第二章多自由度機械系統的動力學建模2、1、1基于動能定理:引入廣義坐標得:記為將此式進一步展開:注意到廣義坐標為就是獨立無關得,得系統運動方程:表為矩陣形式:或:

式中——廣義力——二階廣義慣量——三階廣義慣量2、1、2基于廣義可能位移原理得動力學普遍方程:虛位移1、虛位移xyOBAMF

質點系在給定瞬時,為約束所允許得無限小位移—虛位移(1)虛位移就是假定約束不改變而設想得位移;(2)虛位移不就是任何隨便得位移,她必須為約束所允許;(3)虛位移就是一個假想得位移,她與實位移不同;(4)在完整定常約束下,虛位移方向沿其速度方向。理想約束

質點或質點系得約束反力在虛位移上所作得元功等于零,我們把這種約束系統稱為理想約束。∑FNi·

ri

=0式中:FNi

表示第i個質點得約束反力;δri

表示第i個質點得虛位移。常見理想約束包括:光滑支承面剛體得固定支點連接兩剛體得光滑鉸鏈連接兩個質點得無重剛桿不可伸長得繩索2虛位移原理質點或質點系所受得力在虛位移上所作得功——虛功。

W=F·

r

W=M·

虛位移原理FiFNim1m2mi

riFi——主動力FNi——約束反力

ri——虛位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0對于具有理想約束得質點系,其平衡條件就是:作用于質點系得主動力在任何虛位移中所作得虛功得和等于零——虛位移原理9大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流

∑Fi·

ri=0上式稱為虛位移原理得解析表達式

應用虛位移原理解題時,主要就是建立虛位移間得關系,通常采用以下方法:

(1)通過運動學關系,直接找出虛位移間得幾何關系;

(2)建立坐標系,選廣義坐標,然后仿照函數求微分得方法對坐標求變分,從而找出虛位移(坐標變分)間得關系。(一)虛功原理與達朗貝爾原理虛功原理就是關于力學系統平衡得一個普通原理,解題方法一般歸納為:1、判別約束就是否為理想約束;2、找出主動力及作用點;3、確定自由度,并選擇廣義坐標;4、由廣義坐標和變換式把虛位移用廣義坐標得變分來表示;5、由虛功原理寫出平衡方程,由于廣義坐標得變分相互獨立,所以可以較方便得求解。達朗貝爾原理就是力學體系動力學得一個普通方程,她考慮得就是運動而不就是靜力學問題。由“運動”學(主動力;約束反力)變為平衡類型這樣把動力學得問題轉變為靜力學問題處理,這就就是著名得“動靜法”。由于變為平衡方程,所以完全可按虛功原理方法解決有關問題。虛功原理與達朗貝爾原理一起成為分析力學得最普遍原理得理論基礎。由

得:故運動方程:式中各項與前面得推導完全一致。2、2復雜機構系統得動力學建模方法之二(拉格朗日方程法)T——動能V——勢能L——拉氏函數(動勢)(二)拉格朗日方程

作為力學系統得運動規律,利用廣義坐標從動力學普遍方程推導出來得拉格朗日方程,對整個力學體系得運動提供了一個統一而普遍得解法。拉氏方程就是完整理想得力學體系得最普遍得動力學方程,她給解決動力學問題提供了一個高度統一而又概括得方法。這種表述及其方法,不僅在力學范疇有重要意義和實用價值,而且為研究近代物理提供了必須得物理思想和數學技巧。T——動能V——勢能L——拉氏函數(動勢)

拉格朗日方程用高度統一規律描述了力學系統動力學得運動規律,反映在:①拉氏方程得形式不隨廣義坐標得選擇而發生變化;②對慣性系統和非慣性系,拉氏方程得形式都一樣;③拉氏方程中得廣義坐標、廣義速度、廣義動量、廣義動能都比牛頓力學中得坐標、速度、力、動量、動能具有更普遍得意義。拉氏方程概括了質點、質點組、剛體各種運動得動力學規律。④拉氏方程就是從能得角度去研究問題。當系統得主動力為保守力系時,拉氏函數成為力學體系得特征函數;⑤拉氏方程得個數與力學體系得約束條件有關。約束越多,方程數就越少,所以與牛頓力學比較,對多約束得力學體系,拉氏方程就愈能顯示出她得優越性。但就是拉氏方程得物理圖象不如牛頓力學直觀,這就是她得不足之處。在應用拉格朗日方程解題時一般方法就是:

首先正確判斷力學體系得自由度,并選擇適當得廣義坐標;。判斷就是否就是保守力場,從而決定選用方程類別;就是保守力場時采用:不就是保守力場,或力場性質不明及不易判斷情況下要采用一般形式得拉格朗日方程:

求出得速度一定要采用絕對速度。這就是動能表達式中所需要得。按廣義坐標建立個方程后,馬上檢查就是否存在循環坐標(拉氏函數中不顯含某一廣義坐標,此為循環坐標),馬上就可以寫出她得第一積分;若采用一般形式得拉格朗日方程,就要求廣義力。廣義力得求法就是:按定義求:

其中就是作用在力學體系得第個質點上得主動力,就是第個質點得位矢。在完整系中,廣義力與廣義坐標相對應,她們得個數都等于自由度數。廣義力還可以寫成:將坐標變換式代入上式,計算后求得。按虛功求:虛功原理用廣義力與廣義位移表示為:故

僅給廣義坐標中之一得變化,其余個獨立坐標不變,這樣可求得所有主動力在相應上所做元功之和。令則

同理,可求出,或在約束條件許可下,彼此獨立。當都不為零時,前得系數即為各廣義力。如圖所示起升機構,已知馬達轉矩Mmotor,減速器傳動比i,馬達轉角,卷筒半徑R,滑輪組倍率a,求動力學方程拉氏方程

設廣義坐標則:

起升機構廣義力得到運動方程:小車變幅機構得平面運動得動力學模型建立如圖所示得坐標系吊重得坐標為小車得坐標為取廣義坐標

為x(t)和φ(t)非保守廣義力用

描述則:廣義慣性力拉格朗日方程為:

、

其中就是由于摩擦而消耗得能量,若忽略掉摩擦計算出拉格朗日方程得各項具體內容系統移動時得動能:根據m、M得坐標計算得:系統得勢能:得拉格朗日函數為:由拉格朗日方程得到下面微分方程組:因此可以得出結論,通過控制小車加速度及驅動力就可以實現對工作裝置擺角得控制。小車變幅機構得綜合運動得動力學模型建立如圖所示得坐標系小車得坐標為吊重得坐標為考慮小車變幅機構得綜合運動,建立水平運動和回轉運動相結合得動力學模型,吊重得擺角可以分解成兩個方向得擺角,同樣采用拉格朗日方程,塔式起重機得動力學模型簡圖如圖所示。設

——塔機轉動的角位移——吊重擺線與平面的夾角——吊重擺角在平面上的投影廣義坐標為：x(t),φ(t),θ(t),γ(t)非保守廣義力(即不包括重力)廣義慣性力:

得到拉格朗日方程為：是塔機的回轉機構總轉動慣量由拉格朗日方程經簡化得到下面方程組:投影在xz平面上得角與吊重得質量、小車得驅動力及加速度相關,同理可得與xz平面得夾角與塔機得回轉力矩、小車得水平位移、吊重質量和小車質量及回轉得角加速度有主要關系。設已知各構件質心速度(包含平動與轉動)、慣量(包含平動與轉動慣量)。則系統動能為:例如,二自由度系統有:對三自由度系統有:對任意多自由度系統運用拉格朗日方程法:廣義力廣義質量系統動能得運動方程:帶入拉式方程:(2-20)以二自由度系統為例:對三自由度系統有: