突破01與三角形'四邊形'圓有關(guān)的計(jì)算與證明（含圖形變化）

目錄一覽

知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）

重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一與三角形有關(guān)的計(jì)算與證明

A考向二與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明

A考向三與圓有關(guān)的計(jì)算與證明

知識(shí)目標(biāo)

與三角形、四邊形、圓有關(guān)的計(jì)算，每年連續(xù)考查，與三角形有關(guān)的計(jì)算，常以一般三角形或特殊三角形

為背景，結(jié)合全等、相似、勾股定理考查求線段長(zhǎng)或角度；與四邊形有關(guān)的計(jì)算，考查的形式有矩形、正

方形的折疊求線段長(zhǎng)或角度，矩形與坐標(biāo)系結(jié)合求點(diǎn)坐標(biāo)；與圓有關(guān)的計(jì)算，以直角三角形和圓為背景，

涉及切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)或角度.

田重點(diǎn)考向

A考向一與三角形有關(guān)的計(jì)算與證明

1.（2023?江西）如圖，在口A8CD中，ZB=60°,BC=2AB,將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（0°<a<

360°）得到AP,連接PC,PD.當(dāng)4PCD為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)

為.

2.（2022?南昌）問(wèn)題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題:

m②⑸⑷⑸

①如圖1,在正三角形ABC中，M,N分別是AC,4B上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)。，若/BON=

60°,則BM=CN；

②如圖2,在正方形ABC。中，M,N分別是CD,上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O,若/BON=

90°,則BM=CN.

然后運(yùn)用類(lèi)比的思想提出了如下命題；

③如圖3,在正五邊形A8CDE中，M,N分別是CD,OE上的點(diǎn)，8M與CN相交于點(diǎn)O,若NBON

=108°,則BM=CN.任務(wù)要求：

（1）請(qǐng)你從①，②，③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；

（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：

①如圖4,在正〃（?>3）邊形ABCQEF…中，M,N分別是CO,DE上的點(diǎn)，與CN相交于點(diǎn)。，

試問(wèn)當(dāng)NBON等于多少度時(shí)，結(jié)論8M=CN成立；（不要求證明）

②如圖5,在正五邊形ABCDE中，M,N分別是。E,AE上的點(diǎn)，與CN相交于點(diǎn)。，若NBON=

108。時(shí)，試問(wèn)結(jié)論8M=CN是否還成立.若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（2022?萊蕪）在RtAABC中，ZABC=90°,42=4,BC=2.如圖，將直角頂點(diǎn)2放在原點(diǎn)，點(diǎn)A放

在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B在尤軸上向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A也隨之在y軸上向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)原點(diǎn)時(shí)，

點(diǎn)

8停止移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為.

4.（2023?濟(jì)寧）如圖，A48C是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D,E在邊BC±,若ND4E=30。,

tan/EAC^n,

3,則8。

5.（2022?武漢）如圖，在R3A8C中，ZACB=90°,AOBC,分別以AABC的三邊為邊向外作三個(gè)正

方形ABUL,ACDE,BCFG,連接。尸.過(guò)點(diǎn)C作A3的垂線C7,垂足為J,分別交。RLH于點(diǎn)I,

K.若C7=5,CJ=4,則四邊形A/KL的面積是.

6.（2023?衢州）如圖，在AABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB,AC于點(diǎn)D,

E.分別以點(diǎn)。，￡為圓心，大于2長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于/A4c內(nèi)一點(diǎn)?連結(jié)A尸并延長(zhǎng)，交BC

于點(diǎn)G.連結(jié)。G,EG.添加下列條件，不能使BG=CG成立的是（）

A.AB=ACB.AG±BCC.ZDGB=ZEGCD.AG=AC

7.（2023?鞍山）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)M為CD邊上一點(diǎn)，連接AM,將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到AABN,在AM,AN上分別截取AE,AF,使AE=AF=BC,連接EF,交對(duì)角線BD于點(diǎn)

25

G,連接AG并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)H.若AM=3,CH=2,則AG的長(zhǎng)為.

8.（2022?襄陽(yáng)）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓。上，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，連接AC,BC,

AD,與BC相交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)O作直線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：DE是。。的切線；

（2）若/=俞，CG=2?,求陰影部分的面積.

9.（2022?自貢）如圖，在平行四邊形A8CD中，AB=6,AD=9,NBA。的平分線交BC于E,交。C的

則AMC的周長(zhǎng)為（

C.9D.8

A考向二與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明

1.（2023?十堰）如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E,F,G,X分別是AB,BC,CD,上的點(diǎn)，且BE=

BF=CG=AH,若菱形的面積等于24,BD=8,則EB+G2/=

2.（2022?黔東南州）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED,過(guò)點(diǎn)。作。fUBC,

垂足為尸，則。尸的長(zhǎng)為（)

D

A.273+2B.5-3C.3-MD.VS+I

3.（2019?撫順）如圖，AC,8。是四邊形ABC。的對(duì)角線，點(diǎn)E,尸分別是A。，8C的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N

分別是AC,8。的中點(diǎn)，連接EM,MF,FN,NE,要使四邊形EMFN為正方形，則需添加的條件是

（）

C.AB=CD,ACLBDD.AB=CD,AD//BC

5.（2022?賀州）如圖，梯形ABC。中，DC//AB,EP是中位線，EGLABG,FHLAB于H,梯形的

2

高/i=2（AB+DC）.沿著GE,即分另！］把AAGE,ABHF剪開(kāi),然后按圖中箭頭所指方向，分別繞著

點(diǎn)E,尸旋轉(zhuǎn)180。，將會(huì)得到一個(gè)什么樣的四邊形？簡(jiǎn)述理由.

6.（2022?鄂州）如圖，四邊形A8CD中，AC=a,BD=b,MAC±BD,順次連接四邊形ABC。各邊中

點(diǎn)，得到四邊形AiBGd，再順次連接四邊形AiBGA各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2&C2Q,如此進(jìn)行下

去，得到四邊形A0.CnD”.下列結(jié)論正確的是（）

①四邊形A4B4C4D4是菱形；

②四邊形A383c3。3是矩形；

a+b

③四邊形AzBzGe周長(zhǎng)為8；

④四邊形AMCnD,面積為2n.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

7.（2022?阿壩州）順次連接菱形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

8.（2022?呼和浩特）如圖，在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC_LB。，垂足為。，點(diǎn)E、F、G、”分別為邊

AD,AB,BC、CD的中點(diǎn).若AC=8,BD=6,則四邊形EPGH的面積為.

9.（2021?龍巖）如圖，我們把依次連接任意四邊形A8C。各邊中點(diǎn)所得四邊形E/GH叫中點(diǎn)四邊形.

（1）若四邊形A8CD是菱形，則它的中點(diǎn)四邊形所G”一定是；

A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形

（2）若四邊形ABCD的面積為Si，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2,則N與S2的數(shù)量關(guān)系是N=

$2；

（3）在四邊形ABCD中，沿中點(diǎn)四邊形EFGH的其中三邊剪開(kāi)，可得三個(gè)小三角形，將這三個(gè)小三

角形與原圖中未剪開(kāi)的小三角形拼接成一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)畫(huà)出一種拼接示意圖，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)全等的

三角形.

10.（2023?朝陽(yáng)）如圖，在正方形A8C。中，點(diǎn)E是對(duì)角線8。上一點(diǎn)，連接EA,將線段胡繞點(diǎn)E逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在射線CB上的點(diǎn)尸處，連接EC.

【問(wèn)題引入】

（1）請(qǐng)你在圖1或圖2中證明EF=EC（選擇一種情況即可）；

【探索發(fā)現(xiàn)】

（2）在（1）中你選擇的圖形上繼續(xù)探索：延長(zhǎng)FE交直線CD于點(diǎn)M.將圖形補(bǔ)充完整，猜想線段

和線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,AB=3,延長(zhǎng)AE至點(diǎn)N,使NE=AE,連接。N.當(dāng)AAOV的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)

出線段。E的長(zhǎng).

A考向三與圓有關(guān)的計(jì)算與證明

1.（2023?荊州）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（孩），點(diǎn)。是這段弧所在圓的圓心，B為標(biāo)上

一點(diǎn)，08_L4c于D若AC=300遙機(jī)，BD=150m,則血的長(zhǎng)為（）

A.3OO7imB.20071MC.150兀機(jī)D.lOoV37im

2.（2023?湖北）如圖，在。O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P,連接AC,AD,BD,若NC=20。,

ZBPC=70°,則NA0C=()

A.70°B.60°C.50°D.40°

3.(2023?無(wú)錫)如圖，AB是。。的直徑，F(xiàn)D為。。的切線，與AB相交于點(diǎn)E.DF//AB,交CA的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，CF=CD.

(1)求/尸的度數(shù)；

(2)若DE-DC=S,求。。的半徑.

4.(2023?聊城)如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,N3AC的平分線交BC于點(diǎn)。，/AOC的平分

線DE交AC于點(diǎn)、E.以A。上的點(diǎn)。為圓心，。。為半徑作。O,恰好過(guò)點(diǎn)E.

(1)求證：AC是。。的切線；

3.

(2)若CD=12,tan/A2C=4,求。。的半徑.

5.(2023?內(nèi)蒙古)如圖，A8是。。的直徑，E為。。上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，連接8C,過(guò)點(diǎn)C的

直線垂直于BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

(1)求證：PC為。。的切線；

(2)若PC=2&B0,PB=10,求BE的長(zhǎng).

6.(2023?瀘州)如圖，在R3ABC中，NC=90。，點(diǎn)。在斜邊A8上，以為直徑的半圓。與BC相

切于點(diǎn)E,與AC相交于點(diǎn)尸，連接OE.若AC=8,BC=6,則DE的長(zhǎng)是()

7.(2023?大連)如圖1,點(diǎn)A,8,C在。上，AC是。。的直徑，平分NBAC,與。。相交于點(diǎn)

D.連接。。，與BC相交于點(diǎn)E.

(1)求NOEC的度數(shù).

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作。。的切線，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)。作。G〃E4,與AC相交于點(diǎn)

G.若DE=4,求。G的長(zhǎng).

8.(2023?紹興)如圖，A3是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作。。的切線C。，交的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作AELCD于點(diǎn)E.

(1)若/區(qū)4c=25。，求NACO的度數(shù)；

(2)若。3=2,BD=1,求CE的長(zhǎng).

9.(2023?泰州)已知：A、8為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，/C為AB所對(duì)的圓周角.

知識(shí)回顧

(1)如圖①，。。中，B、C位于直線A。異側(cè)，ZAOB+ZC^135°.

①求NC的度數(shù)；

②若。。的半徑為5,AC=8,求BC的長(zhǎng);

逆向思考

(2)如圖②，若尸為圓內(nèi)一點(diǎn)，且NAPB<120。，PA=PB,/APB=2NC.求證：尸為該圓的圓心；

拓展應(yīng)用

(3)如圖③，在(2)的條件下，若/APB=90。，點(diǎn)C在。P位于直線AP上方部分的圓弧上運(yùn)

動(dòng).點(diǎn)。在。尸上，滿足CD=C4的所有點(diǎn)。中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變.請(qǐng)證明.

10.(2023?遂寧)如圖，四邊形內(nèi)接于。O,為。。的直徑，AD=CD,過(guò)點(diǎn)。的直線/交BA

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N且/

(1)求證：MN是。。的切線；

(2)求證：AD'^AB-CN；

近

(3)當(dāng)48=6,sinZZ)CA=3時(shí)，求AM的長(zhǎng).

11.（2023?宿遷）（1）如圖，是。。的直徑，AC與。。交于點(diǎn)R弦4。平分NBAC,點(diǎn)E在AC

上，連接OE、DB,.求證：

從①DE與。。相切；②。ELAC中選擇一個(gè)作為已知條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整

（填寫(xiě)序號(hào)），并完成證明過(guò)程；

（2）在（1）的前提下，若AB=6,ZBAD=30°,求陰影部分的面積.

A\B

O

突破01與三角形'四邊形'圓有關(guān)的計(jì)算與證明（含圖形變化）

目錄一覽

知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）

中考命題趨勢(shì)（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）

重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一與三角形有關(guān)的計(jì)算與證明

A考向二與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明

A考向三與圓有關(guān)的計(jì)算與證明

知識(shí)目標(biāo)

與三角形、四邊形、圓有關(guān)的計(jì)算，每年連續(xù)考查，與三角形有關(guān)的計(jì)算，常以一般三角形或特殊三角形

為背景，結(jié)合全等、相似、勾股定理考查求線段長(zhǎng)或角度；與四邊形有關(guān)的計(jì)算，考查的形式有矩形、正

方形的折疊求線段長(zhǎng)或角度，矩形與坐標(biāo)系結(jié)合求點(diǎn)坐標(biāo)；與圓有關(guān)的計(jì)算，以直角三角形和圓為背景，

涉及切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)或角度.

區(qū)重點(diǎn)考向

A考向一與三角形有關(guān)的計(jì)算與證明

1.（2023?江西）如圖，在口ABC。中，ZB=60°,BC=2AB,將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（0°<a<

360°）得到AP,連接PC,PD.當(dāng)△PCO為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為90。或180。或

270°.

【思路點(diǎn)撥】P點(diǎn)在以A為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，有固定軌跡，△PCD為直角三角形，要分三

種情況討論求解.

【完整解答】解：由題意可知，尸點(diǎn)在以A為圓心，A8為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

如圖：延長(zhǎng)應(yīng)1與。A交于尸3，連接尸3c.

"：P3C=2AB=BC,

又?；/2=60°,

，△尸35c為等邊三角形，

：.AC±AB.

在口A5C。中，AB//CD,AB=CD,

：.CD±AC.

：.NACZ）=90。，

???當(dāng)P在直線AC上時(shí)符合題意，

ai=90°,a2—270°.

連接尸3。，

9

：AP3//CD,AP3=AB=CD9

???四邊形ACDP3為平行四邊形.

O

???ZP3DC=ZP?AC=90,

即：尸運(yùn)動(dòng)到尸3時(shí)符合題意.

，（13=180°.

記中點(diǎn)為G,以G為圓心，GC為半徑作。G.

VAC2CG2=VBC2-AB2+CG2=J312-CD2嗎CD:2CD>2-CD,

AG=

/.OA與。G相離，

ZDPC<90°.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了直角三角形的定義，等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)及判定，以及圓周角定

理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn).題目新穎、靈活，解法多樣，需要敏銳的感知圖形的運(yùn)動(dòng)變化才能順利解

題.

2.（2022?南昌）問(wèn)題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題:

①如圖1,在正三角形48c中，M,N分別是AC,A8上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O,若/BON=

60°,則8M=CN；

②如圖2,在正方形ABC。中，M,N分別是CD,上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O,若/BON=

90°,則創(chuàng)/=CN.

然后運(yùn)用類(lèi)比的思想提出了如下命題；

③如圖3,在正五邊形A8COE中，M,N分別是CD,OE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)。，若NBON

=108。，則BM=CN.任務(wù)要求：

（1）請(qǐng)你從①，②，③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；

（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：

①如圖4,在正"（n>3）邊形ABCDEF...中，M,N分別是CD,OE上的點(diǎn)，與CN相交于點(diǎn)。，

試問(wèn)當(dāng)NBON等于多少度時(shí)，結(jié)論BM=CN成立；（不要求證明）

②如圖5,在正五邊形A2CDE中，M,N分別是。E,AE上的點(diǎn)，3M與CN相交于點(diǎn)。，若/BON=

108。時(shí)，試問(wèn)結(jié)論BM=CN是否還成立.若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】（1）正三角形ABC中，可通過(guò)全等三角形來(lái)證明BM=CN,由于=

ZMBC+ZBCO=60°,而NACB=NACN+NOC8=60。，因此/ACN=/MBC,又知道=

=60。，AC^BC,因此AACN咨△CBM,可得出BM=CN；正方形和正五邊形的證明過(guò)程與正三角形

的一樣，都是通過(guò)全等三角形來(lái)得出線段的相等，證三角形的過(guò)程中都是根據(jù)/80N和多邊形的內(nèi)角

相等得出一組兩三角形中的一組對(duì)應(yīng)角相等，然后根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和邊相等，得出和CND

全等，進(jìn)而得出BM=CN；（2）①由（1）的證明過(guò)程可知道/MON的度數(shù)應(yīng)該是正多邊形的內(nèi)角的

（n-2）X180°

度數(shù)，當(dāng)NBON=n時(shí)，結(jié)論BM=CN成立，

②可參照（1）先得出三角形和CDE全等，然后通過(guò)證三角形CEN和全等來(lái)得出結(jié)論，在

證三角形CEN和2DM全等的過(guò)程中也是通過(guò)NBON與正五邊形的內(nèi)角相等得出一組對(duì)應(yīng)角相等，然

后根據(jù)正五邊形的內(nèi)角減去第一對(duì)全等三角形中得出的相等角來(lái)得出另一組對(duì)應(yīng)角相等，可通過(guò)

△BCD絲ACDE得出CE=BD,那么可得出三角形CEN和全等，由此可得證.

【完整解答】

解：(1)選命題①

在圖1中，:△ABC是正三角形，

：.BC^CA,NBCM=NCAN=60°.

ZBON=60°,

：.ZCBM+/BCN=60°.

ZBCN+ZACN=60°,

；.NCBM=ZACN.

，工BCM”XCAN(ASA).

:.BM=CN.

選命題②

在圖2中???四邊形ABCD是正方形，

：.BC=CD,/BCM=/CDN=9U。.

ZBON=90°,

：./CBM+/BCN=9。。.

ZBCN+ZDCN=90°,

：.ZCBM=ZDCN.

:?△BCMQACDN(ASA).

：.BM=CN.

選命題③

在圖3中，???五邊形ABODE是正五邊形，

:?BC=CD,ZBCM=ZCDN=108°.

ZBON=108°,

：.ZCBM+ZBCN=\OS°.

'：ZBCN+ZDCN=10S°,

：.ZCBM=ZDCN,

:?△BCM"ACDN(ASA).

：.BM=CN.

(n-2)X180°

(2)①當(dāng)/BON=n時(shí)，結(jié)論8M=CN成立.

②BM=CN成立.

在圖5中，連接5。、CE,

五邊形ABCDE是正五邊形，

:?BC=CD,NBCD=NCDE=108。,CD=DE,NCDE=/DEA=108。.

：.NBCD=NDEA,

???△BCDmdCDE(SAS).

:?BD=CE,NBDC=/CED,ZDBC=ZECD.

?.,ZBON=10S°,

???NO3C+NOC3=108。.

NOC5+NOCD=108。，

：.ZOBC=ZOCD(即NM3C=NNC。).

/.ZMBC-ZDBC=ZNCD-/ECD,即NDBM=NECN.

：.ZCDE-ZBDC=ZDEA-Z.CED,即/BDM=NCEN.

:?△BDMQACEN(ASA).

:?BM=CN.

【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了全等三角形，正多邊形等幾何知識(shí)，是一道幾何型探究題，層層深入，

體現(xiàn)了一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程，考查學(xué)生的邏輯思維能力及歸納探索諸多方面的能力，是一道很好

的壓軸題.本題是一道非常典型的幾何探究題，很好地體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)

生漸漸地從易走到難，是新課標(biāo)形勢(shì)下的成熟壓軸題.

3.（2016?萊蕪）在R3ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=2.如圖，將直角頂點(diǎn)8放在原點(diǎn)，點(diǎn)A放

在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B在尤軸上向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A也隨之在y軸上向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)原點(diǎn)時(shí)，

點(diǎn)B停止移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為2+2近.

L

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意首先取4出1的中點(diǎn)E,連接OE,CiE,當(dāng)。，E,G在一條直線上時(shí)，點(diǎn)C到

原點(diǎn)的距離最大，進(jìn)而求出答案.

【完整解答】解：如圖所示：取4S的中點(diǎn)E,連接OE,CiE,當(dāng)O,E,G在一條直線上時(shí)，點(diǎn)C

到原點(diǎn)的距離最大，在

R34OBI中，：481=46=4,點(diǎn)。E為斜邊中線，

：.OE=BiE=2A向=2,

又,：BG=BC=2,

.,.CIE=VB1C1+B1E2=242,

...點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為：OE+CiE=2+2版.

故答案為：2+2版.

O\BC6,x

【考點(diǎn)剖析】此題主要考查了軌跡以及勾股定理等知識(shí)，正確得出C點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

4.（2023?濟(jì)寧）如圖，AA8C是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D,E在邊BC±,若NZME=30。，

tan/EAC】rr

3,則BD=3-M3.

【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A作AHLBC于"根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NBAC=60。，再由可得

ZBAD+ZDAH=30o,再根據(jù)/BAZ)+NEAC=30°,可得ND4H=NEAC,從而可得tan/Z14H

2DH=DH=1

tan/E4c=3,利用銳角三角函數(shù)求得AH=ABsin6(T=3J5,再由皿3733,求得。“=3-

M,即可求得結(jié)果.

【完整解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AHL5C于H,

??,△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC=6.ZBAC=60°,

?:AHJLBC,

ZBAH=4ZBAC=3O"

??.2,

：.ZBAD+ZDAH=30°f

丁ZDAE=30°f

：.ZBAD+ZEAC=30°,

：.ZDAH=ZEAC,

_1

tanZDAH—tanZEAC=3,

_1

,:BH=2AB=3,

a

,/AH=ABsin60°=6x2=3近,

DH=DH=1

.?.麗=3E二,

:.DH=M,

：.BD=BH-DH=3-V3,

故答案為：3-V3.

【考點(diǎn)剖析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明/D4H=

/EAC是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?武漢）如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,AOBC,分別以AABC的三邊為邊向外作三個(gè)正

方形ABHL,ACDE,BCFG,連接。足過(guò)點(diǎn)C作A8的垂線CJ,垂足為J,分別交。RLH于點(diǎn)I,

K.若C7=5,CJ=4,則四邊形A/KL的面積是80.

D

【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)D作DMLCI于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)F作FNLCI于點(diǎn)N,由正方形的性質(zhì)可證得

△AC72△COM,ABCJQ4CFN,可得DM=CJ,FN=CJ,可證得△QM/也△bN/,由直角三角形斜邊

上的中線的性質(zhì)可得DI=FI=Ch由勾股定理可得MI,NI,從而可得CN,可得BJ與AJ,即可求

解.

【完整解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。MLC7,交C7的延長(zhǎng)線于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)尸作MV，C7于點(diǎn)N,

???△ABC為直角三角形，四邊形ACOE,BCFG為正方形,過(guò)點(diǎn)。作A3的垂線CJ,CJ=4,

：.AC=CDfZACD=90°,ZAJC=ZCMD=90°,ZCAJ+ZACJ=90°,BC=CF,ZBCF=90°,

NCNF=NBJC=90°,ZFCN+ZCFN=90°,

：.ZACJ+ZDCM=90%NFCN+NBCJ=9。。,

：.ZCAJ=ZDCM,ZBCJ=ZCFN9

：.AACJ^/\CDM(A4S),XBCJ?ACFN(A4S),

：.AJ=CM,DM=CJ=4,BJ=CN,NF=CJ=4,

:.DM=NF,

:?叢DMI"叢FNI(A4S),

：.DI=FLMI=NI,

VZDCF=90°,

：.DI=FI=CI=5f

在RtADM/中，由勾股定理可得：

MI=VDI2-DM2=V52-42=3,

：.NI=MI=3,

：.AJ=CM=C1+MI=5+3=8,BJ=CN=CI-NI=5-3=2,

??.A5=AJ+A7=8+2=10,

???四邊形A8HL為正方形，

.*.AL=AB=10,

.四邊形AJKL為矩形，

四邊形A7KL的面積為：A"V=10x8=80,

故答案為：80.

【考點(diǎn)剖析】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是

正確作出輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.

6.(2023?衢州)如圖，在AABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB,AC于點(diǎn)D,

E.分

《DE

別以點(diǎn)D,E為圓心，大于2長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于/BAC內(nèi)一點(diǎn)F.連結(jié)AE并延長(zhǎng)，交8C于點(diǎn)

G.連結(jié)。G,EG.添加下列條件，不能使8G=CG成立的是()

A.AB=ACB.AG±BCC.ZDGB=ZEGCD.AG=AC

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可知AG是三角形的角平分線，再結(jié)合選項(xiàng)所給的條件逐次判斷能否得出BG=

CG即可.

【完整解答】解：根據(jù)題中所給的作圖步驟可知，

是A48C的角平分線，即NBAG=NCAG.

當(dāng)AB=AC時(shí)，又NR4G=/CAG,且AG=AG,

所以AASG絲ZkACG(SAS),

所以8G=CG,

故A選項(xiàng)不符合題意.

當(dāng)AG_LBC時(shí)，

ZAGB=ZAGC=90°,

又N3AG=NC4G,且AG=AG,

所以AABG絲ZXACG(ASA),

所以BG=CG,

故8選項(xiàng)不符合題意.

當(dāng)/DGBuNEGC時(shí)，

因?yàn)?BAG=/CAG,AD=AE,AG=AG,

所以AADG絲AIEG(SAS),

所以NAGD=/AGE,

又NDGB=/EGC,

所以ZAGD+ZDGB=ZAGE+ZEGC,

即ZAGB^ZAGC.

y.ZAGB+ZAGC=9Q°,

所以NAGB=NAGC=90°,

則方法同(2)可得出BG=CG,

故C選項(xiàng)不符合題意.

故選：D.

【考點(diǎn)剖析】本題考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?鞍山)如圖，在正方形中，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，連接AM,將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到A48N,在AM,AN上分別截取AE,AF,使AE=AF=BC,連接EF,交對(duì)角線BD于點(diǎn)

2540

G,連接AG并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)”.若AM=3,CH=2,則AG的長(zhǎng)為_(kāi)7

【思路點(diǎn)撥】解法一：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AM=AN,DM=BN,ZMAN=90°,NDAM=/BAN,ZAMD

=ZANB,連接DE,BF,由等線段減等線段相等可得FN=EM,于是可通過(guò)SAS證明

△BFN沿ADEM,得至BF=OE,易得AF=AB,AE=AD,由三角形內(nèi)角和定理可得乙48尸=NAF8=

2(180°-NBAF),ZADE=ZAED=2(180°-/DAE),由/BAB得到NABB

=ZADE=ZAED,易得及4爪為等腰直角三角形，根據(jù)等角減等角相等可知NGEB=/GDE,于是

可通過(guò)A4S證明AGFBZZ\GOE,得至I]PG=DG,BG=EG,進(jìn)而可通過(guò)SSS證明△AFGG/XADG,得

25

到NDAH=NNAH,由平行線的性質(zhì)可得NAHN=/NA",則AN=NH=AM=3,設(shè)則AB

25__1

=8C=x+2,BN=3X,在RtZkABV中，利用勾股定理建立方程，求得4=6,“23,即BH=6

_1AP_AB

或3,過(guò)點(diǎn)G作尸G〃BC,交AB于點(diǎn)P,易得AAPGs^ABH,由相似三角形的性質(zhì)得PG-BH,易

AP_AB

得APBG為等腰直角三角形，PG=PB,分兩種情況討論：①當(dāng)①/=6時(shí)，AB=BC=8,貝ljPG-BH=

1衛(wèi)

3,進(jìn)而可設(shè)AP=4a,PG=3a=PB,由AB=AP+PB=8,解得27,在RsAPG中，利用勾股定理

即可求出AG的長(zhǎng)；②當(dāng)BH3時(shí)，AD=CD=AB=3,此時(shí)點(diǎn)M在CD的延長(zhǎng)線上，與題意不符.

25

解法二：同解法一可得AN=NH=AM=3,設(shè)BH=x,BN=y,則BC=x+2=AB,AN=x+y,以此

f-25

.可fx=6fx=l

2223

,(x+2)+y=(—)'y-

可建立關(guān)于X,y的方程組I''3,解得：I3或ly=8,再同解法一討論即可得

出

【完整解答】解：解法一：：將AAOM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋90。得到△4BN,

：.AM=AN,DM=BN,ZMAN=90°,NDAM=/BAN,ZAMD=ZANB,

如圖，連接DE,BF,

'：AE=AF=BC,FN=AN-AF,EM=AM-AE,

：.FN=EM,

在ZiBFN和△￡)￡〃中，

，BN=DM

<ZFNB=ZEMD

FN=EM,

:ABFN沿￡DEM(SAS),

:.BF=DE,

?..四邊形4BCD是正方形，

ZADB=乙480=45。，AB=AD=BC,

：.AF=AB,AE=AD,

：.^ABF和△&￡￡)都是等腰三角形，

/.ZABF=ZAFB=2(180°-ZBAF),ZADE=ZAED=2(180°-NDAE),

,/ZDAE=ZBAF,

：.NABF=NAFB=NADE=ZAED,

\'AF=AE,ZMAN=9Q°,

AAFE為等腰直角三角形，

ZAEG=ZAFG=45°,

〈NGDE=NADE-NADB=/ADE-45°,

NGFB=NAFB-ZAFG=ZAEB-45°,

ZGFB=ZGDE,

在AGFB和AGUE中,

'NBGF=NEGD

-ZGFB=ZGDE

BF=DE,

:.AGFB沿AGDE(A4S),

:.FG=DG,BG=EG,

在AAPG和AADG中，

，AF=AD

<FG=DG

AG=AG,

AAFG^AADG(SSS),

ZFAG=ZDAG,即ZDAH=ZNAH,

'：AD//BC,

ZDAH=ZAHN,

：.ZAHN=ZNAH,

25

：.AN=NH=AM=3,

設(shè)尤，貝UAB=2C=BH+C//=x+2,3

在Rt"BN中，AN2^BN2+AB2,

解得：xi=6,“23,

2

.,.BH=6或3,

如圖，過(guò)點(diǎn)G作PG//BC,交AB于點(diǎn)尸,

△APGs^ABH,

AP_PGAP_AB

AB"BH,gpPG"BH,

,JPG//BC,

AZGPB=180°-ZPBH=1800-90°=90°,

：P8G=45°,

，NPGB=90°-NPBG=45°=/PBG,

：.PG=PB,

①當(dāng)8"=6時(shí)，AD=CD=AB=BH+CH=8,

APABg

.?.設(shè)AP=4a,PG=3a=PB,

VAB=AP+PB=8,

4a+3a=S,

二0

解得：7，

,---------f-----------------40

在RtMPG中，AG=VAP2+PG2=V(4a)2+(3a)2=5a=7；

BH」—

②當(dāng)3時(shí)，AB=CD=BC=BH+CH=3,

在RtAADM中，A22

DA/=VM-AD=《號(hào)/嗎產(chǎn)=8,

7_

?；Z)M=8>CZ)=3,

...點(diǎn)M在C￡)的延長(zhǎng)線上，與題意不符.

40

綜上，AG的長(zhǎng)為7.

25

解法二：同解法一可得AN=N〃=AM=3,

設(shè)38=尤，BN=y,

：.BC=BH+CH=x+2=AB,AN=BH+BN=x+y,

在R3A8N中，AB2+BN2=AN2,

f-25

x+y=w

o

(

/\22/25、2

.(x+2n)+y=(石)

??\Oj

'x=6(」

<7X=T

v=—

解得：I3,Iy=8,

40

同解法一討論，即可得出4G=T.

40

故答案為：7.

【考點(diǎn)剖析】本題考查了正方形的性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

8.(2022?襄陽(yáng))如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓。上，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，連接AC,BC,

AD,A。與BC相交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)。作直線。E〃BC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若眾=而，CG=2、、R,求陰影部分的面積.

【思路點(diǎn)撥】(1)連接0D,證明ODLDE即可；

(2)根據(jù)AC=BD相等，再由(1)中CD=BD可得，AC=CD=BD,從而得到/CAO=NA4￡>=N4BC

=30。，在R3ACG中，利用銳角三角函數(shù)求出AC、AG的長(zhǎng)，從而求出ACAG的面積，在R3ABO中

利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，根據(jù)可得AACGs/viEr),利用相似三角形的面積比等于相

似比的平方求出陰影部分的面積.

【完整解答】(1)證明：連接0,如圖所示，

:點(diǎn)。為前的中點(diǎn),

J.ODLBC

'：DE//BC,

：.OD±DE.

是。。的切線.

(2)解：連接8Q,如圖所示,

\*AC=BD,

：.BD=AC

丁點(diǎn)。為前的中點(diǎn),

CD=BD,

AC=CD=BD,

AC的度數(shù)=CD的度數(shù)=BD的度數(shù)=60。，

：.ZCAD=ZBAD=30°.

???A3是半圓。的直徑，

JZACB=NADB=90。,

空NCAD="

在RSACG中，tan/CA￡>=CA,sinAG

CGCG

.\CA=tan30°,AG=sin30°

VCG=25/3,

.\CA=2V3XV3=6,AG=4?.

：.BD^CA^6,

：.S^ACG=2CG?AC=6?.

BD

在RtA48O中，tan/8AO=AD,

6

BD7T

,'.AD=tan300=3=6V3.

'：DE//BC,

:ACAGsMEAD,

SACAG_（AG）2

SAEAD皿,

673_4

即SAEAD9,

27-

??S&EAD=2.

15遍

?'?S陰影部分=SAEAD-SAACG=2.

【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了切線的判定定理、垂徑定理、圓周角定理以及相似三角形的性質(zhì)，其中

利用過(guò)圓心，平分弧然后根據(jù)垂徑定理證明半徑垂直于弦是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?自貢）如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=6,AD=9,NBA。的平分線交BC于E,交。C的

延長(zhǎng)線于凡BGLAE于G,BG=4\歷，則△跖C的周長(zhǎng)為（）

A，D

F

A.11B.10C.9D.8

【思路點(diǎn)撥】判斷出/是等腰三角形，△A8E是等腰三角形，。尸的長(zhǎng)度，繼而得到EC的長(zhǎng)度,

在RtABGE中求出GE,繼而得到AE,求出△A6E的周長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比,

可得出的周長(zhǎng).

【完整解答】解：???在口ABC0中，AB=CD=6,AD=BC=9,N84O的平分線交于點(diǎn)E,

???NBAF=/DAF,

a：AB//DF,AD//BC,

：.ZBAF=ZF=ZDAF,/BAE=/AEB,

：.AB=BE=6fAD=DF=9,

???△AO/是等腰三角形，是等腰三角形，

■:AD//BC,

???△EFC是等腰三角形，且CF=CE,

CE_1

：.EC=FC=DF-DC=9-6=3,BE=2,

在中，BG.LAE,A5=6,BG=4如,

,-.AG=VAB2-BG2=2,

：.AE=2AG=4,

.?.△ABE的周長(zhǎng)等于16,

XVACEF^ABEA,相似比為1：2,

...△CEF的周長(zhǎng)為8.

【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的周

長(zhǎng)之比等于相似比，此題難度較大.

A考向二與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明

1.（2023?十堰）如圖，在菱形A8CD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,上的點(diǎn)，且

BF

=CG=A8,若菱形的面積等于24,BD=8,貝|EF+G//=6.

AHD

【思路點(diǎn)撥】連接AC交BD于點(diǎn)O,先根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算出對(duì)角線AC的長(zhǎng)，再證

EF_BEGHDH

△BEFsABAC,得出ACBA,同理可證△DHGsADAC,得出ACDA,兩式相加，即可求出

EF+GH的值.

【完整解答】解：連接AC交于點(diǎn)O,

:四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,AB=BC=CD=AD,

:菱形的面積等于24,BD=8,

AOBD

~17=24

；.AC=6,

,:BE=BF,

2

:./BEF=/BFE=2(180°-/EBF),

'JBA^BC,

：.ZBAC=Z