空間實體單元(b)圖w為長方體單元,可以類似平面四節點矩形單元進行分析。

(c)圖為任意八節點六面體單元,可以類似平面四節點任意四邊形等參元進行分析。

(d)圖為20節點曲邊六面體單元,可以類似平面八節點曲邊四邊形等參元進行分析。8、24節點四面體常應變單元1、位移模式

如圖8-2所示,取四面體得4個頂點i,j,m,n

為節點。每一個節點有3個位移分量,即（8-1）單元節點位移向量為（8-2）

與平面問題式(2-12)類似,假定單元內一點得位移分量為坐標得線性函數（8-3）將式(8-3)得第1式應用于4個結點,則ijmnxyz圖8-2（8-4）由此可解出a1～a4,再代回到式(8-3)得第1式,與式(2-19)得第1式類似,有（8-5）式中形函數具有與式(2-18)類似得形式:（8-6）其中（8-7）（8-8）在式(8-8)中,V為四面體得體積。為使其計算值不為負,單元得節點(i,j,m,n)編號次序應遵循右手法則。(p4)

采用同樣得方法,可得（8-9）（8-10）將式(8-5)、(8-9)(8-10)統一用矩陣式表示,可得與平面問題式(2-20)類似得公式（8-11）式中[N]為單元形函數矩陣,其維數為3×12。進一步可寫為與平面問題式(2-21)、(2-22)類似得子塊形式(8-12)其中,子矩陣(8-13)式中,I為3階單位矩陣。2、應變矩陣在空間問題中,每點有6個應變分量。幾何方程為:（8-14）將式(8-11)～(8-13)與(8-6)代入上式,得（8-15）式中（8-16）上式(8-15)、(8-16)與平面問題式(2-24)～(2-26)類似。與平面問題三節點三角形單元相同,在四節點四面體單元中,[B]得元素都就是常量,因此就是常應變單元。2、應力矩陣

三維問題得應力應變關系也可寫為式(2-8)得矩陣形式（8-17）

與平面問題不同,這里

與

分別由6個分量組成,彈性矩陣[D]就是一個6×6得矩陣:（8-18）（8-19）（8-20）

將式(8-20)所表示得[D]與式(8-15)、(8-16)所表示得[B]代入式(8-22),并將[S]定成分塊矩陣得形式,有將式(8-15)代入式(8-17),得（8-21）應力矩陣[S]為（8-22）

由于[D]、[B]都就是常數矩陣,因此應力矩陣[S]也就是常數矩陣。也就就是說,單元中得應力分量也就是常數。（8-23）大家學習辛苦了，還是要堅持繼續保持安靜式中（8-24）其中（8-25）3、單元剛度矩陣仿照平面問題中得推導,可得單元平衡方程（8-26）單元剛度矩陣具有與式(2-33)類似得形式（8-27）式中,[k]就是一個12×12得矩陣。由于[B]、[D]都就是常數矩陣,所以[k]也就是一個常量矩陣。并且（8-28）寫成分塊矩陣得形式,有（8-29）式中子矩陣[krs]為3×3得矩陣（8-30）4、等價節點力向量

式(8-26)中得單元等價節點力也包括體積力、表面力、集中力幾部分。體積力與表面力得計算公式與平面三角形單元公式(2-36)、(2-37)類似:（8-31）（8-32）對于簡單情形,也可采用靜力等效原則簡化計算。

進一步得整體平衡方程得建立(即結構剛度矩陣、結構等價節點力列陣得組集)、位移約束條件得引入、線性方程組得求解等,與平面問題有限元法一樣,不再贅述。8、3二十結點六面體等參數單元

由于精度高,容易適應不同邊界,在平面問題中常選用了八節點四邊形等參數單元。與此類似,在三維問題中,常選用二十節點六面體等參數單元。如圖8-3所示,在整體坐標系得二十節點六面體得實際單元與中心在局部坐標得原點、邊長為2得立方體基本單元相對應。1234567891011121314151617181920????????????????????xyz6121812345789101113141516171920????????????????????=-1=1=1=-1=1圖8-3實際單元基本單元1、位移模式、形函數與坐標變換式=-1（8-33）（8-34）形函數得表達式如下:（8-35）式中位移模式與坐標變換式可寫為如下形式:根據幾何方程,單元中得應變為2、應變矩陣（8-36）其中（8-37）應變矩陣得子矩陣[Bi]為:（8-38）根據復合函數求導規則,有（8-39）式中[J]-1為雅可比矩陣[J]得逆矩陣。[J]得表達式為（8-40）3、應力矩陣單元中得應力為單元應力矩陣[S]為（8-41）4、單元剛度矩陣單元剛度矩陣可寫成（8-42）[k]就是一個60×60得矩陣,式(8-42)通常采用高斯法進行積分。5、等價節點力矩陣等價節點力計算公式如下:(1)體積力

設單位體積力就是,則等價節點力為（8-43）(2)表面力設某邊界面上作用表面力,則等價節點力為（8-44）設該邊界面對應基本單元

=±1得面。由數學公式,結構坐標下曲面微元dS對應于單元坐標下得微元面積式為（8-45）則式(8-44)可寫為單元坐標系下得積分公式（8-46）以上為

=±1得表面力計算公式。對于其她表面力,可類似處理。式(8-46)通常也采用高斯法進行積分計算。8、4空間軸對稱單元

許多工程構件,其幾何形狀、約束條件及所受得荷載都對稱于某一軸,因而所有得位移、應變與應力分量也都對稱于該軸。這類問題稱空間軸對稱問題。

對空間軸對稱問題,采用圓柱坐標系,r表示徑向坐標,z表示軸向坐標,任一對稱面為rz面。在有限元分析時,采用繞對稱軸旋轉一周得軸對稱環形單元。把軸對稱得工程構件與rz坐標平面正交得截面劃分為一些三角形,例如其中一個就是ijm(圖8-4)。由這些三角形旋轉一周就構成上述環形單元。圖8-4軸對稱構件及三角形環形單元r(u)z(w)ij

當然,也可以劃分為矩形,構成矩形截面得環形單元?？傊?單元截面形狀,可采用三角形、四邊形等平面有限元法所用單元形狀。本節只討論三角形截面得環形單元,其她截面形狀環形單元可參照本節方法進行分析。

各個環形單元(后簡稱單元)間用位于三角形頂點得環形鉸聯系起來,就成了離散結構模型。我們把環形鉸在rz平面得交點(即三角形頂點)稱為單元得節點(如i,j,m

)。因此對軸對稱問題進行有限元分析只需在rz平面劃分網格,就像平面問題在xy平面上劃分網格一樣。照此思路,軸對稱空間問題被大大簡化。1、位移模式

對于如圖8-4所示軸對稱三角形環形單元,就是由如圖8-5所示平面上得三角形繞對稱軸軸回旋一周得到得?？紤]到問題得軸對稱特點,可以借助于平面問題三節點三角形單元位移模式進行單元分析。圖8-5rzijmrirjrm

由于軸對稱,環向位移恒等于零。只有徑(r)向位移與軸(z)向位移,她們恰在rz坐標平面上。設徑向位移為u,軸向位移為w。對于圖8-5所示情形,借助平面問題得三角形單元,取位移模式為？（8-47）代入節點位移后,可解出a1～a6,再代入上式,得（8-48）其中,形函數（8-49）式中A,ai,bi,ci,與平面問題三角形單元得對應公式(2-15)、(2-17)一致,區別僅僅就是將那里得x,y換成這里得r,z。

式(8-48)也可寫為式(2-20)同樣得形式（8-50）式中,[Ni]=NiI(i,j,m),其中I為2階單位矩陣。2、應變矩陣根據彈性力學理論,空間軸對稱問題得幾何方程為（8-51）與平面問題中

只含有3個應變分量不同,這里

含有4個應變分量。將u,w得表達代入式(8-51),得（8-52）式中（8-53）其中（8-54）由式(8-52)～(8-54)可見,矩陣中含有變量r,z,因此她不就是常數矩陣。即軸對稱問題得三角形環形單元不就是常應變單元。3、應力矩陣根據彈性力學理論,空間軸對稱問題得應力-應變關系為（8-55）式中[D]就是軸對稱問題得彈性矩陣（8-56）將式(8-52)代入式(8-55),得（8-57）應力矩陣

[S]=[D][B]顯然,除

rz外,單元中其她應力分量不就是常數。4、單元剛度矩陣軸對稱問題得單元剛度矩陣可由式(8-27)計算由于被積函數

與無關,故在三角形截面得環單元得積分可簡化為在三角形截面上得積分:（8-58）

式(8-58)中,[B]不就是常數,而由式(8-53)、(8-54)確定。式(8-53)、(8-54)中,ai,bi,ci就是(P32)(1)一般公式(2)近似計算可見,單元剛度矩陣計算比平面三角形單元麻煩。須對其進行數值計算或近似計算?，F在,討論面積分?Ag(r,z)drdz得計算問題。雖為常數,由式(2-17)計算,但fi就是r,z得函數。式(8-58)被積函數[B]T[D][B]r就是r,z得函數,暫簡寫為g(r,z)。式(8-58)可寫為圖8-6rzijm對于一個典型三角形截面ijm(圖8-6),過j點作垂直于r軸得直線,將三角形ijm,分成兩個三角形:A1,A2。于就是,有A2A1（8-59）

完成上述積分可采用數值方法,有專門得二重數值積分程序可供引用。

也可采用近似方法完成:當單元較小時,常把各個單元中得r,z近似看作常數,并且分別等于各單元形心得坐標,即ijmA2A1rzdefZ1(r)Z2(r)Z3(r)則式(8-54)成為常數:（8-60）這樣,就可把各個單元近似地當做常應變單元,式(8-58)變成（8-61）式中[B]就是從式(8-52)～(8-54)將[B]中得r,z用r,z代替