人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE3第3課時空間中直線、平面的垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．知識點一線線垂直的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.知識點二線面垂直的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.知識點三面面垂直的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.1．若直線l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交〖答案〗B〖解析〗∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.2．已知兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，則λ的值為()A．1或－eq\f(1,2) B．1或eq\f(1,2)C．－1或eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)〖答案〗D〖解析〗由題意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，∴λ＝－1或－eq\f(1,2).3．(多選)下列命題中，正確的命題為()A．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥βB．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面α垂直，則n∥aD．若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直〖答案〗BCD〖解析〗A中平面α，β可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知BCD正確．4．平面α與平面β垂直，平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1,0,5)，v＝(t，5,1)，則t的值為________．〖答案〗5〖解析〗∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.一、證明線線垂直問題例1如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點．求證：EF⊥BC.證明由題意，以點B為坐標(biāo)原點，在平面DBC內(nèi)過點B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過點B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得B(0,0,0)，A(0，－1，eq\r(3))，D(eq\r(3)，－1,0)，C(0,2,0)，因而Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，－\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.從而eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以EF⊥BC.反思感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．跟蹤訓(xùn)練1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN＝eq\f(1,4)CC1.求證：AB1⊥MN.證明設(shè)AB的中點為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由已知得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,4)))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，∵M為BC的中點，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，0)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,4)))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)＋0＋eq\f(1,4)＝0.∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，∴AB1⊥MN.二、證明線面垂直問題例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點，EF⊥BP于點F.求證：PB⊥平面EFD.證明由題意得，DA，DC，DP兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖，設(shè)DC＝PD＝1，則P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(1,2)))，設(shè)F(x，y，z)，則eq\o(PF,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(1,2)，z－\f(1,2))).因為eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，所以x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))＝0，即x＋y－z＝0.①又因為eq\o(PF,\s\up6(→))∥eq\o(PB,\s\up6(→))，可設(shè)eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(2,3)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,6)，\f(1,6))).方法一因為eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1,1，－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，所以eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以PB⊥DE，因為PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE?平面EFD.所以PB⊥平面EFD.方法二設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面EFD的法向量，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(DE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－\f(1,6)y2＋\f(1,6)z2＝0，,\f(1,2)y2＋\f(1,2)z2＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－z2，,y2＝－z2.))取z2＝1，則n2＝(－1，－1,1)．所以eq\o(PB,\s\up6(→))∥n2，所以PB⊥平面EFD.反思感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟(1)利用線線垂直①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示．②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量．③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示．②求出平面的法向量．③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點．求證：EF⊥平面B1AC.證明設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)．eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．設(shè)平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up6(→))＝2y＋2z＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝－2x＋2y＝0，))令x＝1得n＝(1,1，－1)，又eq\o(EF,\s\up6(→))＝－n，∴EF∥n，∴EF⊥平面B1AC.三、證明面面垂直問題例3在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點．求證：平面BDE⊥平面ABCD.證明設(shè)AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2))).方法一連接AC，交BD于點O，連接OE，則點O的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).易知eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up6(→))，所以O(shè)E∥AS.又AS⊥平面ABCD，所以O(shè)E⊥平面ABCD.又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.方法二設(shè)平面BDE的法向量為n1＝(x，y，z)．易知eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1⊥\o(BD,\s\up6(→))，,n1⊥\o(BE,\s\up6(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(BD,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n1·\o(BE,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0.))令x＝1，可得平面BDE的一個法向量為n1＝(1,1,0)．因為AS⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為n2＝eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)．因為n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.反思感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．跟蹤訓(xùn)練3在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點．求證：平面AED⊥平面A1FD1；證明以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,2,1)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0,1，－2)．設(shè)平面AED的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DA,\s\up6(→))＝x1，y1，z1·2，0，0＝0，,n1·\o(DE,\s\up6(→))＝x1，y1，z1·2，2，1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝0，,2x1＋2y1＋z1＝0.))令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．同理，平面A1FD1的一個法向量為n2＝(0,2,1)．∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.1．若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．無法確定〖答案〗B〖解析〗a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.2．已知平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于()A．4B．－4C．5D．－5〖答案〗D〖解析〗∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.3．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體棱長為2，點E是棱AB的中點，點F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點，且CF⊥B1E，則點F(0，y，z)滿足方程()A．y－z＝0B．2y－z－1＝0C．2y－z－2＝0D．z－1＝0〖答案〗D〖解析〗E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，所以eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(－1,0，－2)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(－2，y－2，z)，因為CF⊥B1E，所以eq\o(B1E,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝0，即2－2z＝0，即z＝1.4.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P為C1D1的中點，M為BC的中點，則AM與PM的位置關(guān)系是________．〖答案〗PM⊥AM〖解析〗以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，依題意可得，D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)，所以eq\o(PM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(0,1，eq\r(3))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(2eq\r(2)，0,0)＝(－eq\r(2)，2,0)，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，所以PM⊥AM.5．在三棱錐S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝eq\r(13)，SB＝eq\r(29)，則直線SC與BC是否垂直________．(填“是”“否”)〖答案〗是〖解析〗如圖，以A為坐標(biāo)原點，平行于BC的直線為x軸，AC，AS所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則由AC＝2，BC＝eq\r(13)，SB＝eq\r(29)，得B(－eq\r(13)，2,0)，S(0,0，2eq\r(3))，C(0,2,0)，eq\o(SC,\s\up6(→))＝(0,2，－2eq\r(3))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－eq\r(13)，0,0)．因為eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以SC⊥BC.1．知識清單：(1)線線垂直．(2)線面垂直．(3)面面垂直．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化法、法向量法．3．常見誤區(qū)：直線的方向向量、平面的法向量的關(guān)系與線面間的垂直關(guān)系的對應(yīng)易混．第3課時空間中直線、平面的垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．知識點一線線垂直的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.知識點二線面垂直的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.知識點三面面垂直的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.1．若直線l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交〖答案〗B〖解析〗∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.2．已知兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，則λ的值為()A．1或－eq\f(1,2) B．1或eq\f(1,2)C．－1或eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)〖答案〗D〖解析〗由題意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，∴λ＝－1或－eq\f(1,2).3．(多選)下列命題中，正確的命題為()A．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥βB．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面α垂直，則n∥aD．若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直〖答案〗BCD〖解析〗A中平面α，β可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知BCD正確．4．平面α與平面β垂直，平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1,0,5)，v＝(t，5,1)，則t的值為________．〖答案〗5〖解析〗∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.一、證明線線垂直問題例1如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點．求證：EF⊥BC.證明由題意，以點B為坐標(biāo)原點，在平面DBC內(nèi)過點B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過點B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得B(0,0,0)，A(0，－1，eq\r(3))，D(eq\r(3)，－1,0)，C(0,2,0)，因而Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，－\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.從而eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以EF⊥BC.反思感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．跟蹤訓(xùn)練1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN＝eq\f(1,4)CC1.求證：AB1⊥MN.證明設(shè)AB的中點為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由已知得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,4)))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，∵M為BC的中點，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，0)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,4)))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)＋0＋eq\f(1,4)＝0.∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，∴AB1⊥MN.二、證明線面垂直問題例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點，EF⊥BP于點F.求證：PB⊥平面EFD.證明由題意得，DA，DC，DP兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖，設(shè)DC＝PD＝1，則P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(1,2)))，設(shè)F(x，y，z)，則eq\o(PF,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(1,2)，z－\f(1,2))).因為eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，所以x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))＝0，即x＋y－z＝0.①又因為eq\o(PF,\s\up6(→))∥eq\o(PB,\s\up6(→))，可設(shè)eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(2,3)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,6)，\f(1,6))).方法一因為eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1,1，－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，所以eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以PB⊥DE，因為PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE?平面EFD.所以PB⊥平面EFD.方法二設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面EFD的法向量，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(DE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－\f(1,6)y2＋\f(1,6)z2＝0，,\f(1,2)y2＋\f(1,2)z2＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－z2，,y2＝－z2.))取z2＝1，則n2＝(－1，－1,1)．所以eq\o(PB,\s\up6(→))∥n2，所以PB⊥平面EFD.反思感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟(1)利用線線垂直①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示．②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量．③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示．②求出平面的法向量．③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點．求證：EF⊥平面B1AC.證明設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)．eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．設(shè)平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up6(→))＝2y＋2z＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝－2x＋2y＝0，))令x＝1得n＝(1,1，－1)，又eq\o(EF,\s\up6(→))＝－n，∴EF∥n，∴EF⊥平面B1AC.三、證明面面垂直問題例3在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點．求證：平面BDE⊥平面ABCD.證明設(shè)AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2))).方法一連接AC，交BD于點O，連接OE，則點O的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).易知eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up6(→))，所以O(shè)E∥AS.又AS⊥平面ABCD，所以O(shè)E⊥平面ABCD.又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.方法二設(shè)平面BDE的法向量為n1＝(x，y，z)．易知eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1⊥\o(BD,\s\up6(→))，,n1⊥\o(BE,\s\up6(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(BD,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n1·\o(BE,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0.))令x＝1，可得平面BDE的一個法向量為n1＝(1,1,0)．因為AS⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為n2＝eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)．因為n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.反思感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．跟蹤訓(xùn)練3在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點．求證：平面AED⊥平面A1FD1；證明以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,2,1)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0,1，－2)．設(shè)平面AED的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DA,\s\up6(→))＝x1，y1，z1·2，0，0＝0，,n1·\o(DE,\s\up6(→))＝x1，y1，z1·2，2，1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝0，,2x1＋2y1＋z1＝0.))令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．同理，平面A1FD1的一個法向量為n2＝(0,2,1)．∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面