學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.3第三課時離散型隨機變量的均值與方差（綜合）一、課前準備1．課時目標(1）熟練應用離散型隨機變量的均值公式求均值；(2）熟練應用離散型隨機變量的方差公式求方差；(3）能熟練應用二項分布、兩點分布、超幾何分布的方差公式求均值與方差。2．基礎預探1.設離散型隨機變量X的分布列為X……P……則EX＝__________,________，=__________.2。兩點分布:若X服從兩點分布，則EX＝__________，_______。3.二項分布：若隨機變量X服從二項分布，即，則___________，_______。4.超幾何分布：若隨機變量X服從N，M，n的超幾何分布，故=___________，_______.二、學習引領1.滿足Y＝ａX＋ｂ兩個隨機變量均值的關系對隨機變量X，若Y＝ａX＋ｂ，其中ａ，ｂ是常數，則Y也是隨機變量，且有.對上述公式,特別地，有：①當ａ＝0時，E(ｂ)＝ｂ，即常數的數學期望就是這個常數本身；②當ａ＝1時,E(X＋ｂ）＝EX＋ｂ，即隨機變量X與常數之和的期望等于X的期望與這個常數的和;③當ｂ＝0時，,即常數與隨機變量乘積的期望等于這個常數與隨機變量期望的乘積。2.隨機變量函數的方差當ａ,ｂ均為常數時，隨機變量函數的方差。特別地:①當ａ＝0時，D（ｂ）＝0,即常數的方差等于0；②當ａ＝1時,，即隨機變量與常數之積的方差等于這個隨機變量的方差本身；③當ｂ＝0時，，即隨機變量與常數之積的方差，等于這常數的平方與這個隨機變量方差的乘積.3。研究均值與方差問題的步驟①由題意抽象出題中需要的隨機變量及其取值范圍;②分析此隨機變量是否滿足某種常見的分布，若滿足則套用相關公式；③若不滿足,則找出隨機變量取值對應的事件，求出相應的概率值;④列出隨機變量的分布列;⑤利用均值和方差的公式求值.三、典例導析題型一含參的離散型隨機變量均值與方差問題例1現有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元,一年后利潤是1.2萬元、1。18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項目的利潤與產品價格的調整有關,在每次調整中價格下降的概率都是，設乙項目產品價格在一年內進行2次獨立的調整,記乙項目產品價格在一年內的下降次數為,對乙項目每投資十萬元，取0、1、2時,一年后相應利潤是1.3萬元、1。25萬元、0。2萬元。隨機變量、分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤.（=1\*ROMANI)求、的概率分布和數學期望、；(=2\*ROMANII)當時,求的取值范圍。思路導析：由，先列出其分布列，再利用與的關系得到的分布列，然后利用公式分別求得、的期望，建立解不等式便可求解第二問.解：（=1\＊ROMANI)的概率分布為1。21。181.17PE=1。2+1。18+1.17=1.18。由題設得，則的概率分布為012P故的概率分布為1。31。250。2P所以的數學期望為E=++=.(=2\*ROMANII）由，得：，整理可得，解之得.因0<p〈1,所以時，p的取值范圍是0〈p<0。3。規律總結：本題給出了滿足一定關系的兩個隨機變量，通過解題過程可知，其中一個隨機變量的分布列可以借助另外一個建立，這是順利解決本題的關鍵。變式訓練：隨機變量的分布列如下：其中成等差數列，若，則的值是．題型二離散型隨機變量均值與方差的計算例2國家隊為了選拔參加倫敦奧運會的羽毛球混雙運動員，組織一隊與二隊進行對抗比賽，在每局比賽中一隊獲勝的概率都是p（0≤p≤1）.（Ⅰ）若比賽6局，且p=，求一隊至多獲勝4局的概率是多少？（Ⅱ）若比賽6局，求一隊恰好獲勝3局的概率的最大值是多少？（Ⅲ)若采用“五局三勝”制，求一隊獲勝時的比賽局數的分布列和數學期望。思路導析:本題的（I）（II）問同為二項分布的問題，可以根據其公式來解決。（III）問一隊獲勝時的比賽局數=3，4，5,分別表示事件“三局連勝”“前三局勝兩局，第四局又勝”，“前四局勝兩局，第五局又勝”這幾個事件,可以分別求出概率值.解：(Ⅰ）設“比賽6局，一隊至多獲勝4局”為事件A，則=。∴一隊至多獲勝4局的概率為.（Ⅱ）設“若比賽6局，一隊恰好獲勝3局”為事件B，則。當p=0或p=1時，顯然有.當0<p〈1時,。當且僅當p=1-p，即時取等號.故一隊恰好獲勝3局的概率的最大值是。（Ⅲ）若采用“五局三勝"制，一隊獲勝時的比賽局數=3，4，5。，;.所以，的分布列為345P．規律總結:本題主要利用分布列的性質:所有項的概率和為1，各項都為正，求分布列的參數值。本題還要注意第二、三問類似二項分布卻不是二項分布，要看清題意，防止審題出錯.變式訓練：新疆某110特警訓練班共8名隊員,進行實彈射擊比賽，（Ⅰ)通過抽簽將編號為1~8號的8名隊員排到1～8號靶位，試求恰有5名隊員所抽到靶位號與其編號相同的概率;(Ⅱ）此次射擊比賽規定每人射擊3次，總環數不少于29環的隊員可獲得神槍手稱號.已知某隊員擊中10環和9環的概率均為0.5，（1）求該隊員能獲得神槍手稱號的概率；（2）求該隊員三次中靶環數總和η的分布列和數學期望。題型三離散型隨機變量均值與方差與統計問題的綜合應用例3以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數，乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示．（1)如果X＝8，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差;(2)如果X＝9，分別從甲，乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數Y的分布列和數學期望．(注：方差s2＝eq\f(1,n)（(x1－eq\x\to(x））2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋（xn－eq\x\to(x)）2），其中eq\x\to(x)為x1，x2，…，xn的平均數）思路導析：需先從莖葉圖中還原出乙組同學種植樹棵數再求平均數和方差.第二問先根據莖葉圖,將甲、乙的植樹棵數列出，組合得到植樹總棵數Y的取值，進而列出分布列。解：(1）當X＝8時，由莖葉圖可知,乙組同學的植樹棵數是：8,8,9，10.所以平均數為eq\x\to（x)＝eq\f（8＋8＋9＋10，4）＝eq\f（35，4)；方差為s2＝eq\f（1，4)eq\b\lc\[\rc\（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(8－\f(35，4)））2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（8－\f(35,4）)）2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f（35,4）))2＋）)eq\b\lc\\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（10－\f（35，4)））2）)＝eq\f(11，16）.（2)當X＝9時,由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9,9,11,11；乙組同學的植樹棵數是：9，8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取1名同學，共有4×4＝16種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數Y的可能取值為17，18,19,20,21.事件“Y＝17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵"，所以該事件有2種可能的結果，因此P（Y＝17)＝eq\f(2，16）＝eq\f（1，8)，同理可得P(Y＝18)＝eq\f（1,4）;P(Y＝19）＝eq\f（1,4)；P（Y＝20)＝eq\f（1,4）；P（Y＝21)＝eq\f(1，8).所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021Peq\f(1，8)eq\f（1，4）eq\f（1,4)eq\f（1，4)eq\f(1，8)EY＝17×P(Y＝17)＋18×P（Y＝18)＋19×P（Y＝19)＋20×P（Y＝20)＋21×P（Y＝21）＝17×eq\f(1,8）＋18×eq\f（1,4)＋19×eq\f(1，4)＋20×eq\f(1，4)＋21×eq\f（1，8)＝19。規律總結：本題利用莖葉圖給出題目需要的數據，展現了離散型隨機變量與統計問題的完美結合,能否準確的從莖葉圖讀取數據是解決本題的關鍵。變式訓練：某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優質品．現用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果:A配方的頻數分布表指標值分組[90，94)［94，98)［98，102）［102，106)[106,110］頻數82042228B配方的頻數分布表指標值分組[90，94)［94，98)[98,102）[102,106）［106,110]頻數412423210(1）分別估計用A配方，B配方生產的產品的優質品率;(2)已知用B配方生產的一件產品的利潤y（單位：元）與其質量指標值t的關系式為y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－2，t＜94，，2，94≤t＜102，，4，t≥102.））從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X(單位：元)，求X的分布列及數學期望．(以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率)四、隨堂練習1．隨機變量X的分布列如下表:則X的數學期望是（)．A．2。0B．2.1C．2.2D．隨m的變化而變化。2．某大廈的一部電梯從底層出發后只能在第18，19，20層停靠,若該電梯在底層有5個乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率為表示5位乘客在20層下電梯的人數，則隨機變量X的期望（）A．B。C。2D。3．有10張卡片，其中8張標有數字2，2張標有數字5，從中任意抽出3張卡片，設3張卡片上的數字之和為，則的數學期望是（）．A．7.8B．8C．16D．15。64.設某運動員投籃命中概率是0。6,則一次投籃時投中次數的期望為_____，方差為_______．5．某人參加駕照考試，共考6個科目,假設他通過各科考試的事件是相互獨立的，并且概率都是．若此人未能通過的科目數的均值是2，則=________。6．某農場計劃種植某種新作物,為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙．假設n＝4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為X,求X的分布列和數學期望。五、課后作業．拋擲一枚硬幣，規定正面向上得1分，反面向上得分，則得分X的均值與方差分別為()．A．EX=0,DX=1B．EX=,DX=C．EX=0，DX=D．EX=，DX=12。若，且,則的值為（）。A．B．C．D．3.馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布列如下表：123？!？請小牛同學計算的數學期望。盡管“！”處完全無法看清，且兩個“?”處字跡模糊，但能斷定這兩個“?”處的數值相同。據此，小牛給出了正確答案=。4.一個盒內有大小相同的2個紅球和8個白球，現從盒內一個一個地摸取,假設每個球摸到的可能性都相同。若每次摸出后都不放回，當拿到白球后停止摸取，則摸取次數X的數學期望是．5。某保險公司新開設了一項保險業務，若在一年內事件E發生，該公司要賠償a元，設在一年內事件E發生的概率P，為使公司收益的期望等于a的百分之十，公司應要求顧客交多少保險金？6。某商店試銷某種商品20天,獲得如下數據：日銷售量（件）0123頻數1595試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規律不變)，設某天開始營業時有該商品3件,當天營業結束后檢查存貨,若發現存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率．(1)求當天商店不進貨的概率；(2）記X為第二天開始營業時該商品的件數，求X的分布列和數學期望．參考答案2。3第三課時離散型隨機變量的均值與方差（綜合)一、課前準備2．基礎預探1.2。ｐ3.np4。三、典例導析例1變式訓練答案：1解析：由題意可得,解之可得,，再根據方差公式可知=1。例2變式訓練解:（I）記恰有5名隊員抽到的靶位與其編號相同的事件為A，則P（A)=。(II）（1）記該隊員獲得神槍手稱號的事件為B，則P(B)=.（2）P（=27)=0.53=0.125,P（=28）=，P（=29)=，P（=30)=0.53=0。125。的分布列如下表:27282930P0.1250。3750。3750。125E=27×0.125+28×0。375+29×0。375+30×0。125=28.5。例3變式訓練解：（1)由試驗結果知，用A配方生產的產品中優質品的頻率為eq\f（22＋8,100）＝0。3，所以用A配方生產的產品的優質品率的估計值為0。3.由試驗結果知,用B配方生產的產品中優質品的頻率為eq\f（32＋10，100）＝0.42，所以用B配方生產的產品的優質品率的估計值為0。42.（2）用B配方生產的100件產品中,其質量指標值落入區間[90，94），［94,102），［102，110]的頻率分別為0。04,0.54，0。42，因此，P（X＝－2)＝0。04,P(X＝2）＝0。54,P(X＝4)＝0。42，即X的分布列為X－224P0。040.540.42X的數學期望EX＝－2×0。04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68。四、隨堂練習1。答案：B解析：因為，所以，所以.2．答案：B解析：因為，所以。3．答案：A解析：的取值為6,9，12，相應的概率為，．4.答案:0.6;0。24解析：投中次數的取值為0，1,的分布列為01P0.40。6所以,.5．答案:解析：因為通過各科考試的概率為,所以不能通過考試的概率為,易知,所以，解得。6．解：(1)X可能的取值為0，1，2,3,4,且P（X＝0）＝eq\f(1，C\o\al(4,8））＝eq\f(1，70），P(X＝1）＝eq\f（C\o\al(1，4)C\o\al（3，4）,C\o\al(4，8))＝eq\f（8，35），P(X＝2）＝eq\f（C\o\al(2,4）C\o\al（2，4）,C\o\al（4,8)）＝eq\f(18，35)，P（X＝3）＝eq\f(C\o\al（3,4)C\o\al(1,4），C\o\al（4，8))＝eq\f（8,35)，P(X＝4)＝eq\f（1,C\o\al(4，8))＝eq\f(1,70)。即X的分布列為ξ01234Peq\f（1，70）eq\f(8，35）eq\f（18,3