試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年數(shù)學(xué)九年級(jí)中考一輪復(fù)習(xí)全等三角形基礎(chǔ)專練1．如圖，，，(1)求的度數(shù)(2)若，，求四邊形的周長(zhǎng)2．如圖，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與重合，點(diǎn)在上．(1)，，求的長(zhǎng)；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，求的度數(shù)．3．圖1是一種柜廂可收納的貨車，圖2，圖3是其柜廂橫截面簡(jiǎn)化示意圖，忽略柜廂板的厚度，由上、下廂板，可對(duì)折側(cè)廂板組成，已知．當(dāng)廂板收起時(shí)，恰好與重合，點(diǎn)C，D重合均落在中點(diǎn)處，當(dāng)廂板升起過(guò)程中，有．(1)如圖2，當(dāng)上廂板從重合到完全升起到時(shí)，求點(diǎn)C，D在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路程總長(zhǎng)；(2)如圖3，當(dāng)上廂板EF升起到時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)C，D之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果保留整數(shù)）4．如圖1，等腰直角三角形中，，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，易得，我們稱這種全等模型為“k型全等”．如圖2，在直角坐標(biāo)系中，直線分別與y軸，x軸交于點(diǎn)A、．(1)求k的值和點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)在第二象限構(gòu)造等腰直角，使得，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)將直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，求的函數(shù)表達(dá)式．5．如圖，，相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．6．如圖1，和都是等腰直角三角形，，，，的頂點(diǎn)在的斜邊上．(1)線段與線段的數(shù)量關(guān)系為：______．(2)在（1）的條件下，求證：；(3)如圖2，若，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．7．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．8．已知：如圖1，在中，，于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使．過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)E．(1)設(shè)，試求出和的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式分別表示）；(2)用等式表示三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．如圖，點(diǎn)在一條直線上，，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．10．如圖1，，均內(nèi)接于，點(diǎn)A，D在弦的同側(cè)，是的直徑，(1)求證：．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，點(diǎn)E為垂足．①求證：．②若，記，求n與m之間的函數(shù)表達(dá)式．11．在等邊中，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．(1)如圖1，若點(diǎn)恰好落在邊上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交干點(diǎn)，，求的面積；(2)如圖2，若，連接、，求證：；(3)如圖3，若，，連接，，，當(dāng)最小時(shí)．直接寫出四邊形的面積．12．如圖，中，，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在上，，，分別交，于點(diǎn)，，找出圖中與相等的線段，并證明；(3)在（2）的條件下，若，求的值．13．如圖，在中，，D為邊的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊上的點(diǎn)，且，．(1)°．(2)若，，線段的長(zhǎng)為．14．如圖，已知、、、在同一條直線上，，，，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．15．如圖，在中，，是邊上的高，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作于F，交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)指出此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)____________．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案1．(1)(2)20【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等是解答本題的關(guān)鍵．（1）由全等三角形的性質(zhì)得，求出，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)．（2）由全等三角形的性質(zhì)得，，然后根據(jù)周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴．∵，，∴，，∴；（2）解：∵，∴，，∴四邊形的周長(zhǎng)．2．(1)4(2)【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用；（1）先證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）證明，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得；【詳解】（1）解：繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與重合，，，；（2）解：，，，，又，．3．(1)(2)【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可；（2）如圖（2），分別過(guò)點(diǎn)C，D作，垂足分別為點(diǎn)M，N．由(1)知，易證可得，再解直角三角形可得，最后根據(jù)點(diǎn)C，D之間的距離為求解即可．【詳解】（1）解：如圖（1）：當(dāng)廂板收起時(shí)恰好與重合，點(diǎn)C，D重合均落在中點(diǎn)處，，∴，∴點(diǎn)C，D在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑的總長(zhǎng)度為．（2）解：如圖（2），分別過(guò)點(diǎn)C，D作，垂足分別為點(diǎn)M，N．由(1)知，又∵∴，∴，在中，，∴，∴點(diǎn)C，D之間的距離為．4．(1)，點(diǎn)(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3)或【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，正確利用模型是解題的關(guān)鍵．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)C作軸交于點(diǎn)F，證明，據(jù)此即可求解；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作交直線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作軸交于點(diǎn)D，證明，求得，利用待定系數(shù)法即可求解；當(dāng)直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，同理可求．【詳解】（1）解：將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：，解得：，則該函數(shù)的表達(dá)式為：，令，則；∴，即，點(diǎn)（2）解：過(guò)點(diǎn)E作軸交于點(diǎn)F，∵，∴由K型全等模型可得，∴，則，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（3）解：當(dāng)直線繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作交直線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作軸交于點(diǎn)D，∵，∴，∴由K型全等模型可得，∵與x軸的交點(diǎn)，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴；當(dāng)直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，同理可得；綜上所述：直線的解析式為或．5．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．（1）由證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)求出，由直角三角形的性質(zhì)求出，即可得出所求．【詳解】（1）證明：．和是直角三角形，在和中，，∴；（2）解：∵，，，．6．(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)是等腰直角三角形，＝，根據(jù)勾股定理，即可求解；（2）由“”可證，可得，，由勾股定理可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作于，由勾股定理可求的長(zhǎng)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可求的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：是等腰直角三角形，，∴，∴故答案為：．（2）和都是等腰直角三角形，，，，，，，連接，如圖所示：在和中，，，，，，是直角三角形，，，；（3）解：過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，是等腰直角三角形，，，，，．7．(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的判定，角平分線的定義，熟知勾股定理和全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的性質(zhì)可得，再利用即可證明；（2）直接利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵平分，，，∴，∵，，∴；（2）解：在中，，∴．8．(1)；(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)求出；（2）延長(zhǎng)至M，使，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到，進(jìn)而證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：如圖1，延長(zhǎng)至M，使，連接，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∴．9．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握全等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)即證明；（）由全等三角形的性質(zhì)得，再通過(guò)三角形外角性質(zhì)求出即可；【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴；（2）解：由（）得，∴，∵，，，∴，∴．10．(1)見(jiàn)解析；(2)①見(jiàn)解析；②【分析】本題主要考查了圓周角定理、銳角三角形函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)正確添加輔助線．（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，證明，得出；（2）①由直角三角形的性質(zhì)證出，由相似三角形的判定可得出結(jié)論；②由相似三角形的性質(zhì)得出，證明，得出，則，可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，是的直徑，，，，，，，，，，，；（2）①證明：是的直徑，，，，，，，，，，，；②解：，，，，，，，，，，，，，，，，．11．(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意先證明為等邊三角形，得，，則，由旋轉(zhuǎn)可知，，，再證，得，進(jìn)而可知，則，，過(guò)點(diǎn)作，則，即可求解；（2）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，在上截取，則為等邊三角形，，證明，得，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，則，在上截取，連接交于，然后證，得，，再證四邊形為平行四邊形，得，設(shè)，則，求得，，進(jìn)而可知，得，再證為等邊三角形，得，進(jìn)而可證明結(jié)論；（3）結(jié)合題意可知，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，可證明，得，延長(zhǎng)至，使得，則，得為等邊三角形，可知，，則，即點(diǎn)在直線上，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則為等邊三角形，進(jìn)而可知，即為的中點(diǎn)，得，，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作，求得，可得四邊形的面積，即可求解．【詳解】（1）解：在等邊中，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又∵∴，則為等邊三角形，，∴，則，由旋轉(zhuǎn)可知，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，則，∴，過(guò)點(diǎn)作，則，∴的面積為；（2）證明：在等邊中，，，在上截取，則為等邊三角形，，∴，，則，∵，則∴，∴，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，則，在上截取，連接交于，∵，，∴，∴，∴，，又∵，∴，又∵，∴，則四邊形為平行四邊形，∴，設(shè)，則，∴，∵，∴，則，∵，，∴，∴，則，∴，則為等邊三角形，∴，則；（3）在等邊中，，，則，∵，∴，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，∴，，∴，∴，延長(zhǎng)至，使得，則，∴為等邊三角形，∴，，則，即點(diǎn)在直線上，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則為等邊三角形，∴，∵，即為的中點(diǎn)，∴，，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作，則，四邊形的面積，即當(dāng)最小時(shí)，四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形及等邊三角形，得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．(1)見(jiàn)詳解(2)，見(jiàn)詳解(3)【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出輔助線，并熟練運(yùn)用以上性質(zhì)定理．（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)即可求得結(jié)果；（2）構(gòu)造角平分線，利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出相關(guān)線段和角相等，證出，，進(jìn)而可求得相等線段；（3）構(gòu)造輔助線，根據(jù)題目條件、平行四邊形和等腰直角三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，表示出相關(guān)的線段長(zhǎng)，利用勾股定理表示出和求出比值即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，中，，∴，∵，∴，∴．（2）解：，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作平分，交于點(diǎn)，中，，，中，，，∴，，∵，∴（ASA），∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，中，，∴，∵，∴，∴（ASA）∴．（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（2）知，中，，，∴，，中，，又∵，∴，∵，，∴，，設(shè)，則，，∴中，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴中，，中，，∴．13．(1)45(2)【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形內(nèi)角和定理知，從而得出答案；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，作于H，利用證明，得，，再利用勾股定理求出和的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，故答案為：45；（2）解：延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，作于H，∵，，，∴，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．14．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．（1）由得，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，然后根據(jù)可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，由三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，∴，在和中，∴；（2）解：由（1）知，，∴，∵，∴，∵，∴．15．(1)見(jiàn)解析(2)（1）中的結(jié)論不成立，此時(shí)，（或者），理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）證明，即可得到結(jié)論；（2）證明，則，即可得到，再證明，即可得到結(jié)論；（3）連接，證明．則，得到，由得到，則，由勾股定理得到．即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，，是邊上的高，∴．

∵，∴．∴．

∴．

∴（2）當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論不成立，此時(shí)，（或者）理由如下：∵，是邊上的高，∴．∴．∴．