660－x)人生產螺母，依題意得14x×2＝(660－x)×20，解得x＝275，∴660－x＝385.答：應分配385人生產螺母，275人生產螺栓．問題2：（工程問題）一個道路工程，甲隊單獨施工9天完成，乙隊單獨做24天完成．現在甲乙兩隊共同施工3天，因甲另有任務，剩下的工程由乙隊完成，問乙隊還需幾天才能完成？【破解方法】找到等量關系是解決問題的關鍵．本題主要考查的等量關系為：工作效率×工作時間＝工作總量，當題中沒有一些必須的量時，為了簡便，應設其為1.【解析】首先設乙隊還需x天才能完成，由題意可得等量關系：甲隊干三天的工作量＋乙隊干(x＋3)天的工作量＝1，根據等量關系列出方程，求解即可．解：設乙隊還需x天才能完成，由題意得eq\f(1,9)×3＋eq\f(1,24)(3＋x)＝1，解得x＝13.答：乙隊還需13天才能完成．3.4.2銷售中的盈虧問題問題3：（打折銷售問題）某商品的零售價是900元，為適應競爭，商店按零售價打9折(即原價的90%)，并再讓利40元銷售，仍可獲利10%，求該商品的進價．【破解方法】(1)在解決實際問題時，要認真審題，如不打折時，售價＝標價，打折時，售價＝標價×打折率；(2)在以上公式中，只要知道其中的兩個量，便能求出另一個量．【解析】實際售價是(900×90%－40)元，設該商品進價為每件x元，根據實際售價(不同表示法)相等列方程求解．解：設該商品的進價為每件x元，依題意，得900×0.9－40＝10%x＋x，解得x＝700.答：該商品的進價為700元．問題4：（商品利潤）某天，一蔬菜經營戶用114元從蔬菜批發市場購進黃瓜和土豆共40kg到菜市場去賣，黃瓜和土豆這天的批發價和零售價(單位：元/kg)如下表所示：品名 批發價 零售價黃瓜 2.4 4土豆 3 5(1)他當天購進黃瓜和土豆各多少千克？(2)如果黃瓜和土豆全部賣完，他能賺多少錢？【破解方法】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．用到的知識點是：單價×數量＝總價，售價－進價＝利潤．【解析】(1)設他當天購進黃瓜x千克，則土豆為(40－x)千克，根據黃瓜的批發價是2.4元，土豆批發價是3元，共花了114元，列出方程，求出x的值，即可求出答案；(2)根據(1)得出的黃瓜和土豆的千克數，再求出每千克黃瓜和土豆賺的錢數，即可求出總的賺的錢數．解：(1)設他當天購進黃瓜x千克，則土豆為(40－x)千克，根據題意得2.4x＋3(40－x)＝114，解得x＝10，則土豆為40－10＝30(千克)．答：他當天購進黃瓜10千克，土豆30千克；(2)根據題意得(4－2.4)×10＋(5－3)×30＝16＋60＝76(元)．答：黃瓜和土豆全部賣完，他能賺76元．3.4.3球賽積分表問題問題5：（球類比賽中的積分問題）下面是某次籃球聯賽積分表，請同學們認真觀察后回答問題.隊名比賽場次) 勝場 負場 積分A 16 12 4 28B 16 12 4 28C 16 10 6 26D 16 10 6 26E 16 8 8 24F 16 8 8 24G 16 4 12 20H 16 0 16 16(1)用式子表示總積分與勝、負場數之間的數量關系；(2)某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎？并說明理由．【破解方法】解答本題的關鍵是根據表格得出勝一場、負一場各自所得的積分．【解析】(1)如果一個隊勝x場，根據比賽場次為16次，從而可得出負(16－x)場，再根據積分＝勝場積分＋負場的積分即可求解；(2)根據等量關系：某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分得出方程，解出x的值后結合實際進行判斷即可．解：(1)由H隊得分可知，負一場積1分，再根據表中其他隊比分可知勝一場積2分，如果一個隊勝x場，則負(16－x)場，勝場積分為2x分，負場積分為(16－x)分，總積分為2x＋(16－x)＝(16＋x)分．故總積分與勝、負場數之間的數量關系為：2x＋(16－x)＝16＋x；(2)設某隊勝x場時勝場總積分等于它的負場總積分．根據題意得2x＝16－x，3x＝16，x＝eq\f(16,3)，不是正整數，則某隊的勝場總積分不能等于它的負場總積分．問題6：（學習競賽中的積分問題）某次知識競賽共20道題，每答對一題得8分，答錯或不答要扣3分．某選手在這次競賽中共得116分，那么他答對幾道題？【破解方法】解這類題關鍵是找準相等關系，設一個未知數為x，另一個未知數用含x的式子來表示，進而列方程求解．【解析】設選手答對了x道題，則有(20－x)道題答錯或不答，根據答對題目的得分減去答錯或不答題目的扣分是116分，即可得到一個關于x的方程，解方程即可．解：設答對了x道題，則有(20－x)道題答錯或不答，由題意得：8x－(20－x)×3＝116，8x＋3x＝116＋60，11x＝176，x＝16.答：他答對16道題．問題7：（其他圖表類問題）有一批貨物需要從A地運往B地，貨主準備租用甲、乙兩種貨車，已知過去兩次租用這兩種貨車運貨情況如下表．現租用3輛甲種貨車和5輛乙種貨車，一次剛好運完這批貨物，如果按每噸付50元計算，問貨主應付運費多少元？次數 第一次 第二次甲種貨車輛數 15乙種貨車輛數36合計運貨噸數 11.535【破解方法】解決本題的關鍵是讀懂表格，找到相應的等量關系列出方程．【解析】設乙種貨車每輛每次運x噸，則甲種貨車每輛每次運(11.5－3x)噸，根據現租用3輛甲種貨車和5輛乙種貨車，一次剛好運完這批貨物，如果按每噸付50元計算可列方程求解．解：設乙種貨車每輛每次運x噸，則甲種貨車每輛每次運(11.5－3x)噸，6x＋5×(11.5－3x)＝35，x＝2.5，11.5－3x＝4(噸)，3×4＋5×2.5＝24.5(噸).50×24.5＝1225(元)．答：貨主應付運費1225元．3.4.4電話計費問題問題8：（方案選擇性問題）某商場銷售一種西裝和領帶，西裝每套定價1000元，領帶每條定價200元．“國慶節”期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優惠方案．方案一：買一套西裝送一條領帶；方案二：西裝和領帶都按定價的90%付款．現某客戶要到該商場購買西裝20套，領帶x條(x＞20)．(1)若該客戶按方案一購買，需付款________元．若該客戶按方案二購買，需付款________；(用含x的代數式表示)(2)若x＝30，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算？(3)當x＝30時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法．【破解方法】在解答方案選擇性問題時，應先分析討論每一種方案，然后根據要求選擇合適的方案．【解析】(1)根據題目提供的兩種不同的付款方式列出代數式即可；(2)將x＝30代入求得的代數式中即可得到費用，然后比較即可得到選擇哪種方案更合算；(3)根據題意可以得到先按方案一購買20套西裝獲贈送20條領帶，再按方案二購買10條領帶更合算．解：(1)客戶要到該商場購買西裝20套，領帶x條(x＞20)．方案一費用：200x＋16000，方案二費用：180x＋18000；(2)當x＝30時，方案一：200×30＋16000＝22000(元)，方案二：180×30＋18000＝23400(元)，所以，按方案一購買較合算．(3)先按方案一購買20套西裝獲贈送20條領帶，再按方案二購買10條領帶．則20000＋200×10×90%＝21800(元)．問題9：某市生活撥號上網有兩種收費方式，用戶可以任選其一．(A)計時制：0.05元每分鐘；(B)包月制：60元每月(限一部個人住宅電話上網)．此外，兩種上網方式都得加收通信費0.02元每分鐘．(1)某用戶某月上網時間為x小時，請分別寫出兩種收費方式下該用戶應該支付的費用；(2)你認為采用哪種方式比較合算？解析：(1)(A)首先統一時間單位；(B)包月制：60元＋每分鐘0.02元×時間＝花費．(2)應先列方程計算出兩種收費方式相同時，用戶的上網時間，再分段討論，比較在各個區間哪種方案合算．解：(1)采用(A)計時制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x，采用(B)包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x；(2)由4.2x＝60＋1.2x，得x＝20.又由題意可知，上網時間越長，采用(B)越合算．所以當0<x<20時，采用(A)方式合算；當x＝20時，采用兩種方式費用相同；當x>20時，采用(B)方式合算．方法總結：解決此問題的關鍵是分段討論．問題:10：（分段計費問題）為鼓勵居民節約用電，某省試行階段電價收費制，具體執行方案如表：檔次 每戶每月用電數(度) 執行電價(元/度)第一檔 小于等于200 0.55第二檔 大于200小于400 0.6第三檔 大于等于400 0.85例如：一戶居民七月份用電420度，則需繳電費420×0.85＝357(元)．某戶居民五、六月份共用電500度，繳電費290.5元．已知該用戶六月份用電量大于五月份，且五、六月份的用電量均小于400度．問該戶居民五、六月份各用電多少度？【破解方法】解答此類題目要先計算出分界點處需要交的電費，這樣有助我們進一步判斷．【解析】某戶居民五、六月份共用電500度，就可以得出每月用電量不可能都在第一檔，分情況討論，當5月份用電量為x度≤200度，6月份用電(500－x)度，當5月份用電量為x度＞200度，六月份用電量為(500－x)度，分別建立方程求出其解即可．解：當5月份用電量為x度≤200度，6月份用電(500－x)度，由題意得0．55x＋0.6×(500－x)＝290.5，解得x＝190，∴6月份用電500－x＝310(度)．當5月份用電量為x度＞200度，六月份用電量為(500－x)度＞200度，由題意得0．6x＋0.6×(500－x)＝290.5，方程無解，∴該情況不符合題意．答：該戶居民五、六月份分別用電190度、310度．六、【教學成果自我檢測】1．課前預習設計意圖：落實與理解教材要求的基本教學內容.1．（2023秋·全國·七年級課堂例題）某車隊運送一批貨物，每輛汽車裝，還剩下末裝，每輛汽車裝就恰好裝完，該車隊運送貨物的汽車共有多少輛？設該車隊運送貨物的汽車共有輛，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設這個車隊有輛車，根據題意可知等量關系為：兩種裝法貨物的總量是一定的，據此列方程．【詳解】解：設該車隊運送貨物的汽車共有輛，由題意得，．故選：A．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程．讀懂題意，設出未知數，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．2．（2023春·山東青島·七年級統考開學考試）某商場舉辦“迎元旦送大禮”促銷活動，某品牌冰箱若按標價的八折銷售，每件可獲利200元，其利潤率為，若按標價的八五折銷售，每件可獲利（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】D【分析】利用進價利潤利潤率可求出該品牌冰箱的進價，設該品牌冰箱的標價為x元，根據“若按標價的八折銷售，每件可獲利元”，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再將其代入中即可求出結論．【詳解】解：該品牌冰箱的進價為（元）．設該品牌冰箱的標價為x元，依題意得：，解得：，∴（元）．故選：D．【點睛】本題考查了一元一次方程的運用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．3．（2023·江蘇蘇州·九年級專題練習）相傳大禹在治洛水的時候，洛水神龜獻給大禹一本洛書，書中有一幅奇怪的圖（如圖所示），這幅圖用今天的符號翻譯出來，就是一個三階幻方，也就是在的方陣中填入個數，每行、每列和每條對角線上的數字和相等．我們定義：在的方陣圖中，每行、每列和每條對角線上的數字和都相等，稱為三階幻方．下圖為三階幻方的一部分，圖中“？”代表的有理數是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】認真讀懂題意，根據題意列出方程然后求解即可．【詳解】解：設圖中“？”代表的有理數是，∵每行、每列、每條對角線上三個數字之和都相等，∴，解得：，∴圖中“？”代表的有理數是．故選：C．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，根據等量關系列出方程．4．（2023春·河南開封·七年級統考期中）甲、乙兩人在社區進行核酸采樣，甲每小時比乙每小時多采樣人，甲采樣小時與乙采樣小時所采樣人數相等，問：甲、乙兩人每小時分別采樣多少人？設甲每小時采樣人，則可列方程為．【答案】【分析】設甲每小時采樣人，則乙每小時采樣人，根據甲采樣5小時與乙采樣6小時所采樣人數相等列出方程即可．【詳解】解：設甲每小時采樣人，則乙每小時采樣人，根據題意得：．故答案為：．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．5．（2023秋·陜西西安·七年級西安市鐵一中學校考開學考試）水果店共運進102筐水果，香蕉筐數的占梨的，梨筐數的占蘋果的，則蘋果筐．【答案】【分析】設蘋果筐，則梨筐數為筐，香蕉的筐數為筐，根據水果店共運進102筐水果列出方程，解方程得到x的值，即可得到答案．【詳解】解：設蘋果筐，則梨筐數為筐，香蕉的筐數為筐，則，解得，則，即蘋果為筐，故答案為：【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，根據題意列出一元一次方程是解題的關鍵．6．（2023春·四川宜賓·七年級統考期末）一個兩位數，個位數字與十位數字之和為，若交換這個兩位數的個位與十位數字，則所得的兩位數比原兩位數大，則這個兩位數是．【答案】【分析】根據題意，設這個兩位數的個位數為，則十位上的數字為，交換這個兩位數的個位與十位數字后的數為，根據等量關系列方程求解即可．【詳解】解：設這個兩位數的個位數為，則十位上的數字為，∴這個兩位數是，則交換這個兩位數的個位與十位數字后的數為，∵交換后所得的兩位數比原兩位數大，∴，整理得，，解得，，∴這個兩位數的個位數字是，十位數字式，∴這個兩位數是，故答案為：．【點睛】本題主要考查一元一次方程的運用，掌握運用字母表示兩位數的方法，解一元一次方程的方法是解題的關鍵．7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市虹橋初級中學校校考階段練習）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行，用了2h，從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，用了2.5h，已知水流的速度是3km/h，求甲乙兩碼頭之間的距離．【答案】60km【分析】設靜水速度為km/h，順水速度=靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度，利用路程不變即可建立方程求解．【詳解】解：設靜水速度為km/h，則：解得：∴即：甲乙兩碼頭之間的距離為60km【點睛】本題考查行程問題與一元一次方程．注意正確理解題意．8．（2023秋·湖南岳陽·七年級校考開學考試）劉洋家住在電影院正西，李明家住在電影院的正東．兩人同時從家里出發相向而行，劉洋每分鐘步行，李明每分鐘步行．從出發到兩人相遇用了多長時間？相遇地點距離電影院有多遠？（用方程解答）【答案】10分鐘，50米【分析】設從出發到兩人相遇用了x分鐘，根據兩人走的路程和列出方程，解方程求出x的值，進一步即可得到相遇地點距離電影院的距離．【詳解】解：設從出發到兩人相遇用了x分鐘，，解得，∴（米），（米）．答：從出發到兩人相遇用了10分鐘，相遇地點距離電影院有50米．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關鍵．9．（2023·陜西西安·校考模擬預測）一家商店將某種服裝按進價提高后標價，又以標價的8折賣出，結果每件服裝仍可獲利56元，問這種服裝每件的進價是多少元？【答案】這種服裝每件的進價是200元【分析】設這種服裝每件的進價是x元，根據題意列出一元一次方程求解即可．【詳解】解：設這種服裝每件的進價是x元，根據題意，得，解得，答：這種服裝每件的進價是200元．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據等量關系列出方程是解題的關鍵．2．課堂檢測設計意圖：例題變式練.1．（2023秋·山西呂梁·七年級統考期末）某車間有44名工人生產螺絲和螺母，每人每天生產1200個螺絲或2000個螺母，現有x個工人生產螺絲，恰好每天生產的螺母和螺絲按配套．根據題意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據“有x個工人生產螺絲”可得有個工人生產螺母，再根據“每天生產的螺母和螺絲按配套”，即可列出方程．【詳解】解：有x個工人生產螺絲，則有個工人生產螺母，可列方程為：，故選∶B．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意找出等量關系，列出方程．2．（2023秋·遼寧撫順·七年級統考期末）父親和兒子在同一公司上班，為了鍛煉身體，他們每天從家（父子二人住同一個家）走路去上班，父親需要18分鐘到公司，兒子需要12分鐘到公司，如果父親比兒子早2分鐘動身，兒子追上父親需要的時間為（

）A．4分鐘 B．5分鐘 C．6分鐘 D．8分鐘【答案】A【分析】將這段路的距離看作“單位1”，分別求出父親和兒子的的速度，根據題中的等量關系列方程，即可求出結果．【詳解】解：把這段路的距離看作單位“1”，設兒子追上父親需要x分鐘，由題意可得：，解得，故兒子追上父親需要4分鐘，故選：A．【點睛】本題考查一元一次方程的應用和追及問題，明確題意，找出等量關系是解題的關鍵．3．（2023·黑龍江牡丹江·校考模擬預測）某商場將一件玩具按進價提高后標價，銷售時按標價打折銷售，結果相對于進價仍獲利，則這件玩具銷售時打的折扣是()A．折 B．折 C．折 D．折【答案】B【分析】設這件玩具的進價為a元，標價為元，再設打了x折，再由打折銷售仍獲利，可得出方程，解出即可．【詳解】解：設這件玩具的進價為a元，打了x折，依題意有，解得：．答：這件玩具銷售時打的折扣是8折．故選B．【點睛】此題考查一元一次方程的實際運用，掌握銷售問題中的基本數量關系是解決問題的關鍵．4．（2023秋·陜西咸陽·七年級統考期末）我國古代《孫子算經》記載了這樣一個數學問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問車有幾何？意思是”每3人共乘一輛車，最終剩余2輛車；每2人共乘一輛車，最終有9人無車可乘，則車有輛．【答案】15【分析】利用人的數量不變，即可得出關于x的一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：設共有x輛車，則有人，根據題意得，解得，，故答案為：【點睛】本題考查了一元一次方程解決實際問題，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．5．（2023春·河南洛陽·七年級統考期中）在解決問題“小明到商店里去買鉛筆，店主告訴他，如果多買一些可以享受八折優惠，于是，小明就買了支，結果便宜了元，求原來每支鉛筆的價格是多少？”時，若設原來每支鉛筆的價格為元，依題意可列方程．【答案】【分析】依據題意可列出等量關系為：支鉛筆的原價支鉛筆的折扣價，把相關數值代入即可求解．【詳解】解：支鉛筆的原價為，支鉛筆的折扣價為，列出的方程是．故答案為：．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找到原價和折扣價之間的等量關系是解決本題的關鍵．6．（2023春·廣東河源·七年級校考開學考試）某工程隊承包了全段全長米的過江隧道任務，甲、乙兩個班組分別從東西兩端同時掘進，已知甲比乙平均每天多掘進，經過五天施工，兩組共掘進米，為加快工程進度，通過改進施工技術，在剩余的工程中，甲組平均每天比原來多掘進，乙組平均每天比原來多掘進，照此施工速度，能夠比原來少天完成任務．【答案】29【分析】設乙組原來平均每天掘進，則甲組原來平均每天掘進，根據“經過五天施工，兩組共掘進米”列出方程，解得，則乙組原來平均每天掘進，甲組原來平均每天掘進，則按照原來進度還需要（天），根據題意可得在剩余的工程中，甲組平均每天掘進，乙組平均每天掘進，照此施工速度，還需：（天），再用現在的天數減去原來的天數即可解答．【詳解】解：設乙組原來平均每天掘進，則甲組原來平均每天掘進，根據題意得，，解得：，則，∴乙組原來平均每天掘進，甲組原來平均每天掘進，則按照原來進度還需要：（天），∵在剩余的工程中，甲組平均每天比原來多掘進，乙組平均每天比原來多掘進，∴現在甲組平均每天掘進，乙組平均每天掘進6m，照此施工速度，還需：（天），∵（天），∴照此施工速度，能夠比原來少29天完成任務．故答案為：29．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，找準等量關系，列出方程是解題關鍵．7．（2023秋·湖北黃石·七年級統考階段練習）研究表明，眼睛如果長時間不眨，眼液分泌量就會減少，導致眼睛干澀，易疲勞，據統計，人在玩手機或者電腦游戲時平均每分鐘眨眼10次，比正常狀態下每分鐘眨眼的次數少，人在正常狀態下平均每分鐘眨眼多少次？【答案】人在正常狀態下平均每分鐘眨眼25次【分析】設人在正常狀態下平均每分鐘眨眼x次，根據題意列出方程求解即可．【詳解】解：設人在正常狀態下平均每分鐘眨眼x次，由題意得：解得：，答：人在正常狀態下平均每分鐘眨眼25次．【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應用，正確理解題意并列出方程是解題的關鍵．8．（2023春·廣東河源·七年級校考開學考試）已知甲碼頭在江的上游，乙碼頭在江的下游．一艘船在靜水中每小時航行千米，在水流速度為每小時千米的江中，往返甲、乙兩碼頭共用了小時，求甲、乙兩碼頭之間的距離．【答案】千米【分析】根據“一艘船在靜水中每小時航行千米，在水流速度為每小時千米的江中”可得順水速度為（千米/時），逆水速度為（千米/時），設甲、乙兩碼頭之間的距離為千米，根據順水從甲到乙的時間＋逆水從乙到甲的時間＝列出方程，求解即可．【詳解】解：設甲乙兩碼頭之間的距離是千米，依題意，得：，解得：，答：甲乙兩碼頭之間的距離是千米.【點睛】本題考查一元一次方程的應用，理清題意，找出題目中的等量關系列出方程是解題關鍵．9．（2023秋·河北保定·七年級統考期末）為實施鄉村振興戰略，解決某山區老百姓出行難的問題，當地政府決定修建一條高速公路．其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負責施工．甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯合工作了1天，這3天共掘進26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2米．(1)求甲工程隊每天掘進多少米(2)按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯合工作多少天．【答案】(1)7米(2)10天【分析】（1）設甲工程隊每天掘進米，則乙工程隊每天掘進米，利用甲、乙兩工程隊3天共掘進26米列出方程，分別求得甲、乙工程隊每天的工作量；（2）根據“甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯合工作了1天，這3天共掘進26米”列出方程，然后求工作時間即可．【詳解】（1）解：設甲工程隊每天掘進米，則乙工程隊每天掘進米，由題意得，，解得，所以甲工程隊每天掘進7米．（2）解：（天）；∴甲乙兩個工程隊還需聯合工作10天．【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應用，理解題意，找到等量關系并列出方程是解題關鍵．3．課后作業設計意圖：鞏固提升.1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）一架飛機在兩城間飛行，順風航行要5.5小時，逆風航行要6小時，風速為24千米/時，設飛機無風時的速度為每小時千米，則下列方程正確是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先表示出飛機順風飛行的速度和逆風飛行的速度，然后根據速度公式，利用路程相等列方程．【詳解】解：設飛機在無風時的飛行速度為每小時千米，則飛機順風飛行的速度為每小時千米，逆風飛行的速度為每小時千米，根據題意得．故選：C．【點睛】此題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解題關鍵是表示出飛機順風飛行的速度和逆風飛行的速度．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）十年前A的年齡是B的年齡的4倍，現在A的年齡是B的年齡的2倍，A現在的年齡是（

）A．20歲 B．24歲 C．30歲 D．15歲【答案】C【分析】設現在的年齡為歲，則現在的年齡為歲，根據十年前，的年齡是的年齡的4倍列出一元一次方程，求出的值即可．【詳解】解：設現在的年齡為歲，則現在的年齡為歲，十年前，的年齡為歲，的年齡為歲，根據題意可知：，解得，即現在的年齡為30歲，故選：C．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）如圖，甲、乙兩人沿著邊長為的正方形，按的方向行走，甲從點A出發，以的速度行走；同時，乙從點B出發，以的速度行走．當乙第一次追上甲時，在正方形的（）

A．邊上 B．邊上 C．點C處 D．點D處【答案】C【分析】設乙x分鐘后追上甲，根據乙追上甲時，比甲多走了270米，可得出方程，求出時間后，計算甲所走的路程，繼而可判斷在哪一條邊上相遇．【詳解】解：設乙x分鐘后追上甲，由題意得，，解得：，而，，即乙第一次追上甲是在點C處．故選：C．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是注意通過所行路程及正方形的周長正確判斷追上時在正方形的哪條邊上．4．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）已知某鐵路橋長600米，若一列火車通過該橋，火車從開始上橋到過完橋共用了30秒，整列火車完全在橋上的時間為20秒，則火車的長度為．【答案】120米【分析】設火車的長度為米，根據火車速度不變可列一元一次方程求解，即可得到答案．【詳解】解：設火車的長度為米，由題意可知，，解得：，即火車的長度為米，故答案為：米．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，正確理解題意是解題關鍵．5．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）甲隊有31人，乙隊有26人，現另調24人分配給甲、乙兩隊，使甲隊的人數是乙隊人數的2倍，則應分配給甲隊人．【答案】23【分析】根據甲隊人數乙隊人數的2倍，列出一元一次方程即可求解．【詳解】解：設應分配給甲隊人．根據題意，得解得．答：應分配給甲隊23人．故答案為：23．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解決本題的關鍵是找等量關系．6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）69中學的一次知識競賽中，共設20道選擇題，各題的分值相同，每題必答，下表記錄了五個參賽者的得分情況．參賽者小明得76分，那么他答對道題．參賽者答對題數答錯題數得分A200100B19194C18288D14664E101040【答案】16【分析】參賽選手可得：答對1題得（分），設答錯一題扣分，根據參賽選手的得分列出方程，求出方程的解即可得到答錯一題所扣分數，設參賽者答對道題，根據題意列出方程，求出方程的解即可得到結果．【詳解】解：由參賽選手可得：答對1題得（分），設答錯一題扣分，根據參賽選手的得分可得：，解得：，則答對一道題得5分，答錯一道題扣1分；設參賽者答對道題，根據題意得：，解得：，則參賽者答對16道題，故答案為：16．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，弄清題列出方程是解本題的關鍵．7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）新華書店準備訂購一批圖書，現有甲、乙兩個供應商，均標價每本40元．為了促銷，甲說：“凡來我處購書一律九折．”乙說：“如果