第07講正切函數的圖象與性質

知識清單

知識點01正切函數的圖像與性質

解析式y二=tanx

：）\n

圖象!一心E

。/111?

“一￡R,且xW,+左兀，

定義域

值域R

周期71

奇偶性奇函數

對稱中心佟o),kQZ

卜配）上GZ內都是增函數

單調性在開區間（一微+E，Y

【即學即練1】（2122高一下?上海長寧?期中）函數y=tan（3x-?J的單調增區間是.

71k7l71k7l

【答案】--------1------,-----1------，左￡Z

12343

【分析】根據正切函數的單調性即可得出答案.

【詳解】解：令一女下<3無一~-<—+k7i,

242

/口兀k汽兀krc1「

得+—<%<—+—,keZ,

12343

所以函數，，!1,-3的單調增區間是1-^|+浮9+",%€2.

故.答案為:（「五兀+丁kjr丁兀牙女%）卜7合.

題型精講

題型一：正切函數的圖象

1.（2223高一下?上海浦東新■階段練習）&=2桁+力仕?2）是1311々=1；111￡的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.既非充分也非必要條件D.充要條件

【答案】C

【分析】利用特值法，結合充分必要條件的定義即可

【詳解】由于a==r滿足tana=tan￡,但推不出a=2fai+￡優eZ）,故必要性不滿足；

由于c=g,4=］滿足。=2析+分億eZ）,但正切值不存在，所以充分性不滿足；

所以&=2航+尸化eZ）是tana=tan/的既非充分也非必要條件

故選：C

2.（高一下,上海浦東新,期末）方程石sinx+cosx=0的解集是（）

A.{巾=左肛％￡Z}B.卜卜=2左?一

C.卜卜=左4一看,左￡2,D.卜卜二左4+卞左￡2,

【答案】C

【分析】把方程化為tanx=-迫，結合正切函數的性質，即可求解方程的解，得到答案.

3

【詳解】由題意，方程\/5sinx+cosx=0,可化為tan%=

3

TTTT

解得尤=上萬-彳，左eZ,即方程的解集為{尤|x=A萬左eZ}.

故選：C.

3.（高一下?上海楊浦?期中）函數，=卜加工的對稱軸是.

【答案】尤=1，keZ

【分析】作出函數y=kanx|的圖象，觀察圖象可得出函數y=1anx|的對稱軸方程.

【詳解】函數y=|tanX的圖象是〉=1如*把x軸的下部分翻折到x軸的上方可得到的，如下圖所示:

由圖象可知，函數y=gn,的對稱軸是x=￥,keZ.

故答案為：x=,左eZ.

【點睛】本題考查含絕對值的正切函數對稱軸的求解，作出函數圖象是關鍵，考查數形結合思想的應用,

屬于基礎題.

4.（2021高一?上海?專題練習）作出函數＞=|tanx|的圖象.

【答案】圖見解析

【分析】依題意，=1tanx|是將y=tanx在x軸下方部分的圖象關于x軸翻折上去，即可得到y=|tan尤|的函

數圖象；

【詳解】解：函數y=|tanx|是將y=tanx在無軸下方部分的圖象關于無軸翻折上去，所以y=|tanx|的圖象

題型二：利用正切函數的單調性求參數

5.（2021高一下?上海寶山?期末）函數y=2tan0x（常數。＞0）在開區間卜彳上是嚴格增函數，則實

數。的取值范圍是.

【答案】［o,1

【分析】根據題意，結合正切函數的單調區間，即可求解.

Ijrk冗冗k4\

【詳解】由題意可知，函數y=2tanGx的單調遞增區間為-丁keZ,

\2a）①2co①）

（712萬I

因函數y=2tans（常數。＞0）在開區間上是嚴格增函數,

乃〉71

了一一茄

2?<?

所以解得。

~T~2O)

?！?

故答案為：（0,；.

TTTT

6.（2324高一下?上海?期中）若函數y=tanox在-上為嚴格增函數，則實數。的取值范圍是.

【答案】0<。<2

/7）7TTT

【分析】根據正切型函數的單調性可得差<w,即可求解.

42

TTTT

【詳解】y=tan@x在-1]上為嚴格增函數，則。>0,

?十7171I,「6971O）Tl~\,,「69716971-I（兀兀、

由于XW——,則SW----,——，故----,——U——,

L44」L44y[_44」一（22）

因止匕—<—，解得0<<y<2,

42

故答案為：0<°<2

7171

7.（高二上?上海黃浦?期中）若"Vxe,tan%,相〃是真命題，則實數，〃的最小值為_____.

o4_

【答案】1

7t4

【分析】依題可知，只需求出'=1211*在xe上的最大值，即可求出.

64_

【詳解】因為y=tanx在xe上單調遞增，所以為-=tanf=I.

64jmax4

JTTT

若“Vxe—,tan內,是真命題，所以加21.

64

故答案為：I.

【點睛】本題主要考查不等式恒成立問題的解法以及正切函數單調性的應用，屬于基礎題.

8.（高三下?上海黃浦?階段練習）若函數y=tan@x在（-萬/）上是遞增函數，則。的取值范圍是

【答案】（0,1]

【分析】根據正切函數的單調區間列不等式組，解不等式組求得。的取值范圍.

【詳解】由于數>=tan<yx在（-萬，萬）上是遞增函數，所以0>0.由-n<x<7T,則-0兀兀，由正切函

7兀/

KH——<一①71a)<-k+—

7兀7"匚Ur、I27

數的遞增區間可知:K7i——<a)x<kn+—,所以《],由于。>0,故取4=0,所以

22.71

E兀①WkT—

22

0<69^—.

2

故填：（。,?.

【點睛】本小題主要考查根據正切函數在給定區間上的單調性求參數的取值范圍，屬于中檔題.

題型三：求正切（型）函數的奇偶性

9.（2324高一下?上海?期末）下列函數為奇函數，且在（。,1）上是嚴格增函數的是（）

A.y=-sinxB.y=cosxc.y=tanxD.y=|sinA-|

【答案】C

【分析】根據正弦函數、余弦函數和正切函數的奇偶性和單調性依次判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,因為y=-sinx定義域為R,其在上是嚴格減函數，A錯誤；

對于B,,?,，=8sx定義域為R,cos（—x）=cosx,，y=8sx為偶函數；B錯誤；

（兀兀I

對于C,?.?y=tan%定義域為［-5++EJ（左eZ）,tan（-x）=-tanx,

，y=tanx為奇函數，由正切函數性質知y=tanx在（0,|J上是嚴格增函數，C正確；

對于D,?.?y=kinx|定義域為R,曲（-刈=何11X，.?.y=|sin,為偶函數；D錯誤.

故選：C.

10.（2324高二上?上海閔行?期末）下列函數是偶函數的是（）

A.y=tanxB.J=log2x

C.y=JD.y=2x+Tx

【答案】D

【分析】根據函數的奇偶性對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項，y=tan尤是奇函數，不符合題意.

B選項，V=log?尤是非奇非偶函數，不符合題意.

C選項，y=V是奇函數，不符合題意.

D選項,設〃x）=2，+2T,的定義域為R,

f（-x）=2-x+2x=f（x）,所以為偶函數.

故選：D

11.(2122高一下?上海浦東新?期末)下列3個函數：①y=|sinx|；(2)y=cos2%-sin2%；③y=tan［尤+g；

其中最小正周期為"的偶函數的編號為.

【答案】①②

【分析】利用偶函數的定義判斷各函數的奇偶性，再結合周期函數的定義判斷各函數的周期，由此確定符

合要求的函數的編號.

【詳解】記〃￡Hsinx|,則函數I(x)Tsinx|的定義域為R,且

/(-%)=|sin(-x)|=|-sinx|=|sinx|=/(x),所以/(x)=|sinx|為偶函數,

因為/(x+兀)=Mn(x+兀)|=|-sinx|=kinx|=/(x),所以兀為函數〃尤)的周期，

若0<7<兀為函數的周期，則〃T)=〃0)=0,/(r)=|sinT|^0,矛盾，所以兀為函數的最小正周期，

所以函數y=|sinx|滿足要求，

記g(x)=cos2_r-sin2x,貝!|g(x)=cos2x,函數g(x)的定義域為R,因為g(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x),

所以函數g(x)為偶函數，又函數g(x)的最小正周期為三=無，所以函數、=8$2》-$山2彳滿足要求,

(、sinx+—

記〃(x)=tan[x+j),則〃(%)=----=，所以函數人(力的定義域為左eZ},且

''cosx+—

I2

,/\cos(—X)COSX(7l\

h(-x)=--——r-=--=-h[x},函數y=tan|x+7|不滿足要求,

sin(-x)sinx2)

故答案為：①②.

12.(2021高一?上海?專題練習)判斷下列函數的奇偶性

7171

(1)y=tan(3x--)(2)y=\tan(x+—)|

【答案】(1)非奇非偶函數；(2)非奇非偶函數.

【分析】根據函數奇偶性定義判斷即可.

【詳解】(1)由3%—乙。工+Z肛(％wZ)得工。豆+豆，(keZ),

32183

TT小點+”,優的｝不關于原點對稱,

所以y=tan(3x--)定義域為

lo3

故函數是非奇非偶函數;

(2)由％+?￡2)得%工?+左肛(左GZ),

所以y=|tan(x+?)|定義域為卜卜w?+左左，仕eZ)｝不關于原點對稱,

故函數是非奇非偶函數.

題型四：由正切函數的奇偶性求函數值

.X3c

13.（2122高一下?上海浦東新?期中）已知函數/（x）=atanx+b7sm——\-ex+2,且/⑴=4,則/(一1)=

V8

【答案】0

【分析】計算得到/⑴+/（-D=4,代入計算得到答案

【詳解】/(1)+/(-1)=[atanl+bsing+c+2)+(-atanl-Z?sinJ1-c+2)=4,

2

則/(-D=o.

故答案為：0

14.(2021高一下?上海浦東新?期中)函數/(x)=atanx-1,若/(3)=-2,則/(-3)的值為

【答案】0

【分析】由/(3)=-2,可得atan3=-l,然后再求出了(-3)

【詳解】因為/(x)=atanxT,且/(3)=-2,

所以atan3-l=-2,得atan3=-l,

所以/(—3)=atan(—3)—l=—atan3-1=1—1=0,

故答案為：0

題型五：求正切（型）函數的周期

15.（2025?上海?模擬預測）已知oeR,不等式<。在（0,2025）中的整數解有

機個.關于機的個數，以下不可能的是（）.

A.0B.338C.674

【答案】D

71

【分析】由題設可得。<tan-X<a+l,結合正切函數的周期分aV-道或azg時，和兩種

情況討論求解即可.

即〃<tan-x\<a+l

6J

對于"x）=tan/J,周期為T=6,

且"0）=0"⑴邛F（2）=544）=一6〃5）=考"6）=0,

當-右或北若時，不等式a<tan償x[<a+l在（0,2025）中無整數解；

當-6<"有時，若不等式。<tan[^x卜。+1有在（0,6]內只有1個整數解,

比如a=l時，此時在（0,6］內的整數解為x=2,

而2025=6x337+3,

則在（0,2025）中可能有337+1=338個整數解；

若不等式tailed<a+l有在（0,6］內只有2個整數解，

比如。=-0.9時，此時在（0,6］內的整數解為x=5或x=6,

則在（0,2025）中可能有337x2=674個整數解；

由于#T<1,>1,一道一卜？>1,<1,

則在（0,6］內最多只有2個整數解，因此在（0,2025）中不可能有1012個整數解.

故選：D.

16.（2324高一下?上海寶山?期末）函數y=tan［3x+］|的最小正周期為.

771

【答案】

【分析】由正切型函數周期性定義計算即可得.

71

【詳解】由正切型函數性質可知丁=§.

故答案為：y.

7T

17.（2324高一下?上海?期中）函數y=tan（3x+m）的最小正周期為____.

4

JT\

【答案】d萬

71

【分析】根據7=時，直接計算可得結果.

【詳解】由正切函數的周期公式得：T=^.

jr

故答案為：—

18.（高一下?上海靜安?期末）已知余切函數f（x）=cotx.

（1）請寫出余切函數的奇偶性，最小正周期，單調區間；（不必證明）

（2）求證：余切函數〃x）=cotx在區間（0,萬）上單調遞減.

【答案】（1）奇函數；周期為萬，單調遞減速區間：（版■，億+1）萬）左eZ（2）證明見解析

【分析】（1）直接利用函數的性質寫出結果.

（2）利用單調性的定義和三角函數關系式的變換求出結果.

【詳解】(1)奇函數；周期為萬，單調遞減區間：(日伏+l”"eZ

(2)任取4，x,G(O,^),玉<馬,有

coscosxsin(x}-x?)

cotx2-cot%=———-——；——-=~；---

sinx2sinxxsin石sinx2

因為0<X]<%2<九,所以一萬<芯一入2<0，

于是sin玉/>0，sin(%1-x2)<0,

從而cotx2-cot%v0,cotx2<cotx1.

因此余切函數"X)=cotX在區間(0,%)上單調遞減.

【點睛】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變變換，函數關系式的應用，主要考查學生的運算

能力和轉化能力，屬于基礎題型.

題型六：由正切函數的周期求值

19.(2021高一?上海?專題練習)函數Ax)=tanox(o>0)的圖像相鄰的兩支截直線y=JTT所的線段長度為71T,

44

則的值為()

71八

A.—B.0C.1D.2

4

【答案】B

JT

【分析】依題意可得函數的最小正周期為即可求出。，再代入求值即可；

4

【詳解】解：因為函數/(x)=tans(0>O)的圖像相鄰的兩支截直線y=JTT所的線段長度為1JT,所以函數

44

/(%)=tans3>0)的最小正周期為二，所以工二:，所以口=4,所以/(x)=tan4x,所以

4co4

f=tan(4x；]=tan兀=0

故選：B

20.(2122高一下?上海浦東新?階段練習)若函數y=tan]ox+?)(其中常數oeR)的最小正周期為萬，

則常數。取值集合元素個數為

【答案】2

【分析】由正切型函數的周期求解.

兀

【詳解】由題意向=萬，/=±1,共兩個.

故答案為：2.

21.（2122高一下?上海奉賢?期中）直線y=a與函數》=tanx的圖象的相鄰兩個交點的距離是.

【答案】式

【分析】利用正切函數的性質即得.

【詳解】直線，=。與丁=1211元的圖象的相鄰兩個交點的距離剛好是函數，=1211元的一個周期，

因為函的最小正周期為萬，

所以直線與函數y=tanx的圖象的相鄰兩個交點的距離是;r.

故答案為：71.

22.（2021高一下?上海楊浦?期中）若函數y=tan（s+m（其中常數。＞0的最小正周期為2,則。的值為

【答案】三

2

【分析】結合正切型函數的周期公式即可直接求解.

TTTT

【詳解】由題意可知丁=工=2,解得G=￡,

co2

TT

故答案為：

題型七：求正切（型）函數的對稱中心

23.（2122高一下?上海黃浦?期中）函數y=3tan13x-：J的一個對稱中心是（）

A.朋）B.加C,［扣）D.1用

【答案】C

【分析】求解出對稱中心為左eZ,對上賦值則可判斷.

【詳解】令3x-：=g,%eZ,

42

,/口kit7T,

解At得x=+二,kwZ,

o12

所以函數y=3tan（3x-：圖象的對稱中心是［不+丘左eZ,

令左=-2,得函數y=3tan（3x-：］圖像的一個對稱中心是卜：,0

故選：C.

24.（2021高一?上海?專題練習）函數y=tan2x的圖像關于點成中心對稱.

【答案】（HkeZ

【分析】根據正切函數的對稱性可得出函數v=tan2x圖象的對稱中心點的坐標.

【詳解】由正切函數的基本性質可知，函數>=tanx的圖象關于點［1,0j(左eZ)成中心對稱，

令2戶容(3)得x嚀QeZ),所以函數y=tan2x的圖像關于點《,。］(左eZ)成中心對稱

故答案為：仔,。［伏eZ).

25.(高一下?上海浦東新?期中)函數y=tanx的對稱中心是.

【答案】仔,。),3

【分析】由正切函數的性質即可得到答案.

【詳解】由正切函數的圖象可知，y=tan尤的對稱中心是(與,0)/eZ.

故答案為：(”,0)?eZ

2

【點睛】本題考查正切函數的對稱中心，考查學生對正切函數性質的理解與掌握，是一道基礎題.

26.(2021高一下?上海?單元測試)寫出函數/(x)=tan13x+￡|的定義域、最小正周期、單調區間、對稱中

心.

【答案】定義域+周期T=g,在［4萬-?,*萬+5］左eZ遞增，無遞減區間，對稱

中心〔9喂°卜”

【分析】由3x+J*1br+g,可求得其定義域，利用整體思想結合正切函數的周期性、單調性及對稱性可求

得其最小正周期、單調區間、對稱中心；

【詳解】解：由3x+?一版+］,得：xwgv+q,keZ.

所以，其定義域為八|彳力^萬+合,出€2｝；

由，(x)=tan［3x+7］得：其最小正周期7=(；

?.7C_7C.7Tzi—?kJTkJT,r

FHK7t<JXH<K7TH,：—7T<X<—71H,攵?/.

24234312

所以，函數/(x)=tan(3x+?］的單調遞增區間為+左EZ,kcZ.無遞減區間；

由3%+生=上得：x=—7i~—,keZ.

42燈612

-eZ

所以y=/(x)的對稱中心為(612)；

題型八：求正切（型）函數的定義域

27.（2324高一下?上海?期中）下列四個函數中，定義域為R且為奇函數的是（）

A.y=cos%B.y=sinxC.=tanxD.y=sinx+cosx

【答案】B

【分析】根據三角函數的定義域和奇偶性直接分析判斷即可.

【詳解】由三角函數可知：y=cosx,y=sin尤的定義域均為R,

y=tanx的定義域為M1+、歡eZ：,不為R,故C錯誤；

且;y=cos尤為偶函數，y=sinx為奇函數，可知y=sin尤+cosx為非奇非偶函數，

故AD錯誤，B正確；

故選：B.

28.（2021高一下?上海金山?期中）下列命題中正確的是（）

A.函數y=tanx的定義域是卜

B.第一象限的角必是銳角

C.若sina=sin6,則a與￡的終邊相同

D.>=sin|x|不是周期函數.

【答案】D

【分析】根據正切函數的定義可知A錯誤；容易舉出反例判定BC錯誤；根據正弦函數的性質和周期函數的

定義，的利用反證法可以證明D正確.

【詳解】由正切函數的定義可知函數>=tanx的定義域為卜"0+卻回口時正切函數是有意義的,

故A錯誤；

380。是第一象限角，但不是銳角，故B錯誤；

60。和120。的正弦值相等，但終邊不相同，故C錯誤；

假若函數'=$達|元|是周期函數，存在D0,使得危+刀式力對于任意實數x恒成立，

當x>0時，由正弦函數的周期性得,T=2覬，眼N*,

所以函數>=$山|彳|不是周期函數，故D正確.

故選：D.

29.（2324高一下?上海黃浦?期末）設040<兀，若函數y=tan（x+°）的.定義域為W祈+三,左ez1,則。

的值為.

IT1

【答案】3小

6o

【分析】根據正切函數的定義域，列式求解.

TTTT

【詳解】由題意可知，hi+—+（p=hi+—,keZ,

所以夕=1

o

故答案為：--

O

30.（2223高一下?上海靜安?期中）函數y=tan[x+，的定義域是.

【答案】{x|%wl+6匕旌Z}

【分析】根據正切函數的定義域，列不等式求解，可得答案.

1T

【詳解】由于正切函數y=tai式的定義域為{x|xw-w+E#eZ},

故令工無+工工二+E,4wZ,

632

解得光w1+6k,keZ,

即函數y=tan[%+]]的定義域是{x|xwl+6左次$Z},

故答案為：{%l%wl+6N上￡Z}

31.（2324高一?上海?課堂例題）求函數y=2tan（3x-^|的定義域和單調區間.

【答案】定義域為卜|xw1+1~,左eZ：,增區間為[石-§,彳+eZ,沒有減區間

【分析】根據正切型三角函數定義域、單調區間的求法求得正確答案.

【詳解】由3尤-3*航+三，解得天/"+M，

6239

所以函數y=2tan「x-W的定義域為,

1,7T_71J7ChTiyrzjkit71kK2兀

由ku—<3x—<kuH—解得-----<x<1,

2623939

所以函數y=2tan]3x-《）的單調遞增區間為十號+高,％eZ,沒有減區間.

題型九：求正切（型）函數的值域及最值

32.（2122高三上?上海浦東新?期中）下列函數中，值域為（。,內）的是（）

3

A.y=4'B.-2

,y-Ar

C.y=tanxD.y=cosx

【答案】A

【分析】逐一進行驗證，可判斷結果.

【詳解】對A,函數y=4工的值域為（0,+w）；

3

對B,函數y=尤5的值域為[0,+8）;

對C,函數y=tanx的值域為R；

對D,函數，=cos龍的值域為[-1,1]

故選：A

33.（2021高三上?上海浦東新?期中）已知/（x）=tanx,xeZ,則下列說法中正確的是（）

A.函數/■（%）不為奇函數B.函數/'（%）存在反函數

C.函數“X）具有周期性D.函數〃元）的值域為R

【答案】B

【解析】根據/（x）=tanx,xeZ圖象與性質，逐一分析選項，即可得答案.

【詳解】對于4/（X）的定義域關于原點對稱，且/（-工）=1311（-&）=-1311；1=-/（元），xeZ,故/（X）為奇函數,

故A錯誤；

對于B：y=/（x）=tanx,xeZ在定義域內---對應，所以x=arctany,即的反函數為y=arctanx,

故B正確；

對于C：因為/'（xhtanx,xeZ,故/（尤）圖象為孤立的點，不是連續的曲線，所以“可不具有周期性，

故C錯誤；

對于。：因為/（x）=tanx,xeZ,所以/（尤）圖象為孤立的點，不是連續的曲線，所以〃尤）的值域為一些

點構成的集合，不是R,故。錯誤.

故選：B

34.（2021高一下?上海長寧?期末）函數y=tan]x-：）xeQ亳的值域為.

【答案】（1,內）

【分析】由題意利用正切函數的性質，即可解出.

?、、，,「兀3兀、71（717l\一田，n

【詳解】當；?函數y=tan（x-j>l，

故函數的值域為（1,a）,

故答案為：（l,y）.

35.（2425高一?上海?隨堂練習）求函數＞=tan|x|的定義域與值域，并作其圖像.

【答案】答案見解析

【分析】由xNO和x＜0去掉國上的絕對值符號，可得函數的定義域與值域；當xNO時，函數在y軸右側

的圖像即為y=tanx的圖像不變，當x＜0時，函數在y軸左側的圖像為〉、?》在＞軸右側的圖像關于＞軸

對稱的圖像，畫出即可.

兀

tanx,x>0且xw%乃H——

【詳解】由己知，設/（x）=tan|x|=:，（丘z）,

-tanx,x<0且xw左乃H——

2

可知，函數的定義域為:

—7T

{x\xeR,S.x^k7i+—,keZ},值域為R；

2一

當xNO時,函數y=tan|x|在y軸右側的圖像即為y=tanx的圖像不變;

當x<0時,y=tan|x|在y軸左側的圖像的y=tanx在y軸右側的圖像關于y軸對稱的圖像，如圖所示（實

線部分）.

題型十：求含tanx的二次式的最值

7E71

36.（2324高一下?上海浦東新?期中）函數〃x）=tan2x-tanx,尤e的最大值與最小值之和

為.

【答案】47

4

JT-JT

【分析】換元法求函數值域，首先令tanx=r,根據尤e得年［-!』，進而結合二次函數的圖象與性

質即可求解.

JTJT

【詳解】令tanx=f,xe

貝Ijy=一；，因為對稱軸為/=；,

所以y=在fe-1,|上單調遞減，在此g,l上單調遞增，

11

所以，當/=一1時，加=2,當仁]時，ymn=--,

17

函數〃x)=tan2x_tanx的最大值與最小值之和為2-1="

7

故答案為：—.

4

37.(2122高一下?上海長寧?期中)函數〃x)=-2tan2尤+5tan尤-2,xe-的值域為

【答案】[一9,1]

【分析】由x的范圍求出tanx的范圍，再根據二次函數的性質即可得出答案.

【詳解】解：因為xe,所以tanxe[-l』，

f(x)=-2^tanx-|^

則當tanx=l時，1mx=1,

當tanx=-l時，/(%"=一9，

所以函數〃x)的值域為

故答案為：[-9』.

38.(2021高一下?上海徐匯?期中)函數/(x)=tan2尤+tanx-2,xe的值域是

44_

-9'

【答案】-了。

【分析】求出tanx的范圍，利用二次函數的性質得出值域.

7171

【詳解】*?*xe—丁，:，??tanxe[—1,1]

_44_

(1丫9

,/f(x)=tan2x+tanx-2=Itanx+I-

9

-9-

故答案為：-7。

39.(2021高一?上海?專題練習)已知y=tan2x-2tanx+3,求它的最小值

【答案】2

【分析】由題意，可得y=(tanx-iy+2,利用二次函數的性質，即可求解函數的最小值，得到答案.

【詳解】由題意，可得y=（tanx-l）2+2,由于taraeR,所以當tanx=l時，函數取最小值2.

【點睛】本題主要考查了正切函數的值域，以及二次函數的圖象與性質的應用，其中解答中熟記正切函數

的值域，合理應用二次函數的性質求解是解答的關鍵，注重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.

40.（2021高一?上海?專題練習）求函數y=i+（tan.l）2的最大值，并求當函數取得最大值時，自變量x的

集合.

【答案]'max=2,此時x==?+左/，左ez}

【分析】令f=tanx,貝heR,了?）=歷可，根據二次函數及反例函數的性質可得t=l時/⑺1mx=2,

即可求出函數的最大值及最大值時x的取值集合；

【詳解】解：因為軍=]+儂：._1）2，令tutanx,則feR,7（'）=不1]/，因為y=1+?-1）221,所以

2

0</(^)=,即r=1時f(^)max=2,即tanx=l,x=?+k7i,kQZ,即當x=x\x=—+k7l,k€Z

時函數取得最大值，皿=2

ffl強化訓練

一、單選題

1.（2425高一下?上海?單元測試）下列函數中在（0,1）上為嚴格減函數的是（）

A.y=cosx；B.y=2*；C.y=sin無；D.y=tanx.

【答案】A

【分析】利用指數函數、二角函數的單調性判斷即得.

【詳解】函數y=cosx在（0,1）上單調遞減，函數y=2'y=sinx,y=tanx在（0,1）上都單調遞增.

故選：A

2.（2324高一下?上海?期中）函數y=tanx是（）.

A.最小正周期為F7T的奇函數

B.最小正周期為g的偶函數

2

C.最小正周期為兀的奇函數

D.最小正周期為兀的偶函數

【答案】C

【分析】根據正切函數的性質判斷即可.

【詳解】函數y=tanx為最小正周期為兀的奇函數.

故選：C

3.（2324高一下?上海松江?期末）下列函數中，既是偶函數又是周期為兀的函數為（）

A.y=cosxB.y=|sinx|C.y=sin2xD.y=tan2x

【答案】B

【分析】根據正弦函數、余弦函數和正切函數的奇偶性和周期性一一判斷即可.

【詳解】對A,y=cosx是偶函數，周期為2兀，故A錯誤；

對B,設外力=卜山|,定義域為R,且〃-%）=卜苗（-可口sinx|,則其為偶函數，

因為y=sinx周期為2兀，則y=卜加|的周期為兀，故B正確；

對C,y=sin2》是奇函數，周期為兀，故C錯誤；

對D,y=tan2尤是奇函數，周期為7T:，故D錯誤.

故選：B.

4.（2324高一下?上海嘉定?期中）我們把正切函數在整個定義域內的圖像看作一組"平行曲線".而"平行曲線"

具有性質：任意一條平行于橫軸的直線與兩條相鄰的"平行曲線”相交，被截得的線段長度相等，已知函數

>—心工+曰?>。）圖像中的兩條相鄰"平行曲線"與直線>=2024相交于A、3兩點，且網=^，己知

命題：①。=4：②函數在［0,2024可上有4048個零點，則以下判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

【答案】D

【分析】根據已知條件得自=工，求出。，即可判斷①；令tan（2x+含）=0,求出x,解不等式-￡4尤42024兀,

即可判斷②.

【詳解】依題意得［=火，所以。=2,故①為假命題；

2CD

所以y=tan（2無+制，

令tan（2x+蛋）=0,得2%+上=也，kcZ,^x=———,kcZ,

\12/12224

jr）1

由OW---------<2024K,得一4Z44048+—，keZ,

22^^1212

所以整數上的值有4048個，函數在［0,2024可上有4048個零點，故②為真命題.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：根據|鈿|為函數的一個周期，求出。是解決本題的關鍵.

二、填空題

5.（2324高一下?上海?期中）滿足tana=6的所有a的集合為.

【答案】|a|a=j+far,A:ezj

【分析】根據題意結合正切函數的性質解方程可得a=：+析,左eZ,進而可得結果.

【詳解】因為tana=A，HJW?=+eZ,

所以所有a的集合為+kez}.

故答案為：1a|a=j+fet,^ezj.

6.（2223高一下?遼寧?期中）若/（x）=tan0x的相鄰兩個對稱中心距離是則正實數。的值是.

【答案】1

【分析】根據正切型函數的對稱中心與周期的關系即可求解.

【詳解】由于"xhtanw的周期為T=j，由于相鄰兩個對稱中心距離是:T,所以;T=方則

T=7l=>0）=1,

故答案為：1

7.（2324高一下?上海?階段練習）函數y=l-tan無的最小正周期為

【答案】兀

【分析】由'=1皿工的最小正周期為兀，根據圖象變換的原則，即可得到函數y=l-tan尤的最小正周期.

【詳解】函數y=l-tan龍的最小正周期即函數丫小血》的最小正周期，

所以所求最小正周期為兀.

故答案為：兀.

兀71

8.（2324高一下?上海?期中）函數y=tan2x,xe的最大值為_____.

O0_

【答案】V3

【分析】首先判斷函數的單調性，由單調性求出函數的最大值.

JTTTTTTT717r

【詳解】當尤e時2尤€,所以y=tan2x在一二上單調遞增，

66」[_33J66_

所以當x=《時y=tan2x取得最大值，即一x=tan（2x胃=6.

故答案為：6

9.（2324高一下?上海嘉定?期中）若tana=tan/,且滿足a<〃，則￡-e的最小值為.

【答案】兀

【分析】利用正切函數的性質求解即可.

【詳解】y=tanx周期為兀，且在區間^5+也弓+版）（左?Z）上為單調增函數，

tana=trn/3,故尸一a=E,左wZ.

且a＜尸，故尸-。的最小值為兀.

故答案為：兀

10.（2021高一下?上海金山?期中）函數y=tanx+l的圖象的對稱中心為.

【答案】

【分析】由正切函數的圖象的對稱性，結合圖象平移變換即可得到答案.

【詳解】y=tanX的對稱中心是（與,0）MeZ.

團函數y=tanx+l的圖象由》=1211尤的圖象向上平移1個單位得到，

回函數＞=tanx+l的對稱中心為（容1）,左eZ

故答案為：（年

11.（2223高一下?上海嘉定?期中）下列關于函數y=tanQx+3的說法：①在區間卜曰上為嚴格增

函數；②最小正周期為兀；③圖像的對稱中心為-今0）（左eZ）.其中正確的說法是.（只填寫正確

說法的序號）

【答案】①③

【分析】直接利用正切函數的圖象和性質的應用即可判斷.

【詳解】對于①，令一火+E＜2x+巴＜析+工（ZeZ）,解得-2+@＜》＜2+如（左eZ）,

232122122

當上=0時，-署。*,所以函數/（元）在區間上為嚴格增函數，①正確；

對于②，函數/（元）的最小正周期為T=',②錯誤；

對于③，令2元+乙=幺依eZ）,解得x*-白keZ）,

3246

所以函數/（元）圖象的對稱中心為仁吟。,eZ）,③正確.

故答案為：①③

12.（2122高一下?上海浦東新?期末）對于函數＞=/