高一年級數學試題考生須知：1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號.3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.4.考試結束后，只需上交答題卷.選擇題部分一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選?多選?錯選均不得分.）1.已知是虛數單位，復數對應的點的坐標是，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據對應點寫出復數，再應用復數乘法化簡求復數.【詳解】由題設.故選：A2.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據平面向量的一組基底為兩個不共線的非零向量，結合的坐標，逐項判斷可得答案.【詳解】A.為零向量，不能作為基底，A錯誤.B.由得，，故，不能作一組基底，B錯誤.C.由得為不共線的非零向量，可以作為基底，C正確.D.由得，，故，不能作為一組基底，D錯誤.故選：C.3.已知正三角形的邊長為1，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由向量加減的幾何意義及數量積的運算律求.詳解】由題設.故選：C4.在中，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據已知及余弦定理得，進而有，再應用三角形面積公式求面積.【詳解】由題設，且為三角形的最大角，所以，則的面積為.故選：D5.已知，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用投影向量的定義求得答案.【詳解】由，得，，所以在上的投影向量為.故選：A6.已知平面向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，根據條件可得，表示，利用基本不等式可得最大值.【詳解】不妨設，∴，∵，∴，即，∴.∵，，當且僅當時取等號，∴的最大值為.故選：B.7.是斜邊上一點，若，則的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，結合幾何圖形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解.【詳解】在中，令，由，則，，，在中，，由正弦定理，，即，整理得，即，因，則有，即的值是.故選：D8.在中，內角所對的邊分別為，已知，依次是邊的四等分點（靠近點），記，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據條件得到，，表示，利用數量積的運算律計算可比較大小.【詳解】∵，∴，∵，∴.∵，∴.∵依次是邊的四等分點（靠近點），∴，，，∴，，，∴.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用表示，結合數量積的運算律計算，即可比較大小.二?多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選，錯選得0分.）9.已知是虛數單位，表示的共軛復數，復數滿足，則下列正確的是（）A.的虛部為B.C.是純虛數D.若是方程的一個根，則【答案】BC【解析】【分析】根據已知有，設且，進而求得，，最后依次判斷各項正誤.【詳解】由題設，令且，所以，即，所以，則，可得，所以，，則，A錯，B對；，C對；若是方程的一個根，則，，故，D錯.故選：BC10.已知單位向量的夾角為，若平面向量，有序實數對稱為向量在“仿射”坐標系（為坐標原點）下的“仿射”坐標，記，則下列命題正確的是（）A.已知，則B.已知，則線段的長度為1C.已知，則D.已知，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據題設“仿射”坐標系的定義，依據各項條件并應用向量數量積的運算律及相關坐標運算判斷正誤即可.【詳解】A：由題設，所以，對；B：由題設，則，對；C：由題設，錯；D：由題設，即，由，且時取等號，則，故，即時的最大值為，對.故選：ABD11.已知銳角，角所對應的邊分別為，下列命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則是等腰三角形C.若，則的取值范圍D.若，則的取值范圍【答案】BCD【解析】【分析】根據充分、必要性定義及誘導公式、銳角三角形性質判斷A；由已知及正弦邊角關系及二倍角正弦公式有，結合銳角三角形有判斷B；由已知及正余弦定理、三角恒等變換得，進而有，且，再由、求范圍，即可判斷C、D.【詳解】由，則，所以，必要性成立，由，又為銳角三角形，必有，充分性成立，所以“”是“”的充要條件，A錯；由，又，故，則，又，則或，得或（舍），所以為等腰三角形，B對；由，又，則，所以，則，故，所以，即，結合三角形為銳角三角形，可得，故，由，故，C對；，又，顯然在上單調遞減，所以，D對.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：對于C、D，根據已知得到，且為關鍵.非選擇題部分三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量，若，則__________.【答案】【解析】【分析】由向量加法的坐標運算及垂直的坐標表示列方程求參數值.【詳解】由題設，且，所以，則.故答案為：13.瑞士數學家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對數的底數，是虛數單位，該公式被稱為歐拉公式.根據歐拉公式求的最大值為__________.【答案】2【解析】【分析】根據新定義有，結合三角函數的性質求其最大值.【詳解】由題設，當，即時，的最大值為2.故答案為：214.已知為單位向量，設向量，向量夾角為，若，求的取值范圍__________.【答案】【解析】【分析】根據已知及數量積的運算律求得，，，再應用數量積的夾角公式求的范圍.【詳解】由，所以，故，又，，所以，而，所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：根據已知得到為關鍵.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知是虛數單位，表示的共軛復數，復數滿足（1）求的值；（2）在復平面內，若對應的點在第三象限，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令且，根據已知等量關系得，進而求復數模；（2）由已知有，結合其所在象限列不等式組求參數范圍.【小問1詳解】令且，則，所以，則，可得，所以，則；【小問2詳解】由，故對應點在第三象限，則，所以，即.16.已知的內角所對應的邊分別為是外一點，若，且.（1）求角的大小；（2）若，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應用正弦邊角關系及和角正弦公式得，再由三角形內角性質及已知，即可確定角大小；（2）由（1）為等邊三角形，令，建立直角坐標系并確定相關點坐標，由及三角形面積公式、輔助角公式、正弦型函數的性質求范圍.【小問1詳解】由題設，即，所以，而，故，又，則，故.【小問2詳解】由（1）易知為等邊三角形，令，建立如下圖的直角坐標系，則，，，故，所以，當時取最大值為.17.在中，為線段上的點，分別為的中點.（1）若，求的值；（2）若，求的長度；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）令得到，結合已知即可求參數值；（2）由已知得，，，結合已知有，再應用余弦定理求邊長；（3）根據已知有均為等腰三角形，結合向量數量積的定義及幾何意義，將條件化為，結合已知求.【小問1詳解】令，則，而，即；【小問2詳解】由題意，在、中為斜邊上的中點，所以，，故，，所以，由，所以，故；【小問3詳解】由（2）易知，則，所以，同理，所以，即，顯然，則.18.杭州最高的建筑是杭州世紀中心，也被形象地稱為“杭州之門”，作為杭州的新地標，它不僅是城市的一道亮麗風景線，更是杭州發展的重要見證，也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學習小組在老師帶領下去測量“杭州之門”的高度，該小組同學在該建筑底部的東南方向上選取兩個測量點與，測得米，在兩處測得該建筑頂部的仰角分別為.（已知）（1）請計算“杭州之門”的高度（保留整數部分）；（2）為慶祝某重大節日，在“杭州之門”上到處設計特殊的“燈光秀”以烘托節日氣氛.知米，高直接取（1）的整數結果，市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如圖），請問當為多少米時，欣賞“燈光秀”的視角最大？（結果保留根式）【答案】（1）300米；（2）為米時，欣賞“燈光秀”的視角最大.【解析】【分析】（1）根據已知有，即可求的高度；（2）由，根據已知及差角正切公式、基本不等式求的最值，確定取值條件即可得結論.【小問1詳解】由題設，所以米；【小問2詳解】設米，則，，由，則，當且僅當時，欣賞“燈光秀”的視角最大.19.如圖，已知是邊長為1的等邊三角形，點是內一點.過點的直線與線段交于點，與線段交于點.設，且.（1）若，求的面積；（2）求的最小值；（3）若，設的周長為.（i）求的值；（ii）設，記，求的值域.【答案】（1）；（2）；（3）（i）3；（ii）.【解析】【分析】（1）連接AG并延長交BC于點F，設，則，結合三點共線可得，，進而求得，，即可得出結果.（2）取的中點，利用中點向量及數量積的定義、運算律，結合二次函數求出最小值.（3）（i）根據給定條件，結合中點向量及共線向量定理的推論求解即得；（ii）求出，由余弦定理求得，結合（i）的結論求出，利用的范圍及二次函數的性質求解即可得出的值域.【小問1詳解】連接AG并延長，交BC于點F，設，則，由B，F，C三點共線，得，解得，因此，即，則，由是邊長為1的等邊三角形，得的