成都市石室成飛中學20242025學年下期高一三月月考數學（滿分150分，考試時間120分鐘）一.單項選擇題（每題5分，共40分）1.已知的終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據三角函數的定義求解.【詳解】根據題意，，.故選：A.2.（）A.0 B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據和角正弦公式化簡求值即可.【詳解】由和角正弦公式知.故選：D3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】.故選：D.4.下列函數是奇函數，且在定義域內單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函數的單調性與奇偶性逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，函數的定義域為，，即函數為偶函數，且，即函數在上為減函數，在上為增函數，所以，函數在上不單調，A不滿足要求；對于B選項，函數為奇函數，該函數的定義域為，函數在定義域上不單調，B不滿足要求；對于C選項，函數的定義域為，，所以，函數為奇函數，因為函數在上為增函數，則該函數在上為增函數，故函數在上為增函數，C滿足要求；對于D選項，函數為奇函數，且該函數在定義域上不單調，D不滿足要求.故選：C.5.如圖，平行四邊形中，是邊上的一點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據向量線性運算化簡求解即可.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B6.要得到函數的圖象，只要將函數的圖象（）A向右平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向左平移個單位【答案】C【解析】【分析】根據函數平移性質判定即可.【詳解】向右平移個單位，將函數的圖像得到函數的圖象故選：C.7.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數的基本關系求出的值，然后利用兩角差的余弦公式可求得的值.【詳解】因為，則，所以，，因此，.故選：C.8.方程的根的個數是（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】在同一坐標系中，畫出和的函數圖象求解.【詳解】畫出和的函數圖象，因為，，結合圖象可得函數與函數圖像的交點個數是5個.故選：A二．多項選擇題（每題6分，共18分）9.下面的命題正確的有（）A.方向相反的兩個非零向量一定共線B.單位向量都相等C.若，滿足且與同向，則D.“若A、B、C、D是不共線的四點，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”【答案】AD【解析】【分析】根據向量的定義和性質，逐項判斷正誤即可.【詳解】對于A，由相反向量概念可知A正確；對于B，任意兩個單位向量的模相等，其方向未必相同，故B錯誤；對于C，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故C錯誤；對于D，若A、B、C、D是不共線的四點，且，可得，且，故四邊形ABCD是平行四邊形；若四邊形ABCD是平行四邊形，可知，且，此時A、B、C、D是不共線的四點，且，故D正確.故選：AD.10.已知函數．下列說法正確的是（）A.的圖象關于直線軸對稱B.在區間內單調遞增C.的圖象關于點中心對稱D.將圖象上各點先橫坐標擴大為原來的2倍，再向右平移個單位得到正弦曲線【答案】AC【解析】【分析】根據三角函數的圖象和性質可判斷ABC的真假，根據函數的圖象變換判斷D的真假.【詳解】對A：因為，是函數的最大值，所以是函數的對稱軸，故A正確；對B：由，，可得：，.所以函數在上遞增，在上遞減，故B錯誤；對C：因為，所以是函數的對稱中心，故C正確；對D：將圖象上各點先橫坐標擴大為原來的2倍，可得的圖象，再向右平移個單位得到的圖象為正弦型曲線，不是正弦曲線，故D錯.故選：AC11.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到應用.假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為，筒車轉輪的中心到水面的距離為，筒車每分鐘沿逆時針方向轉動3圈.若規定：盛水筒對應的點從水中浮現（即時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心為坐標原點，過點的水平直線為軸建立平面直角坐標系.設盛水筒從點運動到點時所經過的時間為（單位：），且此時點距離水面的高度為（單位：）（在水面下則為負數），則與的關系為.下列說法正確的是（）AB.點第一次到達最高點需要的時間為C.在轉動的一個周期內，點在水中的時間是D.若在上的值域為，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】根據三角函數基本量求解方法，結合題意即可判斷A；根據旋轉角度即可判斷B和C；根據三角函數圖像，結合整體代換的方法即可判斷D.【詳解】對于A，因為筒車半徑為，筒車轉輪的中心到水面的距離為，則依題意，滿足，所以，因為筒車每分鐘60s沿逆時針方向轉動3圈，所以，，則，由可得，又因為，所以，故A正確；對于B，由已知得，與軸正方向的夾角為，所以點第一次到達最高點需要轉動，則所需時間為，故B正確；對于C，在轉動一個周期內，點在水中轉動，則所需要的時間是，故C錯誤；對于D，若在上的值域為，則在上的值域為，因為，所以，作出函數的圖象，依題意需使即，解得，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數的實際應用問題.關鍵點在于研究圖形特點，通過數據轉化為三角函數解析式的基本量，進而求解三角函數解析式，從而求解答案.三.填空題（每題5分，共15分）12.若，則________．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角的正切公式計算作答.【詳解】因為，所以.故答案為：13.函數，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】把作為一個整體，結合二次函數性質求最小值．【詳解】，因為，所以時，，故答案為：．14.已知，，函數的圖象如圖所示，是的圖象與相鄰的三個交點，與軸交于相鄰的兩個交點為，若在區間上有2027個零點，則的最大值為_____.【答案】【解析】【分析】利用圖象過原點得，結合對稱軸及圖象確定，再利用三角函數的零點計算即可.【詳解】將原點坐標代入得，則，又，所以，故，因為的中點橫坐標為，故，又對應的點為軸左側第一個最低點，所以，解得，解得，所以，令得，則或，解得或，所以相鄰兩個零點的距離有兩種，可能為，在上，有2027個零點，要求的最大值，則當為個和1014個時，取得最大值，最大值為.故答案為：.四.解答題（共5小題，77分）15.已知函數?.（1）請用“五點法”畫出函數在一個周期上的圖象；（2）求使此函數取得最大值，最小值的自變量的集合，并分列寫出最大值、最小值.【答案】（1）圖象見解析（2），此時；，此時【解析】【分析】（1）由周期計算公式，即可求出周期，把當作一個整體，求出五個關鍵點，即可求解；（2）把當作一個整體，利用的性質，即可求解.【小問1詳解】函數的周期為，列表描點、連線得到圖象如下，【小問2詳解】易知，此時，解得，所以取最大值時，的取值集合為，，此時，解得，所以取最小值時，的取值集合為.16.已知為銳角，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數的商數關系求解即可；（2）根據和正弦的兩角差公式求解即可.【小問1詳解】因為為銳角，，從而，所以.【小問2詳解】由及，，解得，，又，所以，所以，所以，因為，所以.17.已知為銳角，．（1）求證：；（2）的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由兩角和的正弦公式展開求解出，然后證明即可；（2）由（1）求出的值，然后利用平方和關系結合角的范圍求解即可.【小問1詳解】證明：因為，所以，又，所以，所以，即所以【小問2詳解】，所以，因為為銳角，所以，所以，所以，所以.18.已知函數．（1）求單調遞增區間；（2）求不等式的解集﹔（3）若對任意的，恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先將函數化為，再根據正弦函數的單調性即可求解.（2）根據正弦函數值的分布性質直接求解即可.（3）先求出函數在區間上的值域，從而得到，則恒成立等價于，從而得解.【小問1詳解】由題，令，，故函數的單調遞增區間為.【小問2詳解】由（1）即，所以，故不等式的解集為.【小問3詳解】由（1），因為，所以，所以，故，所以若對任意的，恒成立，則，，故m的取值范圍為：.19.“凸凹性”是函數的重要性質.若函數的圖像在定義域區間上連續不斷，且對任意，恒有，則稱函數是區間上的上凸函數；若恒有，則稱函數是區間上的下凸函數（也稱凹函數）.將上述定義進行推廣，即若是上凸函數，則對任意恒有，若是下凸函數，則對任意恒有，當且僅當時等號成立，這個不等式即為著名的琴生不等式.（1）判斷是上凸還是下凸函數？（直接寫出結論即可）；（2）判斷在上是上凸還是下凸函數？并證明你的結論；（3）已知銳角滿足，求的最大值.【答案】（1）下凸函數（2）上凸函數，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用下凸函數的定義判斷即可；（2）利用上凸函數的定義判斷；（3）利用（2）的結論，根據琴生不等式可