專題03全等三角形中的一線三垂直模型

【模型展示】

【已知】如圖，AABC為等腰直角三角形，AD±DE,CE±DE

【證明】由ZBAD+ZABD=90°,ZCBE+ZABD=90°=NCBE=ABAD,

特點

[ZBAD=ZCBE

同理NABD=NBCE,在AABD和ABCE中,[=AABD=ABCE.

[ZABD=NBCE

結論AABD=ABCE,DE=AD+CE.

【模型證明】

【結論一】

在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經過點C,且AD_LMN于D,BE_LMN于E,

則有以下結論成立：

?AADC^ACEB;②DE=AD+BE

【證明】：

①證明：'：ADLDE,BELDE,

：.ZADC=ZBEC=9Q°,

ZACB=90°,

AZACD+ZBCE=90°,ZDAC+ZACD=90°f

：.ZDAC=/BCE,

在△4。。和4CEB中

AAADC^ACEB(A4S).

②證明：由(1)知：△ADC也△CEB,

：.AD=CEfCD=BE,

?；DC+CE=DE,

：.DE=AD+BE,

【結論二】（其他形狀一線三垂直）

①DE=AD-BE

%

二N

②DE=BE-AD

【題型演練】

一、單選題

1.一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所

示，這一幕恰巧被數學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度。=8cm,則OE的長為（）

A.40cmB.48cmC.56cmD.64cm

2.如圖，點尸，0分別是NA3C邊BA,8C上的點，且&）=4,ZA^C=60°.連結尸以尸。為邊，在

尸。的右側作等邊△OPE,連結BE,則△BOE的面積為（）

C.4D.673

3.如圖，AC^CE,NACE=90。，AB±BD,ED±BD,AB=6cm,DE=2cm,則3。等于（

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

二、填空題

4.如圖，已知ABC是等腰直角三角形，NACB=90。，AOLDE于點。，BE_LDE于點E,且點C在。E上,

若AD=5,BE=8,則。E的長為.

5.如圖所示，AABC中，AB=AC,ABAC=90°.直線/經過點A,過點B作班—于點E,過點C作CF，/

于點F.若BE=2,CF=5,則EF=

三、解答題

6.已知：如圖，AB1BD,EDLBD,C是8。上的一點，ACLCE,AB=CD,求證：BC=DE.

7.在△ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,直線AfN經過點C,S.AD±MN^D,BE_LMN于E.

(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：

①AADC2ACEB；

②DE=AD+BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，AD=5,BE=2,求線段。E的長.

8.(1)課本習題回放:“如圖①，ZACB=90°,AC^BC,AD±CE,,垂足分別為。，E,AD=2.5cm,

DE=1.7cm.求BE的長”，請直接寫出此題答案：8E的長為.

(2)探索證明：如圖②，點8,C在NM4N的邊A"、AN上，A5=AC,點E,F在NM4N內部的射線

AD1.,且NBED=NCFD=NBAC.求證：AABE^SCAF.

(3)拓展應用：如圖③，在AABC中，AB^AC,AB>BC.點。在邊8C上，CD=2BD,點、E、尸在線

段AZ)上，ZBED=ACFD=ABAC.若AABC的面積為15,則AACF與ABZ組的面積之和為.(直

接填寫結果，不需要寫解答過程)

9.問題背景：(1)如圖①，已知AABC中，4AC=90°,AB=AC,直線相經過點A,50,直線相，CE1

直線優，垂足分別為點￡>,E,易證：DE=+

(2)拓展延伸：如圖②，將(1)中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D,A,E三點都在直線機上,

并且有ZBD4=NAEC=N3AC,請求出。E,BD,CE三條線段的數量關系，并證明.

(3)實際應用：如圖③，在△ACB中，NACB=90。，AC=3C,點C的坐標為(-2,0),點A的坐標為(-6,3),

請直接寫出B點的坐標.

10.如圖，在AABC中，AB=BC.

cc

(1)如圖①所示，直線MW過點B,AM_LMN于點M,CNLMN于點、N,且/ABC=90。.求證:

MN^AM+CN.

(2)如圖②所示，直線MN過點B,A"交MN于點M,CN交MN于點N,S.ZAMB=ZABC=ZBNC,

則MN=A〃+C7V是否成立？請說明理由.

11.在直線機上依次取互不重合的三個點。，A,E,在直線機上方有AB=AC,且滿足/BD4=/AEC=

ZBAC=a.

(1)如圖1,當a=90。時，猜想線段。E,BD,CE之間的數量關系是；

(2)如圖2,當0<a<180時，問題(1)中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明

理由.

12.如圖，/ABC=90。,E4，AB于點A,點。在直線Ag上，AD=BC,AF=BD.

圖1圖2

(1)如圖1,若點D在線段AB上，判斷。尸與。。的數量關系和位置關系，并說明理由;

(2)如圖2,若點。在線段的延長線上，其他條件不變，試判斷(1)中結論是否成立，并說明理由.

13.(1)如圖1,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線機經過點A,BO_L直線機，CE_L直線力,

垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在A48C中，AB=AC,D、A、E三點都在直線機上，并且有

/BDA=NAEC=/BAC=a,其中&為任意鈍角，請問結論DE=8D+CE是否成立？如成立，請你給出證明;

若不成立，請說明理由.

14.在直線加上依次取互不重合的三個點。,AE,在直線上方有AB=AC,且滿足

NBDA=ZAEC=NBAC=a.

(D如圖1,當&=90。時，猜想線段。E,BD,CE之間的數量關系是；

(2)如圖2,當0＜。＜180。時，問題(1)中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明

理由；

(3)應用：如圖3,在AABC中，ZBAC是鈍角，AB=AC,^BAD＜ZCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,直線機

與CB的延長線交于點尸，若BC=3FB,AABC的面積是12,求△fBO與AACE的面積之和.

15.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經過點C且AD_LMN于BELMN^E.

(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：

①AADCmMEB；

?DE=AD+BE-,

(2)當直線MN燒點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE-,

(3)當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系,

并加以證明.

16.(1)如圖1,在AABC中，NBAC=90。，AB^AC,直線相經過點A,8。，直線相，CE,直線機，垂

足分別為點。、E.求證：△A8。取△◎￡；

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點都在直線機上，并且有/BD4

=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結論△ABDgZkCAE是否成立？如成立，請給出證

明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展應用：如圖3,D,E是D,A,E三點所在直線機上的兩動點(D,A,E三點互不重合)，點、F

為NBAC平分線上的一點，且△A3P和△ACP均為等邊三角形，連接加＞,CE,若NAEC=NBAC,

求證：△DEE是等邊三角形.

AEmAEmDAEm

圖2圖3

17.已知△ABC中，ZACB=90°,AC=BC.BE、A。分別與過點C的直線垂直，且垂足分別為。，E.

學習完第十二章后，張老師首先讓同學們完成問題1：如圖1,^AD=2.5cm,DE=1.1cm,求BE的長；然

后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點C旋轉到AABC的外部，BE、與直線CE的垂直關

系不變，如圖2,猜想A。、DE、BE三者的數量關系，并給予證明.

18.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,且AO_LA/N于￡),BE_LMN于E.

（1）直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，求證：DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，試問。E、AD.BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個

等量關系（不寫證明過程）；

（3）當直線繞點C旋轉到圖（3）的位置時，試問。E、AD.BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個

等量關系（不寫證明過程）.

專題03全等三角形中的一線三垂直模型

【模型展示】

【已知】如圖，AABC為等腰直角三角形，AD±DE,CE±DE

【證明】由ZBAD+ZABD=90°,ZCBE+ZABD=90°=i>ZCBE=ABAD,

ZBAD=ZCBE

特點

同理NABD=NBCE,在AABD和ABCE中,<AB=BC

ZABD=ZBCE

AABD=ABCE.

結論AABD=ABCE,DE=AD+CE.

【模型證明】

【結論一】

在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經過點C,且AD_LMN于D,

BE_LMN于E,則有以下結論成立:

?AADC^ACEB;②DE=AD+BE

解決方

案

【證明】:

①證明：\'AD±DE,BE±DE,

【題型演練】

一、單選題

1.一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱

子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚

度a=8cm,則DE的長為（）

A.40cmB.48cmC.56cmD.64cm

【答案】c

【詳解】由等腰直角三角形的性質可得NACB=90。，AC=CB,因此可以考慮證明△AC。

和4CBE全等,可以證明OE的長為7塊磚的厚度的和.

【分析】解：由題意得/ADC=/CEB=NACB=90。，AC^CB,

：.ZACD=90°-ZBCE=ZCBE,

在△4。和4C8E中，

ZADC=ZCEB

<ZACD=ZCBE,

AC=CB

：.（A4S）,

***CD=BE=3a,AD—CE=4〃,

/.DE=CD+CE=3〃+4〃=la,

?tz=8cm,

??7〃=56cm,

?\DE=56cmf

故選c.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角

形的性質與判定條件.

2.如圖，點尸，。分別是/ABC邊BA,8C上的點，且m=4,ZABC=60°.連結尸￡）,

以為邊，在PO的右側作等邊△OPE,連結BE,則ABOE的面積為（）

A.4A/3B.2C.4D.6月

【答案】A

【分析】要求ABDE的面積，想到過點E作EF，3C,垂足為F，因為題目已知ZABC=60°,

想到把NABC放在直角三角形中，所以過點。作。GL8A,垂足為G,利用勾股定理求出DG

的長，最后證明AG尸D=AFDE即可解答.

【詳解】解：過點E作EFL8C,垂足為歹，過點。作DGL8A,垂足為G,

A

BDF

在拓△5GD中，BD=4,ZABC=60°f

.\ZBDG=30°,

:.BG=-BD=2,

2

GD=y/BD2-BG2=2s/3，

???APDE是等邊三角形,

:.NPDE=60。，PD=DE,

ZPDB+ZEDF=180°-ZPDE=120°,

???ZABC=60°,

/.ZPDB+ZBPD=180°-ZABC=120°,

.\ZBPD=ZEDF,

\'ZPGD=ZDFE=90°,

:.\GPD=NFDE{AAS),

,\GD=EF=2y/3，

.?.ABDE的面積=：3￡>.E尸,

=-x4x2^,

2

—46，

故選：A.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形、勾股定理，解題的關鍵是根據題目的

已知條件并結合圖形添加適當的輔助線.

3.如圖，AC=CE,NACE=90。，AB±BDfED±BD,A8=6cm,DE=2cm,則等于

A

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

【答案】B

【分析】根據題意證明“BC/△CDE即可得出結論.

【詳解】解：\-AB.LBD,EDLBD,

:.ZABC=NCDE=90。,

'：ZACE=90°,

???ZACB+ZDCE=90°,

??ZACB-^-ZBAC=90°f

：.ZBAC=ZDCE,

在“IBC和△CD石中，

/ABC=ZCDE=90°

ABAC=ZDCE

<

AC=CE

...AABC%CDE(AAS),

AB=CD=6cm,BC=DE=2cm,

BD=BC+CD=2+6=8cm,

故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質定

理是解本題的關鍵.

二、填空題

4.如圖，已知ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,于點。，BE_LDE于點、E,

且點C在。E上，若A￡>=5,BE=8,則。E的長為.

【答案】13

【分析】先根據AOLOE,BEYDE,ZADC=ZCEB=90°,則/￡>AC+/OCA=90。，AABC

是等腰直角三角形，/ACB=90。,可得AC=C8,推出NZMC=NECB,即可證明仆DAC學AECB

得至ljCE=AD=5,CD=BE=8,由此求解即可.

【詳解】解：'：AD±DE,BELDE,

：.ZADC=ZCEB=90°,

：.ZDAC+ZDCA=90°,

；△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

：.ZDCA-^ZBCE=90°,AC=CB

：.ZDAC=ZECB,

:?△DACQXECB(A4S),

：.CE=AD=5fCD=BE=8,

：.DE=CD+CE=\3,

故答案為：13.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，垂線的定義，解題的關鍵在于能夠熟練

掌握全等三角形的性質與判定條件.

5.如圖所示，△四(?中，AB=AC,ZBAC=90°.直線/經過點A,過點3作座L于點E,

過點。作。尸，/于點R若BE=2,CF=5,則跖=.

【答案】7

【分析】根據全等三角形來實現相等線段之間的關系，從而進行計算，即可得到答案；

【詳解】解：???3EL,CFLl,

：.ZAEB=ZCFA=90°.

：.ZEAB^ZEBA=90°.

又「ZBAC=90°,

：.ZEAB+ZCAF=90°.

：.ZEBA=ZCAF.

在△4班和4CE4中

VZAEB=ZCFAfZEBA=ZCAF,AB=ACf

：.

：.AE=CF,BE=AF.

：.AE+AF=BE+CF.

：.EF=BE+CF.

??,BE=2,CF=5,

：.￡F=2+5=7；

故答案為：7.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，余角的性質，解題的關鍵是熟練掌握所學的

知識，正確的證明三角形全等.

三、解答題

6.已知：如圖，ABLBD,ED1BD,C是80上的一點，ACLCE,AB=CD,求證：BC=

DE.

【分析】根據直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等.

【詳解】證明：VAB±BD,EDLBD,ACLCE（已知）

AZACE=ZB=ZD=90°（垂直的意義）

VZBCA+ZDCE+ZACE=180°（平角的意義）

ZACE=90°（已證）

/.ZBCA+ZDCE=90°（等式性質）

VZBCA+ZA+ZB=180°（三角形內角和等于180°）

ZB=90°（已證）

：.ZBCA+ZA=9Q°（等式性質）

：.ZDCE^ZA（同角的余角相等）

在△43（?和4CQE中，

Z=NDCE

<AB=CD,

ZB=ZD

:.AABC出ACDE（ASA）

:.BC=DE（全等三角形對應邊相等）

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質；熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關

鍵.

7.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經過點C,且于Z）,BE_LMN于

E.

⑴當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：

①△AD8ACEB；

?DE=AD+BE；

⑵當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，AD=5,BE=2,求線段。E的長.

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；

⑵DE=3

【分析】(1)①由已知可知，AD1MN,BE1MN,得到NADC=/CEB=90。，再根據三角

形內角和與平角性質，得到=即可證明“￡9名△(?￡?(A4S)；②根據

AADC名△CEB,得到AD=CE,DC=BE,即可證明DE=AD+BE.

(2)由已知可知，AD±MN,BE±MN,得到NAT)C=NCEB=90。，再根據

ZCAD+ZACD=90°、ZACD+Z.BCE=90°,得到Z.CAD=NBCE，可證明卷ACEB,

得到CE=A。，CD=BE,即可求出。E長.

(1)

①證明：'：AD±MN,BE±MN,ZACS=90。

ZADC=NCEB=ZACB=90°,

??Z.CAD+ZADC+ZACD=\S00,

ZACD+ZACB+ZBCE=l?,0°,

NCAD=NBCE,

在△ADC和△CEB中，

ZCAD=NBCE

<ZADC=ZCEB,

AC=BC

：.AADC^ACEB(AAS)；

②證明：AADC必CEB,

/.AD=CE,DC=BE,

DE=CE+DC=AD+BE；

(2)

證明：\'AD±MN,BELMN,

：.ZADC=ZCEB=9Q°,

：.ZCAD+ZACD=90°,

,/ZACB=90°,

ZACD+ZBCE=90°

：.ZCAD=ZBCE,

在△ADC和△CE3中，

ACAD=ZBCE

<ZADC=NCEB,

AC=BC

AADC%ACEB(AAS),

：.CE=AD=5,CD=BE=2,

：.DE=CE-CD=5-2=3.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質，根據已知準確找到符合全等的條件是解

題關鍵.

8.(1)課本習題回放："如圖①，ZACB=90°,AC=BC,AD±CE,BELCE,垂足分

別為D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為

(2)探索證明：如圖②，點8,C在NM4N的邊A"、AN上，AB=AC,^E,F在AMAN

內部的射線4D上，且NBED=NCFD=NBAC.求證：AABE^ACAF.

(3)拓展應用：如圖③，在AABC中，AB=AC,AB>3C.點。在邊2C上，CD=2BD,

點E、尸在線段AO上，ZBED=Z.CFD=ZBAC.若AABC的面積為15,則AACF與ABDE

的面積之和為.(直接填寫結果，不需要寫解答過程)

【答案】(1)0.8cm；(2)見解析(3)5

【分析】(1)利用A4S定理證明AC班絲△ADC,根據全等三角形的性質解答即可;

(2)由條件可得NBE4=/AFC,N4=NABE,根據AAS可證明△ABE0ZkCAB

(3)先證明△A旗且△CAE得到AACF與A5DE的面積之和為△A3。的面積，再根據

CD=25D故可求解.

【詳解】解：(1)VBE±CE,ADLCE,

：.ZE=ZADC=90°,

，/EBC+NBCE=9U。.

VZBCE+ZACD=90°,

：.ZEBC=ZDCA.

/E=/ADC

在△(?防和△AOC中，＜/EBC=/DCA

BC=AC

AACEB^AADC(AAS),

BE=DC,CE=AD=2.5cm.

?：DC=CE-DE,DE=1.7cm,

/.Z)C=2.5-1.7=0.8cm,

：.BE=0.8cm

故答案為：0.8cm；

(2)證明：VZ1=Z2,

：.ZBEA=ZAFC.

VZ1=ZABE+Z3,N3+N4=NA4C,Z1=ZBAC,

：.ZBAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

VZAEB=ZAFC,NABE=N4,AB=AC,

：.AABE^ACAF(A4S).

(3)?:/BED=NCFD=NBAC

：.ZABE+ZBAE=AFAC+ABAE=ZFAC+ZACF

：.ZABE=ZCAF,ZBAE=ZACF

5LAB=AC

AABE^ACAF,

?,—°eCAF

，MCF與ABDE的面積之和等于MBE與NBDE的面積之和，即為△ABD的面積,

?/CD=2BD,AABD與XACD的高相同

貝USAAB。=耳^^ABC=^

故AACF與ABDE的面積之和為5

故答案為：5.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質、三角形內角和定理，掌握全等三角形的判

定定理和性質定理是解題的關鍵.

9.問題背景：(1)如圖①，已知AABC中，4c=90。，AB=AC,直線相經過點A,BD1

直線相，CEL直線相，垂足分別為點，E,易證：DE=+.

(2)拓展延伸：如圖②，將(1)中的條件改為：在AABC中，AB^AC,D,A,E三點

都在直線機上，并且有N3/M=NAEC=NB4C,請求出DE,BD,CE三條線段的數量關系，

并證明.

(3)實際應用：如圖③，在"8中，NACB=90。，AC=BC,點C的坐標為(-2,0),點

A的坐標為(-6,3),請直接寫出2點的坐標.

【答案】(1)BD；CE；證明見詳解；(2)OE=8O+CE；證明見詳解；(3)點8的坐標為3。,4).

【分析】⑴根據全等三角形的判定和性質得到隹=5￡>,AD^CE,結合圖形解答即可;

(2)根據三角形內角和定理、平角的定義證明=場，證明名△C4E,根據

全等三角形的性質得到=AD=CE,結合圖形解答即可；

(3)根據△AEC名△CFB,得到C^=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,根據坐標與圖形性

質解答即可.

【詳解】(1)證明：VBDlm,CE±m,

：.ZADB=ZCEA=90°,

'：NBA。=90。，

：.ZBAD-^-ZCAE=90°f

,：ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD,

在△AD6和aCEA中

ZABD=NCAE

<ZADB=NCEA,

AB=CA

：.^ADB^ACEA,

AE=BD,AD=CE9

：.DE=AE+AD=BD+CE,

即：DE=BD+CE,

故答案為：BD；CE；

(2)解：數量關系：DE=BD+CE,

證明：在“WD中，ZABD=180°-ZADB-ZBAD,

VZCAE=1800-ZBAC-ZBAD,ZBDA=ZAEC,

：.ZABD=ZCAE,

在△MD和△(四￡中，

NABD=NCAE

<NBD4NAEC

AB=CA

；?AABDRCAE,

:?AE=BD,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)解：如圖，作AE_Lx軸于E,Bx軸于尸，

，OF=CF-OC=\,

???點8的坐標為8（1,4）.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質、坐標與圖形性質，掌握全等三角形的判定

定理和性質定理是解題的關鍵.

10.如圖，在AABC中，AB=BC.

CC

ZASC=90°.求證：MN=AM+CN.

（2）如圖②所示，直線過點8,AM交MN于點、M,CN交MN于WN,且

ZAMB=ZABC=ZBNC,則MN=AM+C7V是否成立？請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）MN=AM+CN仍然成立,理由見解析

【分析】（1）首先根據同角的余角相等得到/&4M=NCBN,然后證明

AAMB=ABNC（AAS）,然后根據全等三角形對應邊相等得到AM=BN,BM=CN,然后

通過線段之間的轉化即可證明的V=A"+OV；

（2）首先根據三角形內角和定理得到/M4B=/CBN,然后證明—1"三△3NC（A4S）,

根據全等三角形對應邊相等得到MN=MB+3N，最后通過線段之間的轉化即可證明

MN^AM+CN.

【詳解】證明：（1）'：AM±MN,CNLMN,

ZAMB=ZBNC=90°,

，ZABM+ZBAM=90°,

???ZABC=90°,

：.?ABM?CBN90?,

J/BAM=/CBN,

在△4WB和中，

ZAMB=/BNC

<ZBAM=NC8N,

AB=BC

：./\AMB=△BNC（A4S）,

:?AM=BN,BM=CN,

BN+MB=MN,

:?MN=AM+CN；

（2）MN=AM+CN仍然成■立,理由如下：

ZAMB+ZMAB+ZABM=ZABM+ZABC+/CBN=180。，

?；ZAMB:ZABC,

：./MAB=/CBN,

在△AMfi和△及、《中，

ZAMB=/BNC

<ZBAM=/CBN,

AB=BC

：.AAMB二ABNC（A4S）,

：.AM=BN,NC=MB,

,:MN=MB+BN,

:?MN=AM+CN.

【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，同角的與相等，三角形內角和定理等知識，

解題的關鍵是根據同角的余角相等或三角形內角和定理得到NB4〃=NCBN.

11.在直線機上依次取互不重合的三個點。,A,E,在直線機上方有AB=AC,且滿足

=ZAEC=ZBAC=a.

(1)如圖1,當a=90。時，猜想線段DE,BD,CE之間的數量關系是；

(2)如圖2,當0<a<180時，問題(1)中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若

不成立，請說明理由.

【答案】⑴DE=BD+CE.

(2)QE=BO+CE仍然成立，證明見解析

【分析】(1)由/8ZM=N2AC=/AEC=90。得到/R4￡>+NEAC=/R4￡)+NZ)BA=90。，

進而得到/￡)BA=N￡AC,然后結合AB=AC得證△DBA^AEAC,最后得到DE=BD+CE；

(2)由NB。A=N8AC=/4EC=a得到/BA。+NEAC=NB4。+/。BA=180。-a,進而

得到/OBA=/EAC,然后結合4B=AC得證△ABA也△EAC,最后得到。E=BO+CE.

⑴

解：DE=BD+CE,理由如下，

ZBDA=ZBAC=ZA￡C=90°,

ZBAD+ZEAC^NBAD+NDBA=90°,

：.ZDBA=ZEAC,

\"AB=AC,

：./\DBA^/\EAC(A45),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)

DE=2D+CE仍然成立，理由如下，

?.*/BDA=/BAC=/AEC=a,

AZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=1SO0-a,

：.ZDBA=ZEAC,

'：AB=AC,

/.△DBA^AEAC(A4S),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質，解題

的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質.

12.如圖，NA3C=90。,E4，AB于點A,點JD在直線A3上，AD=BC,AF=BD.

圖1圖2

(1汝口圖1,若點。在線段A3上，判斷。尸與。C的數量關系和位置關系，并說明理由；

(2)如圖2,若點。在線段A3的延長線上，其他條件不變，試判斷(1)中結論是否成立，

并說明理由.

【答案】⑴。尸=OC,DFA.DC,理由見解析

⑵成立，理由見解析

【分析】(1)先證AA。尸二△38,得DF=DC,ZADF=ZBCDf再證NbQC=90。即可得垂

直；

(2)先證△AO尸也△8C。，得DF=DC,ZADF=ZBCD,再證/尸QC=90。即可得垂直.

(1)

解：VZABC=90°,FALAB,

^ABC=^DAF=90°.

AF=BD

在aAO/與△BCD中,ZDAF=ZABC,

AD=BC

：.△ADF^ABCD,

：.DF=DC,ZADF=ZBCD,

,：ZBDC^-ZBCD=90o,

：.N5OC+NAO尸=90°,

ZFDC=90°,BPDF±DC.

(2)

^ABC=90°,FA±AB,

NDBC=ZDAF=90°,

AF=BD

在^AOb與△BCD中<ZDAF=/DBC,

AD=BC

ADF^ABCD,

DF=DC,ZADF=ZBCD,

ZBDC+ZBCD=90°,

：.ZBDC+ZADF=90°,

:.NFDC=90。,BPDF±DC.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，解題關鍵是能判斷哪兩個三角形全等.

13.(1)如圖1,已知：在△A8C中，ZBAC=90°,AB^AC,直線機經過點A,直線機，

CE_L直線〃3垂足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點都在直線機上，

^^ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意鈍角，請問結論。E=BZ)+CE是否成立？如

成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)成立，見解析

【分析】(1)根據AAS可證明可得AE=B。，AD=CE,可得DE=BD+CE.

(2)由已知條件可知/區4。+/。4￡=180。-夕，ZDBA+ZBAD=180°-a,可得

ZDBA=ZCAE,結合條件可證明△ADBgzXCEA,同(1)可得出結論.

【詳解】(1)如圖1,：2。，直線加，CEL直線機，

ZBDA=ZCEA=90°,

ZBAC=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°

'：ZBAD+ZABD=90°,

；.NCAE=/ABD,

在△4。2和4CEA中，

ZBDA=ZCEA

■ZCAE=NABD

AB=AC

：./\ADB^/\CEA(AAS),

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

(2)如圖2,

,：ZBDA^ZBAC=a,

/.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-?,

ZDBA=ZCAE,

在△和ACEA中，

'ABDA=ACEA

<NCAE=ZABD

AB=AC

:.AADB2ACEA(AAS),

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，由條件證明三角形全等得到

CE=AD是解題的關鍵.

14.在直線機上依次取互不重合的三個點，4E,在直線機上方有AB=AC,且滿足

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

(1)如圖1,當。=90。時，猜想線段之間的數量關系是；

(2)如圖2,當0<打<180。時，問題(1)中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若

不成立，請說明理由；

(3)應用：如圖3,在AABC中，ZZMC是鈍角，AB=AC,

/BAD<NCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直線機與CB的延長線交于點尸，若BC=3FB,

△ABC的面積是12,求△FBD與AACE的面積之和.

【答案】⑴

⑵DE=BD+CE仍然成立,理由見解析

(3)A尸2。與△ACE的面積之和為4

【分析】(1)由/8。4=/2>^=/4石。=90。得到/助。+/￡&。=/24￡)+/。84=90。,

進而得到ND84=NEAC,然后結合A3=AC得證△DBA^AEAC,最后得到DE=BD+CE；

(2)由/8。4=/血。=/4后。=(1得到/胡。+/取。=/胡。+/。射=180。-01,進而

得到NDBA=NE4C,然后結合A3=A。得證△OA42△EAC,最后得到0E=8D+CE；

(3)由NBAO>NCAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,得出NCAE：NA50,由A4S證得

△ADB^ACAE,得出SZkA8O=SZkCE4,再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底

的比，得出SAA3/即可得出結果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

NBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=90°,

NDBA=NEAC,

'：AB=ACf

AADBA^AEAC(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)

仍然成立，理由如下，

???ZBDA=ZBAC=NAEC=a,

ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

*：AB=ACf

AADBA^AEAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：VZBAD<ZCAE9ZBDA=ZAEC=ABAC,

：.ZCAE=ZABD,

在^ABD和^CAE中，

ZABD=ZCAE

</BDA=/CEA,

AB=AC

：.AABD^ACAE(AAS),

.,.SAABD=S卜CAE,

設^ABC的底邊BC上的高為h,則△ABF的底邊2尸上的高為h,

ASAABC^^BC-h=12,S4ABF=』BF,h,

,:BC=3BF,

:.SAABF=4,

,:SAABF=SABDF+SAABD=S4FBD+S4ACE=4,

：.LFBD與小ACE的面積之和為4.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質，三角形的面積，解題的

關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質.

15.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經過點C且AD_LMN于。，BELMN

于￡

(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：

①AADC絲ACEB；

?DE=AD+BE；

(2)當直線MN燒點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；

⑶當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問。￡、AD,BE具有怎樣的等量關系？請寫

出這個等量關系，并加以證明.

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析

(2)證明見解析

⑶DE=BE—AD(或者對其恒等變形得到BE=AD+DE),證明見解析

【分析】(1)①根據AO-LMN,BELMN,NACB=90。，得出=,再根據A45

即可判定AADC=ACEB；②根據全等三角形的對應邊相等，即可得出CE=AD,CD=BE,

進而得到DE=CE+CD=AD+BE；

(2)先根據AD_LM2V,BE±MN,得到ZADC=NCEB=N4CB=9O。，進而得出

NCAD=NBCE,再根據A4S即可判定AWCMACEB,進而得到CE=AD,CD=BE,最后

彳導出DE=CE—CD=AD—BE；

(3)運用(2)中的方法即可得出DE,AD,BE之間的等量關系是：=AD或恒

等變形的其他形式.

(1)

解：①TACMV,BELMN,

.\ZADC=ZACB=90°=ZCEB,

:.ZCAD+ZACD=90°,/BCE+ZACD=90°,

.\ZCAD=ZBCE,

???在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB

AC=BC

..AADC^ACEB(AAS)?

②?.AADC=ACEB,

CE=AD，CD=BE，

/.DE=CE+CD=AD+BE；

(2)

證明：-：ADLMN,BE工MN,

.\ZADC=ZCEB=ZACB=9Q°,

:"CAD=/BCE,

?.?在AADC和ACE8中，

/CAD=/BCE

<ZADC=NCEB

AC=BC

.\AADC=/^CEB(AAS)；

/.CE=AD，CD=BE，

:.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)

證明：當MN旋轉到題圖(3)的位置時，AD,DE,跖所滿足的等量關系是：DE=BE-AD

或AD=BE+DE或BE=AD+DE.

理由如下：vAD±ACV,BE1MN,

:.ZADC=ZCEB=ZACS=90。,

.\ZCAD=ZBCE,

???在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB

AC=BC

-.AADC^ACEB(AAS),

:.CE=AD,CD=BE,

:.DE=CD—CE=BE—AD(或者對其恒等變形得到AD=BE+DE^BE=AD+DE).

【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質的綜合應用，解題時

注意：全等三角形的對應邊相等，同角的余角相等，解決問題的關鍵是根據線段的和差關系

進行推導，得出結論.

16.(1)如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線機經過點A,8。！,直線機，

CE_L直線〃3垂足分別為點。、E.求證：AABD咨ACAE；

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,。、A、E三點都在直線機上，

并且有/3。4=/4萬。=/M。=01,其中a為任意銳角或鈍角.請問結論△A3。g△CAE

是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展應用：如圖3,D,E是D,A,E三點所在直線相上的兩動點(D,A,E三點互

不重合)，點尸為/BAC平分線上的一點，且△ABE和△ACF均為等邊三角形，連接8。，

CE,若/BDA=/AEC=/BAC,求證：△尸是等邊三角形.

【分析】(1)根據直線機，CEL直線加得/瓦M=NCEA=90。，而/SAC=90。，根

據等角的余角相等得NCAE=ZABD,然后根據“A4S”可判斷AADB^ACEA；

(2)利用NBa4=NBAC=e,則/DBA+/區4。=/34)+/04￡=180。一口,得出

ZCAE=ZABD,然后問題可求證；

(3)由題意易得===尸=NB4F=NE4C=60。，由(1)(2)易證AWB會ACE4,

則有鉆=皮)，然后可得=進而可證AD即學AE4F,最后問題可得證.

【詳解】(1)證明：?.?8。_1直線機，CE_L直線加，

:.ZBDA=ZCEA=90°,

-.-ZBAC^90°,

ZBAD+ZCAE=90°,

-,-ZBAD+ZABD=90°,

:.ZCAE^ZABD,

,在AADB和ACE4中，

NABD=NCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

AADB^ACEA(AAS)；

解：(2)成立，理由如下：

?：NBDA=ZBAC=a,

.\ZDBA-^ZBAD=ZBAD+ZCAE=l80°-a,

,\ZCAE=ZABD,

???在AADB和ACEA中,

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

\ADB^\CEA{AAS)；

(3)證明：??.△AB尸和△AC廠均為等邊三角形，

/.BF=AF=AB=AC,ZABF=ZBAF=ZFAC=^)°,

???ZBDA=ZAEC=ZBAC=120°,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+Z.CAE=180°-120°,

???NCAE=ZABD,

.?.